Capítulo 28 — Intercambiar límites con operaciones
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Una banda uniforme permite escoger una fila antes de acercar la entrada a un centro. Con ese orden podremos completar la prueba de continuidad que fallaba para convergencia puntual. La integración aprovechará además una longitud fija; la diferenciación necesitará controlar incrementos y un valor de anclaje. Construiremos cada destino antes de identificarlo, usando C14, C18 y C23 y las interfaces declaradas de C10, C13, C16, C17, C19 y C24.
28.1. Fijar una fila para conservar continuidad
C27 permite escoger una etapa antes de conocer la entrada. Ésa es la diferencia que faltaba en el argumento de continuidad de C26. Sean \(X\subseteq\mathbb R\), \(f_n:X\to\mathbb R\) y \(f_n\to f\) uniformemente. La continuidad se entiende relativamente a \(X\), también en sus bordes y puntos aislados.
R1 — Límite uniforme de continuas. Si las filas son continuas en un punto \(x_0\in X\), entonces \(f\) es continua allí. Para \(\varepsilon>0\), el contrato uniforme da un corte con error menor que \(\varepsilon/3\) en toda entrada y toda fila posterior. Fijamos una sola fila \(f_N\). Su continuidad en \(x_0\) entrega \(\delta>0\) para error menor que \(\varepsilon/3\). Si \(x\in X\) y \(|x-x_0|<\delta\),
\[|f(x)-f(x_0)|\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon.\]
Después de escoger la fila, su continuidad proporciona el radio. No hace falta un radio válido para todas las filas ni una barrera de sus valores. Incluso basta que existan filas continuas en el punto con índices arbitrariamente grandes: para cada tolerancia elegimos una después del corte uniforme. Si todas las filas son continuas en \(X\), repetimos el argumento en cada centro y obtenemos continuidad de \(f\) en \(X\). El caso vacío no tiene puntos que comprobar.
Continuidad uniforme es otra propiedad. Si las filas son uniformemente continuas en \(X\), la misma prueba usa el radio de una fila para todo par \(x,y\in X\). Así el límite es uniformemente continuo. No se exige de antemano un radio común a la familia de filas. Si sólo sabemos continuidad ordinaria de las filas, obtenemos continuidad ordinaria; en un compacto, C17 convierte después la del límite en uniforme.
Para \(f_n(x)=x+1/(n+1)\) en toda la recta, el error de aproximación es \(1/(n+1)\) y el límite es la identidad, uniformemente continua y no acotada. El control de errores no es una barrera de valores.
La contraposición permite reutilizar las potencias de C26 en \([0,1]\). Sus filas son continuas y su límite es discontinuo en uno, así que la convergencia no puede ser uniforme; coincide con la envolvente uno calculada en C27. Sobre \([0,1)\) el límite sí es continuo y la convergencia sigue sin ser uniforme. La continuidad del destino se hereda bajo uniformidad, pero no caracteriza por sí sola ese modo de convergencia.
![En la ventana [−1,1], la fila x+1/5 aproxima la identidad con error1/5. Los tres tramos en el segundo panel separan aproximación en ambas entradas y variación de la fila fija. Para entradas0 y1/10, el presupuesto triangular es1/2, aunque la diferencia real es1/10. La prueba general fija fila antes del radio.](../../assets/books/anm/C28/C28-F01.svg)
Ejercicios de la sección 28.1
Ejercicio 1. Una fila dentro de la banda
Prueba continuidad del límite uniforme en un punto donde todas las filas son continuas.
Ver solución del ejercicio 1
Sea \(x_0\) el centro y \(\varepsilon>0\). La uniformidad permite fijar una fila \(f_N\) con \(|f_N(x)-f(x)|<\varepsilon/3\) para toda entrada del dominio. La continuidad de esa fila en \(x_0\) proporciona \(\delta>0\) tal que \(|f_N(x)-f_N(x_0)|<\varepsilon/3\) si \(x\) es admisible y \(|x-x_0|<\delta\). Entonces \(|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon\). El radio se obtuvo después de fijar la fila, y los errores de aproximación ya controlaban toda la vecindad. La prueba vale relativamente al dominio, incluidos sus bordes.
Retorno visual. Véase C28-F01, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 2. Radios para todos los pares
Prueba que un límite uniforme de funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo, sin radio común previo para las filas.
Ver solución del ejercicio 2
Para \(\varepsilon>0\), fijamos una fila de error global menor que \(\varepsilon/3\). Su continuidad uniforme proporciona un radio \(\delta>0\) que sirve para todos los pares \(x,y\) con \(|x-y|<\delta\). En esos pares, la triangular da \(|f(x)-f(y)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(y)|+|f_N(y)-f(y)|<\varepsilon\). El radio es común a los pares del dominio porque pertenece a una fila uniformemente continua. Puede depender de la fila escogida para esta tolerancia; no se necesita que las otras filas compartan el mismo radio.
Ejercicio 3. Destino continuo sin uniformidad
Explica por qué las potencias en \([0,1)\) refutan la recíproca del teorema de continuidad.
Ver solución del ejercicio 3
Las potencias declaradas con fila inicial uno tienen límite cero en cada entrada fija de \([0,1)\). Esa candidata es continua. Para cada \(n\ge1\), todos los errores \(x^n\) son menores que uno, pero su supremo es uno: dado \(0\le c<1\), una entrada \(x=1-s\) con \(s=(1-c)/[2(n+1)]\) satisface \(x^n\ge1-ns>c\) por Bernoulli. Por tanto las envolventes no tienden a cero y no hay uniformidad. Este ejemplo refuta la recíproca: continuidad del destino de una familia puntual de filas continuas no fuerza convergencia uniforme.
Ejercicio 4. Valores sin barrera global
Analiza continuidad y uniformidad de \(x+1/(n+1)\) en \(\mathbb R\).
Ver solución del ejercicio 4
La diferencia entre \(x+1/(n+1)\) y la identidad es la constante \(1/(n+1)\to0\), así la convergencia es uniforme en toda la recta. En cada fila, \(|f_n(x)-f_n(y)|=|x-y|\), y la misma identidad vale para el destino. Son por tanto Lipschitz con constante uno y uniformemente continuas. Sus valores no tienen barrera global porque aumentan sin cota al crecer la entrada. El teorema de continuidad utiliza las diferencias uniformemente pequeñas y la continuidad de una fila fija, sin requerir acotación de los valores.
Ejercicio 5. Filas continuas arbitrariamente tardías
Demuestra la versión de R1 que sólo exige filas continuas en \(x_0\) con índices arbitrariamente grandes.
Ver solución del ejercicio 5
Ante \(\varepsilon>0\), el contrato uniforme entrega un corte \(N\) para error \(\varepsilon/3\). La hipótesis de índices continuos arbitrariamente grandes permite tomar algún \(n\ge N\) cuya fila sea continua en \(x_0\). Fijamos esa fila y su radio para variación menor que \(\varepsilon/3\). Como está en la cola, los errores de aproximación en \(x\) y \(x_0\) también son menores que esa cantidad. La triangular de tres términos prueba continuidad de \(f\) en el centro. Se necesita sólo una fila adecuada para la tolerancia recibida, sin construir una subsucesión infinita de ellas.
28.2. Dos límites con un presupuesto común
Para intercambiar el límite del índice y el de la entrada debemos comprobar primero que existan los dos destinos finales. Si las filas ya tienen límite en el centro, el control uniforme hará de Cauchy la sucesión de esos límites. Después fijaremos una fila que aproxime a la función y cuyo límite aproxime al destino construido.
R2 — Existencia e intercambio de límites. Sea \(a\) punto de acumulación de \(X\subseteq\mathbb R\). Supongamos \(f_n\to f\) uniformemente en \(X\) y que existen los límites relativos perforados
\[p_n=\lim_{\substack{x\to a\\x\in X}}f_n(x)\in\mathbb R.\]
Entonces existe \(p=\lim_n p_n\), existe el límite relativo de \(f\) en \(a\) y ambos son \(p\). El centro puede pertenecer o no a \(X\); su valor, si existe, no interviene en estos límites perforados.
Para construir \(p\), usamos Cauchy uniforme de C27. Dada \(\eta>0\), hay \(N\) con \(|f_n(x)-f_m(x)|<\eta/2\) para \(m,n\ge N\) y toda entrada. Fijamos esos dos índices y pasamos \(x\to a\). Álgebra del absoluto y orden de C13 dan
\[|p_n-p_m|\le\eta/2<\eta.\]
Como \(a\) es punto de acumulación de \(X\), las ventanas perforadas contienen entradas arbitrariamente cercanas y el paso al límite tiene su dominio acreditado. La desigualdad obtenida hace de Cauchy la sucesión \((p_n)\); C10 proporciona su único límite real \(p\).
Ahora, para \(\varepsilon>0\), elegimos una fila \(n\) suficientemente grande para que \(|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/3\) en todo \(X\) y \(|p_n-p|<\varepsilon/3\). Con ese índice fijo, el límite de la fila da un radio con \(|f_n(x)-p_n|<\varepsilon/3\) en la ventana perforada. Por triangular, \(|f(x)-p|<\varepsilon\). Se ha probado la existencia del límite de \(f\), además de la igualdad
\[\lim_{\substack{x\to a\\x\in X}}\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{\substack{x\to a\\x\in X}}f_n(x).\]
Si desde el principio ya existe \(\lim_{x\to a}f(x)=p\), la prueba se abrevia pasando al límite la cota uniforme con margen \(\varepsilon/2\): \(|p_n-p|\le\varepsilon/2<\varepsilon\). Uniformidad sólo en una vecindad perforada fija también basta: restringimos el dominio antes de aplicar R2. Una vecindad dependiente del índice no aporta ese contrato común.
Ruta conjunta dada. Si \(x_n\in X\setminus\{a\}\) y \(x_n\to a\), el presupuesto
\[|f_n(x_n)-p|\le |f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-p|\]
da convergencia a \(p\). El corte uniforme controla el primer término y el límite recién construido controla el segundo. No se selecciona una ruta a partir de una negación.
Para \(f_n(x)=x+1/(n+1)\), \(a=0\), tenemos \(p_n=1/(n+1)\) y \(p=0\). En cambio, \(r_n(x)=(n+1)x/[1+(n+1)x]\) sobre \((0,1]\) tiene límite puntual uno, pero cada fila tiende a cero cuando \(x\downarrow0\). Los iterados son uno y cero; la ruta \(x_n=1/(n+1)\) vale \(1/2\). La falta de uniformidad explica la discrepancia, sin negar existencia de ambos iterados.
![La familia uniforme x+1/(n+1) tiene límites de fila1/(n+1) en cero y destino común0. En la familia racional r_n=(n+1)x/[1+(n+1)x], el límite puntual en(0,1] es1, pero los destinos de fila en cero son0. La ruta dada1/(n+1) vale1/2. Las líneas horizontales muestran destinos calculados, no una inferencia de muestras.](../../assets/books/anm/C28/C28-F02.svg)
Ejercicios de la sección 28.2
Ejercicio 6. Construir el destino de los destinos
Bajo R2, demuestra que los límites de fila \(p_n\) forman una sucesión de Cauchy.
Ver solución del ejercicio 6
Bajo R2, \(f_n\to f\) uniformemente y cada fila tiene límite relativo perforado \(p_n\) en el centro de acumulación \(a\). Para \(\eta>0\), Cauchy uniforme proporciona \(N\) con \(|f_n(x)-f_m(x)|<\eta/2\) para todo \(m,n\ge N\) y toda entrada. Fijamos esos índices y llevamos \(x\to a\) dentro del dominio perforado. El álgebra de límites y la continuidad del absoluto dan destino \(|p_n-p_m|\), y la preservación del orden da \(|p_n-p_m|\le\eta/2<\eta\). El corte sirve para todos los pares tardíos, así \((p_n)\) es de Cauchy. La acumulación asegura entradas efectivas y unicidad de los límites utilizados. Completitud de C10 construye su destino real \(p\).
Ejercicio 7. El límite que aún no existía
Completa la prueba de existencia de \(\lim_{x\to a}f(x)\) en R2.
Ver solución del ejercicio 7
Ya se construyó \(p=\lim_n p_n\). Fijada \(\varepsilon>0\), escogemos una fila \(n\) posterior al corte uniforme para error \(\varepsilon/3\) y al corte numérico para \(|p_n-p|<\varepsilon/3\). Con ese índice fijo, el límite local de la fila proporciona \(\delta>0\) con \(|f_n(x)-p_n|<\varepsilon/3\) para toda entrada perforada a distancia menor que \(\delta\) de \(a\). La triangular da \(|f(x)-p|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-p_n|+|p_n-p|<\varepsilon\). Esto prueba existencia del límite relativo de \(f\) y su igualdad con \(p\). El valor en \(a\), si pertenece al dominio, no interviene en el contrato perforado.
Ejercicio 8. Iterados diferentes
Calcula los dos iterados y la ruta \(x_n=1/(n+1)\) de \(r_n(x)=(n+1)x/[1+(n+1)x]\) en \((0,1]\).
Ver solución del ejercicio 8
Para \(x>0\) fijo, \(|r_n(x)-1|=1/[1+(n+1)x]\to0\), así el límite por índice es uno y su límite posterior por \(x\to0^+\) también es uno. Para \(n\) fijo, la continuidad del cociente en cero da \(\lim_{x\to0^+}r_n(x)=0\); el límite por índice de esos destinos es cero. En la ruta \(x_n=1/(n+1)\), el producto de escala vale uno y \(r_n(x_n)=1/2\) para toda etapa. Los dos iterados y la diagonal están definidos y difieren. No hay uniformidad hacia uno en \((0,1]\): el error se aproxima a uno al acercar la entrada al origen en una fila fija, por lo que su supremo es uno.
Retorno visual. Véase C28-F02, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 9. Uniformidad en una ventana fija
Explica cómo R2 se aplica si sólo hay convergencia uniforme en \(X\cap\{0<|x-a|<r\}\) para un \(r>0\) fijo.
Ver solución del ejercicio 9
Sea \(Y=X\cap\{x:0<|x-a|<r\}\), con \(r>0\) fijo. El centro sigue siendo punto de acumulación de \(Y\), y cada límite de fila en \(a\) se conserva al restringir porque las entradas suficientemente próximas ya pertenecen a esa ventana. La uniformidad supuesta en \(Y\) permite aplicar R2 allí y obtener un destino \(p\) para los límites de fila y para la función restringida. Para volver a \(X\), dado un radio válido en \(Y\) tomamos su mínimo con \(r\). Toda entrada perforada de \(X\) dentro de ese radio pertenece a \(Y\) y cumple la misma desigualdad. Ventanas diferentes por fila no proporcionan este dominio común fijo.
Ejercicio 10. Una ruta conjunta
Prueba \(f_n(x_n)\to p\) bajo R2 para cualquier ruta dada \(x_n\in X\setminus\{a\}\) con \(x_n\to a\).
Ver solución del ejercicio 10
La ruta está dada con \(x_n\in X\setminus\{a\}\) y \(x_n\to a\). R2 ya probó que \(f(x)\to p\) en el dominio perforado. Para \(\varepsilon>0\), la uniformidad da un corte para \(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon/2\) en toda entrada. El límite relativo de \(f\) da un radio, y la convergencia de la ruta da otro corte desde el que \(|f(x_n)-p|<\varepsilon/2\). El máximo de ambos cortes controla \(|f_n(x_n)-p|\le|f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-p|<\varepsilon\). No se escoge una ruta por cada escala: se demuestra la afirmación para cualquier ruta admisible ya dada.
28.3. Compacidad y monotonía: el mecanismo de Dini
La continuidad del destino no bastaba para controlar las potencias en \((0,1)\). Al añadir compacidad del dominio y monotonía de las columnas, los cortes locales podrán reunirse mediante una cubierta finita. Ése será el mecanismo del teorema de Dini.
R3 — Dini, con todas sus hipótesis. Sea \(K\subseteq\mathbb R\) compacto. Sean \(f_n\) continuas relativamente a \(K\), decrecientes por columnas y convergentes puntualmente a una función continua \(f\). Entonces \(f_n\to f\) uniformemente en \(K\). Para filas crecientes aplicamos el resultado a \(-f_n\).
El orden pasa al límite numérico, así \(e_n(x)=f_n(x)-f(x)\ge0\); además \(e_{n+1}\le e_n\) y \(e_n\to0\) puntualmente. Fijamos \(\varepsilon>0\) y definimos los abiertos relativos
\[U_n=\{x\in K:e_n(x)<\varepsilon/2\}.\]
Continuidad de \(f_n\) y \(f\) hace abiertos estos conjuntos. Son crecientes y cubren \(K\) por convergencia puntual. Para conectar con la definición de cubierta de C16, podemos usar todos los pares \((n,r)\) de bolas reales cuyo corte con \(K\) esté contenido en \(U_n\): esa familia abierta cubre \(K\) sin escoger un radio por cada punto. Compacidad entrega una subfamilia finita. Si \(K\ne\varnothing\), sus índices naturales tienen máximo \(N\) y todos sus cortes están en \(U_N\). Por tanto \(e_n(x)<\varepsilon/2<\varepsilon\) para todo \(x\in K\) y \(n\ge N\). Si \(K\) es vacío, el contrato es vacuo.
La convergencia puntual hace que los abiertos \(U_n\) cubran el compacto. La continuidad garantiza que son abiertos; la compacidad reduce la cubierta a finitísimos índices y la monotonía permite dominarlos con su máximo y conservar el control en toda la cola. La prueba no proporciona una tasa geométrica ni una fórmula universal para \(N(\varepsilon)\): construye un corte a partir de la cubierta correspondiente a esa tolerancia.
Para \(f_n(x)=x/(n+1)\) en \([0,1]\), las columnas decrecen a cero y la cota explícita \(1/(n+1)\) confirma el teorema. Las potencias en \([0,1]\) tienen destino discontinuo y conservan envolvente uno. En \((0,1)\) las mismas potencias tienen destino continuo, pero el dominio no es compacto y la envolvente sigue siendo uno.
Las indicadoras \(s_n=\mathbf1_{(0,1/(n+1))}\) sobre \([0,1]\) decrecen puntualmente a cero continuo y tienen envolvente uno: sus filas no son continuas. Las tiendas \(t_n\) de C26 son continuas en el compacto y tienden puntualmente a cero continuo, pero no tienen monotonía por columnas; su altura máxima uno persiste. Cada ejemplo elimina una hipótesis diferente.
Otro uso de finitud. Si una familia dada de abiertos cubre un compacto y la convergencia es uniforme en el corte del compacto con cada miembro, una subcubierta finita y C27 producen uniformidad en todo el compacto. «Uniforme cerca de cada punto» debe significar uniformidad en una vecindad fija del punto; continuidad local sola no lo dice. La cubierta se construye con todos los abiertos admisibles, sin elegir uno por punto.
![Para e_n=x/(n+1) en[0,1] y tolerancia1/4, los abiertos relativos U_n={e_n<1/8} crecen hasta cubrir todo el segmento desde n=8. En n=7 falta el extremo1. Potencias en(0,1) conservan envolvente1 pese a destino continuo: falta compacidad. Cada abierto y cada corte están definidos por la desigualdad exacta.](../../assets/books/anm/C28/C28-F03.svg)
Ejercicios de la sección 28.3
Ejercicio 11. La cubierta creciente
Prueba Dini para filas continuas decrecientes hacia un límite continuo en un compacto.
Ver solución del ejercicio 11
Sean las filas continuas sobre un compacto \(K\), decrecientes por columnas hacia una función continua \(f\). El orden al límite da \(e_n=f_n-f\ge0\); los errores son continuos y decrecen puntualmente a cero. Para \(\varepsilon>0\), los abiertos relativos \(U_n=\{x\in K:e_n(x)<\varepsilon/2\}\) forman una cubierta creciente de \(K\). Compacidad proporciona una subcubierta finita \(U_{n_1},\ldots,U_{n_k}\). Tomamos \(N=\max(n_1,\ldots,n_k)\). Como la cubierta es creciente, \(K\subseteq U_N\subseteq U_n\) para todo \(n\ge N\). Luego \(|f_n(x)-f(x)|=e_n(x)<\varepsilon/2<\varepsilon\) para toda entrada de esa cola. Ésta es uniformidad. Si \(K\) es vacío, el contrato es vacuo y se toma cualquier corte.
Retorno visual. Véase C28-F03, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 12. Sin compacidad
Usa potencias en \((0,1)\) para mostrar que no puede omitirse compacidad en Dini.
Ver solución del ejercicio 12
En \((0,1)\), cada potencia es continua, las columnas decrecen y el destino puntual es la función cero continua. Pero para cada \(n\ge1\) su error supremo es uno, mediante entradas arbitrariamente próximas a uno. No hay uniformidad. La cubierta creciente de error pequeño de la prueba de Dini no tiene una subcubierta finita que alcance todo el dominio: cualquier máximo de índices deja entradas próximas a uno con error grande. El dominio abierto no es compacto, mostrando que esa hipótesis sostiene un paso necesario de la prueba.
Ejercicio 13. Sin continuidad de las filas
Analiza \(s_n=\mathbf1_{(0,1/(n+1))}\) en \([0,1]\).
Ver solución del ejercicio 13
Los intervalos \((0,1/(n+1))\) se encogen, así \(s_{n+1}\le s_n\) por columnas. En cero la altura siempre es cero; en cualquier \(x>0\) fijo, desde \(n+1>1/x\) la entrada queda fuera y la cola vale cero. El límite es la función cero continua sobre el compacto \([0,1]\). Sin embargo \(x_n=1/[2(n+1)]\) tiene altura uno en toda etapa, así el máximo de error es uno y no hay uniformidad. Cada fila es discontinua relativamente en cero y en el otro extremo de su intervalo positivo. Falta la continuidad de las filas requerida por Dini.
Ejercicio 14. Sin monotonía
Explica qué hipótesis de Dini falta para las tiendas de C26 en \([0,1]\).
Ver solución del ejercicio 14
Las tiendas de C26 son continuas sobre el compacto \([0,1]\), tienen límite puntual cero continuo y conservan máximo uno en cada etapa. Para mostrar directamente la falta de monotonía decreciente, fijamos \(x=2/9\). En la etapa cero, con \(k=3\), la altura es cero; en la etapa seis, con \(k=9\), es uno. Esa columna aumentó. Tampoco puede ser una familia creciente: en \(x=2/3\) la primera altura es uno y la cola termina en cero. Así las columnas no tienen un mismo sentido de monotonía. Es la hipótesis de Dini que este ejemplo no satisface.
Ejercicio 15. Pegar uniformidad local
Prueba que una cubierta abierta dada de un compacto, con convergencia uniforme en cada corte, permite uniformidad global.
Ver solución del ejercicio 15
Sea una cubierta abierta dada de un compacto \(K\), y supongamos uniformidad hacia la misma candidata en cada corte de la cubierta con \(K\). Compacidad extrae finitísimos abiertos cuyos cortes todavía cubren \(K\). Para \(\varepsilon>0\), cada corte seleccionado entrega un índice válido; tomamos el máximo de esa lista finita. Toda entrada de \(K\) pertenece a alguno y cumple el error menor que \(\varepsilon\) en cualquier etapa posterior al máximo. Así hay uniformidad global. Las piezas son fijas antes de recibir los índices. Si \(K\) es vacío, cualquier corte sirve sin seleccionar piezas.
28.4. La integral soporta un error global pequeño
Para transportar integrabilidad no basta estimar una diferencia de integrales: primero debe existir la integral del límite. Trabajaremos en un intervalo fijo \([a,b]\), con \(a<b\) y longitud \(\ell=b-a\). La banda uniforme permitirá comparar las brechas de Darboux antes de comparar los valores integrales.
R4 — Límite uniforme de integrables. Si cada \(f_n\) es integrable de Riemann en \([a,b]\) y \(f_n\to f\) uniformemente, entonces \(f\) es integrable y
\[\lim_n\int_a^b f_n(t)\,dt=\int_a^b f(t)\,dt.\]
Primero existe una barrera para \(f\): el corte uniforme para error uno entrega una fila acotada \(f_N\) y \(|f|\le |f_N|+1\). Por ello las imágenes locales no vacías tienen supremo e ínfimo reales. Para cualquier función acotada \(u\) con \(|f-u|\le\delta\) y cualquier partición \(P\), comparación de cotas en cada pieza da
\[U(f,P)\le U(u,P)+\delta\ell,\qquad L(f,P)\ge L(u,P)-\delta\ell.\]
En cada pieza, una cota superior de \(u\) más \(\delta\) acota todos los valores de \(f\), y una cota inferior menos \(\delta\) queda por debajo de ellos. Tomar supremo e ínfimo conserva estas comparaciones débiles. Al multiplicar por anchuras y sumar, las correcciones acumulan exactamente \(\delta\ell\) a cada lado. Restando las dos sumas resulta
\[G(f,P)\le G(u,P)+2\delta\ell.\]
Dada \(\varepsilon>0\), escogemos una fila con error menor que \(\delta=\varepsilon/[8(\ell+1)]\) y luego una partición de esa fila con brecha menor que \(\varepsilon/2\). La brecha de \(f\) resulta menor que \(\varepsilon/2+\varepsilon/4<\varepsilon\). El criterio de Darboux de C23 prueba integrabilidad antes de comparar valores integrales.
Ahora \(f_n-f\) y su valor absoluto son integrables por C23. Para toda envolvente real \(E_n=\sup_{[a,b]}|f_n-f|\) de la cola,
\[\left|\int_a^b f_n-\int_a^b f\right|\le\int_a^b|f_n-f|\le\ell E_n.\]
Como \(E_n\to0\), el límite sigue. La desigualdad es también un certificado de error para una etapa concreta; no se necesita que el máximo se alcance. Para \(a=b\), las integrales son cero por convención y no se divide por una longitud nula. Orientar al revés cambia el signo de ambos valores, conservando la cota absoluta con \(|b-a|\).
Para \(f_n(t)=t^2+1/(n+1)\) en \([0,1]\), la integral es \(1/3+1/(n+1)\) y el error es exactamente \(E_n=1/(n+1)\). La cota de longitud es óptima para errores constantes de un signo.
Puntualidad no basta. Las tiendas normalizadas \(b_n=(n+3)t_n\) de C26 son continuas e integrables, tienden puntualmente a cero y tienen integral uno. Ambas integrales comparadas existen y difieren. Las indicadoras finitas de racionales de C25 tienden a Dirichlet, que ni siquiera es integrable: allí la comparación final no está definida. Las dos fallas son distintas.
![La perturbación constante1/(n+1) sobre t² en[0,1] tiene área de error igual a su envolvente. Las tiendas normalizadas de k=n+3 conservan área1 y altura k, pese a destino puntual0. Los perfiles son continuos y sus áreas se acreditan por ramas afines antes de dibujar.](../../assets/books/anm/C28/C28-F04.svg)
Ejercicios de la sección 28.4
Ejercicio 16. Existencia antes de integrar
Prueba integrabilidad del límite uniforme de funciones integrables mediante brechas de Darboux.
Ver solución del ejercicio 16
Sea \(\ell=b-a>0\). La uniformidad con tolerancia uno permite fijar una fila integrable \(f_N\), acotada por algún \(B_N\), con \(|f-f_N|<1\) en todo el segmento. Así \(|f|\le B_N+1\) y sus sumas de Darboux están definidas. Para \(\varepsilon>0\), escogemos una fila con error global a lo sumo \(\delta=\varepsilon/[8(\ell+1)]\), y una partición de esa fila con brecha menor que \(\varepsilon/2\). La comparación de oscilaciones da \(G(f,P)\le G(f_n,P)+2\delta\ell<\varepsilon/2+\varepsilon\ell/[4(\ell+1)]<3\varepsilon/4<\varepsilon\). Darboux prueba integrabilidad del destino antes de escribir su valor integral. Si \(a=b\), la integral se trata por la convención degenerada y no se divide por \(\ell\).
Ejercicio 17. Error del valor integral
Obtén una cota del error de integrales en un segmento de longitud \(\ell\) con envolvente \(E_n\).
Ver solución del ejercicio 17
Una vez probada la integrabilidad de \(f\), la diferencia \(f_n-f\) y su absoluto son integrables por C23. En la cola donde existe la envolvente real \(E_n\), cada error está acotado por ella. Linealidad, desigualdad triangular integral y orden dan \(|I_n-I|=|\int_a^b(f_n-f)|\le\int_a^b|f_n-f|\le\ell E_n\). La cota es universal y no necesita un máximo alcanzado. Como la uniformidad da \(E_n\to0\) y \(\ell\) es fija y finita, los valores integrales convergen a \(I\). En el caso degenerado ambos valores son cero.
Ejercicio 18. La cota se alcanza
Calcula integral y error de \(f_n(t)=t^2+1/(n+1)\) en \([0,1]\).
Ver solución del ejercicio 18
Las tasas \(f_n(t)=t^2+1/(n+1)\) son continuas e integrables en \([0,1]\). Su límite uniforme es \(f(t)=t^2\), porque el error es exactamente \(E_n=1/(n+1)\) en todas las entradas. La integral del cuadrado es \(1/3\) y la perturbación constante integra \(1/(n+1)\) por longitud uno. Así \(I_n=1/3+1/(n+1)\), \(I=1/3\) y \(|I_n-I|=1/(n+1)=\ell E_n\). La cota general se alcanza cuando la perturbación tiene magnitud y signo constantes.
Ejercicio 19. Destinos existentes pero distintos
Usa las tiendas normalizadas para refutar intercambio integral bajo convergencia sólo puntual.
Ver solución del ejercicio 19
Las tiendas \(t_n\) son continuas y tienen integral \(1/(n+3)\). Para \(b_n=(n+3)t_n\), la linealidad da integral uno en cada etapa. Cada entrada fija queda finalmente fuera del soporte y la columna es cero, así el límite puntual es la función cero, integrable con valor cero. Por tanto \(\lim_n\int_0^1b_n=1\) y \(\int_0^1\lim_n b_n=0\). Las dos operaciones existen y dan valores distintos. La uniformidad falta porque el máximo de error de las filas normalizadas es \(n+3\), alcanzado en su centro móvil.
Retorno visual. Véase C28-F04, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 20. Un destino no integrable
Distingue la falla integral de los indicadores finitos de racionales de C25 de la anterior.
Ver solución del ejercicio 20
Los indicadores de los conjuntos finitos \(E_{n+1}\) de racionales son integrables y tienen valor cero por modificaciones finitas. En cada racional reducido, la columna pasa definitivamente a uno cuando su denominador queda incluido; en cada irracional permanece cero. El destino puntual es Dirichlet, que tiene ínfimo cero y supremo uno en toda pieza no degenerada. Su brecha fija impide integrabilidad propia. Así el límite de valores integrales existe y vale cero, pero la integral del destino no existe. Este fallo difiere del ejemplo de tiendas normalizadas, donde ambas operaciones estaban definidas y discrepaban en valor.
28.5. Acumulaciones, pesos y extremos variables
El presupuesto de R4 controla más que una integral final. Sea \(c\in[a,b]\) fijo y definamos, por restricción y orientación de C23,
\[A_n(x)=\int_c^x f_n(t)\,dt,\qquad A(x)=\int_c^x f(t)\,dt.\]
R5 — Acumulaciones uniformes. Bajo R4, para todo \(x\in[a,b]\),
\[|A_n(x)-A(x)|\le |x-c|E_n\le\ell E_n.\]
Si \(x<c\), invertimos los límites de integración antes de aplicar orden; si \(x=c\), ambos lados son cero. El mismo corte controla todos los destinos de acumulación. No es una familia infinita de cortes escogidos por separado.
Si todas las integrandas son continuas, R1 prueba continuidad de \(f\). C24 entrega \(A_n'=f_n\) y \(A'=f\) en \((a,b)\), con derivadas relativas de un lado en los extremos cuando corresponda. Así se conservan simultáneamente acumulación y tasa. Para integrandas sólo integrables, \(A\) sigue existiendo y siendo continua por C24, pero no se identifica su derivada con \(f\) en un punto discontinuo sin hipótesis adicional.
Peso fijo. Si \(w\) es integrable y \(|w|\le M\), el producto \(wf_n\) y \(wf\) es integrable por C23 y
\[\left|\int_a^b w(t)(f_n(t)-f(t))\,dt\right|\le M\ell E_n.\]
Se puede mejorar a \(E_n\int_a^b|w|\). Existencia de los productos y del absoluto precede a esta estimación. No se está multiplicando las integrales de los factores.
Extremos móviles dentro de un marco fijo. Sean \(u_n,v_n,u,v\in[a,b]\), \(u_n\to u\), \(v_n\to v\). Si \(|f|\le B\), la aditividad orientada da
\[\left|\int_{u_n}^{v_n}f_n-\int_u^v f\right|\le\ell E_n+B|u_n-u|+B|v_n-v|.\]
Descomponemos el error en dos cambios. Primero sustituimos \(f_n\) por \(f\) sin mover los extremos, con coste a lo sumo \(\ell E_n\). Luego, por aditividad orientada, mover cada extremo de la integral de \(f\) añade un tramo cuya integral tiene magnitud a lo sumo \(B\) veces su longitud. Obtenemos los otros dos términos de la cota, también cuando los extremos coinciden o se invierten. Todos tienden a cero dentro de un mismo marco finito.
Para \(f_n(t)=t^2+1/(n+1)\), \(c=0\), \(A_n(x)=x^3/3+x/(n+1)\). El error de acumulación es \(|x|/(n+1)\); en \([0,1]\) su envolvente es \(1/(n+1)\). Si el peso es \(w(t)=t\), el error integral final es \(1/[2(n+1)]\).
La longitud también es una hipótesis. Las funciones constantes \(1/(n+1)\) convergen uniformemente a cero en toda la recta. Sin embargo, su integral en \([0,n+1]\) vale uno. Los intervalos crecen y no hay una longitud fija que multiplique un error tendente a cero. No se ha definido ni utilizado aquí una integral impropia: cada etapa es una integral propia finita. Uniformidad es suficiente en el marco fijo, pero no necesaria para igualdad de un par de límites integrales: las tiendas sin normalizar tienen integral \(1/(n+3)\to0\) sin converger uniformemente.
![Acumuladas de t²+1/(n+1) desde0: error x/(n+1), bajo una cota común1/(n+1) en[0,1]. Para constantes1/(n+1) integradas en[0,n+1], la altura baja y la longitud crece; el área queda1. Se representan integrales propias finitas de cada etapa, sin introducir integración impropia.](../../assets/books/anm/C28/C28-F05.svg)
Ejercicios de la sección 28.5
Ejercicio 21. Todas las acumulaciones
Prueba uniformidad de \(A_n(x)=\int_c^x f_n\) hacia \(A(x)=\int_c^x f\) bajo R4.
Ver solución del ejercicio 21
Bajo R4, las filas y el destino son integrables y sus restricciones permiten definir las acumuladas desde \(c\in[a,b]\). Por linealidad, \(A_n(x)-A(x)=\int_c^x(f_n-f)\). Si \(x>c\), el orden integral da magnitud a lo sumo \((x-c)E_n\). Si \(x<c\), se invierte orientación y se obtiene la misma cota con \(c-x\); en igualdad, la diferencia es cero. Por tanto \(|A_n(x)-A(x)|\le|x-c|E_n\le\ell E_n\) para todo destino \(x\). Esta barrera común tiende a cero y prueba uniformidad de las acumuladas en el segmento completo.
Ejercicio 22. Peso integrable
Para un peso fijo integrable \(w\), obtiene el error ponderado usando \(\int|w|\).
Ver solución del ejercicio 22
El peso fijo \(w\), las filas y el destino son integrables, así C23 garantiza productos, diferencias y absolutos integrables. La diferencia de valores ponderados es la integral de \(w(f_n-f)\). En toda entrada de la cola, \(|w(f_n-f)|\le E_n|w|\). Luego \(|\int wf_n-\int wf|\le\int|w(f_n-f)|\le E_n\int_a^b|w|\). El último factor es un real finito fijo, así el error tiende a cero. Si vale cero, la cota hace el error exactamente cero. Con una barrera \(|w|\le M\) también se obtiene la cota \(M\ell E_n\), posiblemente menos ajustada.
Ejercicio 23. Mover los extremos
Demuestra la estimación de R5 para \(u_n,v_n\to u,v\) dentro de \([a,b]\).
Ver solución del ejercicio 23
Los extremos \(u_n,v_n,u,v\) permanecen en \([a,b]\) y el destino integrable tiene cota \(|f|\le B\). Insertamos la integral de \(f\) entre los extremos móviles. Cambiar la integranda cuesta a lo sumo \(|v_n-u_n|E_n\le\ell E_n\). Para los extremos, aditividad orientada da \(\int_{u_n}^{v_n}f-\int_u^v f=\int_{u_n}^u f+\int_v^{v_n}f\). Las magnitudes de estas dos contribuciones no superan \(B|u_n-u|\) y \(B|v_n-v|\). La triangular produce \(|\int_{u_n}^{v_n}f_n-\int_u^v f|\le\ell E_n+B|u_n-u|+B|v_n-v|\). Los tres términos tienden a cero. La orientación cubre cualquier orden de extremos y los intervalos degenerados.
Ejercicio 24. El marco que crece
Explica por qué \(f_n=1/(n+1)\) en \(\mathbb R\) puede tener integral uno en \([0,n+1]\) pese a convergencia uniforme a cero.
Ver solución del ejercicio 24
Sobre la recta, las funciones constantes \(f_n=1/(n+1)\) convergen uniformemente a cero con error \(E_n=1/(n+1)\). En el intervalo de la etapa \([0,n+1]\), su integral propia es altura por longitud: \(\int_0^{n+1}f_n=(1/(n+1))(n+1)=1\). La longitud creciente compensa exactamente el error pequeño. El teorema de intercambio de R4 usa un segmento fijo de longitud finita, y el de extremos móviles usa extremos convergentes dentro de ese marco. Estas hipótesis no se cumplen aquí. Cada integral del ejemplo es propia y finita; no se necesita una teoría de integrales impropias.
Retorno visual. Véase C28-F05, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 25. Continuidad de la acumulada y derivada
¿Qué cambia al acumular integrandas continuas frente a integrandas sólo integrables?
Ver solución del ejercicio 25
La integrabilidad basta para construir acumulaciones y hacerlas Lipschitz, por una cota absoluta de la tasa. Bajo uniformidad de las integrandas, sus acumuladas convergen uniformemente por la longitud común. Si las integrandas son además continuas, R1 hace continuo al destino y C24 identifica las derivadas de sus acumuladas con las tasas en el interior, y relativamente en los bordes. Si sólo son integrables, la recuperación de la tasa exige continuidad en el centro considerado. Un pico aislado puede cambiar la tasa sin cambiar ninguna acumulación; un salto puede producir una esquina sin derivada. La continuidad de la acumulada y la identificación de su derivada tienen por tanto hipótesis diferentes.
28.6. Derivadas uniformes y un valor de anclaje
Un error pequeño de valores no controla por sí solo los cocientes incrementales: al dividir por una distancia que tiende a cero puede amplificarse. Para derivar el límite buscaremos primero un error de incrementos que sea proporcional a esa distancia. La convergencia uniforme de las derivadas permitirá obtenerlo mediante Lagrange; un valor de anclaje fijará las constantes.
R6 — Teorema de convergencia de derivadas. Sean \(a<b\), \(f_n\) continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\). Supongamos que \(g_n=f_n'\) converge uniformemente a \(g\) en \((a,b)\) y que, para un \(c\in[a,b]\), \(f_n(c)\to\lambda\). Entonces existe \(f\) con \(f_n\to f\) uniformemente en \([a,b]\), \(f(c)=\lambda\) y \(f'=g\) en \((a,b)\). No se supone continuidad de las derivadas.
Construir los valores. C27 da Cauchy uniforme para \(g_n\). Para \(m,n\) posteriores a un corte y \(x\in[a,b]\), aplicamos C19 a \(f_n-f_m\) en el segmento completo entre \(c\) y \(x\). Su continuidad en los extremos y derivabilidad interior están acreditadas. Si la diferencia de derivadas es menor que \(\eta\) en todo \((a,b)\),
\[|f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n(c)-f_m(c)|+\eta|x-c|.\]
El caso \(x=c\) es directo. Dada \(\varepsilon>0\), pedimos al anclaje error menor que \(\varepsilon/2\) y a las derivadas menor que \(\varepsilon/[2(\ell+1)]\), \(\ell=b-a\). El máximo de ambos cortes prueba Cauchy uniforme de las filas. C27 construye el único \(f\); R1 da continuidad en el cerrado y puntualidad identifica \(f(c)=\lambda\).
Controlar incrementos antes de dividir. Sean \(E_n=\sup_{(a,b)}|g_n-g|\) las envolventes reales de la cola. Para \(x,y\in[a,b]\), C19 aplicado a \(f_m-f_n\) y la cota \(E_m+E_n\) dan
\[|(f_m-f_n)(y)-(f_m-f_n)(x)|\le(E_m+E_n)|y-x|.\]
Fijamos \(n,x,y\) y pasamos \(m\to\infty\). C10/C13 conservan orden y C27 da \(E_m\to0\), por lo que
\[|(f-f_n)(y)-(f-f_n)(x)|\le E_n|y-x|.\]
El paso al límite ha producido una estimación entre incrementos de \(f\) y de una fila fija sin atribuir todavía derivada a \(f\). El factor \(|y-x|\) es lo que permitirá dividir después sin perder la cota de error.
Identificar la derivada. Fijamos \(x_0\in(a,b)\) y \(\varepsilon>0\). Elegimos una fila \(n\) con \(E_n<\varepsilon/3\). Para cualquier \(x\ne x_0\) admisible, la desigualdad anterior controla en \(E_n\) la diferencia de cocientes de \(f\) y \(f_n\). La derivabilidad de esa fila fija aporta un radio para el segundo error. Finalmente,
\[\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-g(x_0)\right|\le E_n+\left|\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}-g_n(x_0)\right|+|g_n(x_0)-g(x_0)|<\varepsilon.\]
La tercera magnitud es a lo sumo \(E_n\). Se ha demostrado \(f'(x_0)=g(x_0)\) por definición, sin exigir una primitiva integral de una derivada discontinua.
La misma cota de incrementos, con \(x=c\), entrega el certificado
\[|f_n(x)-f(x)|\le |f_n(c)-\lambda|+|x-c|E_n.\]
En un intervalo abierto arbitrario el argumento se aplica a cada segmento cerrado contenido en él y que una el anclaje con la entrada. Produce un límite puntual y uniformidad en cada segmento acotado apropiado; en un intervalo no acotado no garantiza uniformidad global de valores. Para dominios desconectados, hace falta un anclaje por componente que se quiera construir; un valor no fija constantes en otra componente.
Ejercicios de la sección 28.6
Ejercicio 26. La ancla y todos los valores
Prueba Cauchy uniforme de las filas bajo R6.
Ver solución del ejercicio 26
Sea \(\ell=b-a\), con filas continuas en el cerrado y derivables dentro como en R6. La convergencia de \(f_n(c)\) hace de Cauchy esa sucesión de anclaje. La uniformidad de \(g_n=f_n'\) hace de Cauchy uniforme a las derivadas. Para \(\varepsilon>0\), reunimos un corte con \(|f_n(c)-f_m(c)|<\varepsilon/2\) y otro con \(|g_n-g_m|<\varepsilon/[2(\ell+1)]\) en el interior. Lagrange aplicado a \(f_n-f_m\) entre \(c\) y cualquier \(x\) da \(|f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(c)-f_m(c)|+\varepsilon|x-c|/[2(\ell+1)]<\varepsilon/2+\varepsilon\ell/[2(\ell+1)]<\varepsilon\). El mismo corte sirve para todos los pares tardíos y todas las entradas. C27 construye el límite uniforme de valores.
Ejercicio 27. El error de incrementos
Demuestra \(|(f-f_n)(y)-(f-f_n)(x)|\le E_n|y-x|\) sin suponer derivabilidad previa de \(f\).
Ver solución del ejercicio 27
En la cola, las envolventes de derivadas dan \(|g_m-g_n|\le|g_m-g|+|g-g_n|\le E_m+E_n\) en todo \((a,b)\). Lagrange aplicado a \(f_m-f_n\) entre \(x,y\in[a,b]\) produce \(|(f_m-f_n)(y)-(f_m-f_n)(x)|\le(E_m+E_n)|y-x|\). Fijamos \(n,x,y\) y llevamos \(m\to\infty\). Las dos columnas de valores convergen a \(f(y),f(x)\) y \(E_m\to0\), así el orden conserva \(|(f-f_n)(y)-(f-f_n)(x)|\le E_n|y-x|\). Para \(x=y\) es inmediato. No se ha usado derivabilidad de \(f\); ésta se probará a partir de la estimación ya obtenida.
Ejercicio 28. Tres errores de cocientes
Completa la identificación \(f^{\prime}=g\) de R6 a partir de la cota de incrementos.
Ver solución del ejercicio 28
Fijamos \(x_0\in(a,b)\) y \(\varepsilon>0\). Elegimos una fila \(n\) con \(E_n<\varepsilon/3\). Para \(x\ne x_0\), dividir la cota de incrementos por \(|x-x_0|>0\) limita la magnitud de la diferencia de los cocientes de \(f\) y \(f_n\) por \(E_n\). La derivabilidad de esa fila fija proporciona un radio en el que su cociente difiere de \(g_n(x_0)\) en menos que \(\varepsilon/3\). Reducimos el radio para permanecer en el interior. Finalmente, \(|g_n(x_0)-g(x_0)|\le E_n\). La triangular entre el cociente de \(f\), el de la fila, su derivada y \(g(x_0)\) da error menor que \(\varepsilon\). Esto es la definición de \(f'(x_0)=g(x_0)\) y completa la prueba sin asumir de antemano esa derivada.
Ejercicio 29. Certificado de valores desde derivadas
Obtén una cota de aproximación de valores usando la ancla y \(E_n\) en R6.
Ver solución del ejercicio 29
Tomamos \(c\) como una de las entradas en la cota de incrementos del ejercicio anterior. Como la convergencia de la columna de anclaje identifica \(f(c)=\lambda\), queda \(|(f-f_n)(x)-(\lambda-f_n(c))|\le E_n|x-c|\). Por triangular, \(|f_n(x)-f(x)|\le|f_n(c)-\lambda|+|x-c|E_n\). Reemplazar la distancia por \(\ell\) da una cota uniforme de valores. El primer término mide la constante inicial y el segundo la discrepancia de variaciones. Ambos tienden a cero; si el anclaje es exacto, sólo permanece el segundo.
Ejercicio 30. Derivadas sin continuidad
Explica por qué R6 no necesita continuidad de \(g_n\) ni de \(g\).
Ver solución del ejercicio 30
Lagrange exige continuidad de las funciones comparadas en el segmento y derivabilidad en su interior, pero no continuidad de sus derivadas. R6 aplica esa herramienta a diferencias de filas y usa una cota uniforme de las diferencias de derivadas. La identificación final del destino se obtiene mediante cocientes de una fila fija y la cota proporcional de incrementos. No se integra \(g\) ni se presupone que sea una tasa continua o integrable. Si las derivadas tienen extensiones continuas y convergen uniformemente, el teorema de continuidad añade esa regularidad al destino como una conclusión adicional.
28.7. Lo que la convergencia de valores no controla
Los ejemplos siguientes separan las premisas del teorema de derivadas. La uniformidad de valores puede dejar un límite no derivable; incluso cuando éste sea derivable, el límite puntual de las derivadas puede ser distinto. También puede fallar la construcción de los valores si falta el anclaje.
R7 — Tres pruebas de frontera. Sea \(k=n+1\) y
\[q_n(x)=\sqrt{x^2+k^{-2}}\quad(x\in\mathbb R).\]
Las herramientas de raíces y cadena de C10/C18 dan \(q_n'=x/\sqrt{x^2+k^{-2}}\). Puesto que \(|x|\le q_n(x)\le |x|+1/k\), se tiene \(\sup_{\mathbb R}|q_n-|x||=1/k\), alcanzado en cero. La segunda desigualdad sigue al cuadrar dos cantidades no negativas. El límite \(|x|\) es continuo y no derivable en cero: los cocientes laterales son menos uno y uno. Cada fila sí es derivable allí, con derivada cero. Las derivadas convergen puntualmente a la función signo, con valor cero en el origen, que es discontinua. R1 refuta su convergencia uniforme, pues las derivadas de las filas son continuas.
Ahora recuperamos
\[h_n(x)=\frac{x}{1+kx^2},\qquad h_n'(x)=\frac{1-kx^2}{(1+kx^2)^2}.\]
C27 da convergencia uniforme de valores a cero con envolvente \(1/(2\sqrt k)\). En cero las derivadas valen uno; para \(x\ne0\) tienden a cero. Para comprobarlo basta dividir numerador y denominador por \(k^2x^4\), que es no nulo, o acotar con \(1/(kx^2)+1/(k^2x^4)\). El límite puntual de derivadas es la indicadora de cero, distinta de la derivada cero del límite de valores. La igualdad deseada falla en un punto donde ambos destinos de derivadas existen. No es sólo una falta de existencia.
El anclaje no es decorativo. Las funciones constantes \(f_n=n\) tienen derivadas idénticamente cero y no convergen en ningún punto. Las constantes \((-1)^n\) tampoco convergen, aunque sus derivadas sí. En \([0,1]\cup[2,3]\) podemos fijar todas las filas en cero en la primera componente y en \(n\) en la segunda; una ancla en la primera no controla la segunda. No hay segmento del dominio atravesando el hueco al que aplicar C19.
Un control local no es global. Para \(f_n(x)=x/(n+1)\) en \(\mathbb R\), las derivadas convergen uniformemente a cero y \(f_n(0)=0\). Los valores convergen uniformemente en cada segmento acotado, pero no en toda la recta: en \(x=n+1\) el error es uno. El factor \(|x-c|\) de R6 no tiene barrera global.
Los errores \(h_n\) tienden a cero uniformemente, pero sus derivadas conservan valor uno en cero. Derivar no es, por tanto, una operación continua respecto de la sola norma de valores. La integración en el marco fijo sí tiene la estimación de R4. Para cada operación ha sido necesario identificar el presupuesto de error que su prueba utiliza.
![Raíces suavizadas sqrt(x²+1/k²) convergen uniformemente a|x|, que tiene esquina en0. Para h_n=x/(1+kx²), las derivadas son(1−kx²)/(1+kx²)² y conservan valor1 en0; su destino puntual vale0 fuera de0. Se muestra la ventana[−1,1] de reglas definidas sobre todaR. No se concluye uniformidad de derivadas.](../../assets/books/anm/C28/C28-F07.svg)
Ejercicios de la sección 28.7
Ejercicio 31. Una esquina como límite uniforme
Prueba convergencia uniforme de \(q_n(x)=\sqrt{x^2+(n+1)^{-2}}\) a \(|x|\) en \(\mathbb R\) y describe su derivabilidad.
Ver solución del ejercicio 31
Con \(k=n+1>0\), la raíz de \(x^2+k^{-2}\) es al menos \(|x|\). Por otra parte, \((|x|+1/k)^2=x^2+2|x|/k+k^{-2}\ge x^2+k^{-2}\) y ambos lados comparados son no negativos. Así \(0\le q_n(x)-|x|\le1/k\) para toda entrada, con igualdad en cero. La envolvente exacta es \(1/(n+1)\to0\), probando uniformidad en toda la recta. Cada fila es derivable, porque la raíz se aplica a argumentos positivos, y \(q_n'(x)=x/\sqrt{x^2+k^{-2}}\). El destino \(|x|\) tiene cocientes menos uno a la izquierda de cero y uno a la derecha, así no es derivable allí. Uniformidad de valores no conserva esa propiedad.
Ejercicio 32. Los dos destinos de derivadas existen
Para \(h_n=x/(1+(n+1)x^2)\), compara \(\lim_n h_n^{\prime}\) con la derivada de \(\lim_n h_n\).
Ver solución del ejercicio 32
La envolvente de valores de \(h_n\) es \(1/(2\sqrt{n+1})\to0\), así su límite es la función cero uniformemente. Con \(k=n+1\), la regla del cociente da \(h_n'(x)=(1-kx^2)/(1+kx^2)^2\). En cero vale uno para toda etapa; si \(x\ne0\), su magnitud está acotada por \(1/(1+kx^2)\to0\). Por tanto las derivadas tienen límite puntual \(\mathbf1_{\{0\}}\). La derivada de la función límite es cero en todo centro y difiere de esa indicadora en el origen. Las derivadas, continuas, no convergen uniformemente a su destino discontinuo por R1. El ejemplo conserva la existencia de ambas operaciones y muestra que sus valores no coinciden.
Retorno visual. Véase C28-F06, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 33. Sin anclaje
Construye dos familias con derivadas uniformemente cero y sin convergencia de valores.
Ver solución del ejercicio 33
Sobre un intervalo no vacío, las filas constantes \(f_n(x)=n\) tienen derivadas cero en cada punto interior. Esa familia de derivadas es uniformemente constante cero, pero los valores crecen sin cota en cualquier anclaje y no convergen a un real. Otra familia es \(f_n(x)=(-1)^n\), también con derivadas cero, cuyos valores alternan entre uno y menos uno sin límite. Ambos casos muestran que el control de derivadas deja libres las constantes aditivas. Ninguno cumple la convergencia del dato de anclaje exigida por R6.
Ejercicio 34. Sólo uniformidad en segmentos
Analiza R6 para \(f_n=x/(n+1)\) en toda la recta con anclaje cero.
Ver solución del ejercicio 34
En toda la recta, \(f_n'(x)=1/(n+1)\) converge uniformemente a cero y \(f_n(0)=0\) fija exactamente el anclaje. En cada segmento \([-M,M]\), el error de valores hacia cero tiene envolvente \(M/(n+1)\to0\). Así se obtiene uniformidad en marcos acotados. Globalmente, cada fila \(x/(n+1)\) tiene errores no acotados; además la entrada \(x=n+1\) mantiene error uno en todas las etapas. El factor \(|x-c|\) del certificado de R6 carece de barrera en la recta. El resultado sobre un segmento fijo no promete uniformidad global allí.
Ejercicio 35. Una ancla por componente
Construye un ejemplo en \([0,1]\cup[2,3]\) donde la ancla en la primera pieza no controle la segunda.
Ver solución del ejercicio 35
En \(X=[0,1]\cup[2,3]\), definimos \(f_n=0\) en la primera componente y \(f_n=n\) en la segunda. Son continuas relativamente al dominio y derivables con derivada cero en los interiores de ambas piezas. Las derivadas convergen uniformemente a cero y el anclaje \(f_n(0)=0\) es exacto. Sin embargo cualquier columna de la segunda componente diverge. El segmento que une una entrada de cada pieza atraviesa \((1,2)\), donde las funciones no están dadas, así no puede aplicarse Lagrange para transportar el dato inicial. Se necesita una ancla que fije la constante de cada componente.
28.8. Certificar varias operaciones a la vez
En un ejemplo polinómico podemos calcular a la vez los errores de valores, derivadas y acumulaciones. Esto permitirá comparar las cotas generales con los errores exactos y comprobar qué exige una tolerancia estricta en la frontera de un corte.
R8 — Un paquete explícito. En \([-1,1]\), sean
\[f_n(x)=x^2+(1-2^{-n})x,\quad f(x)=x^2+x,\quad g_n(x)=2x+1-2^{-n},\quad g(x)=2x+1.\]
Todas las filas son polinomios, \(f_n(0)=0\), y las diferencias de derivadas tienen envolvente \(D_n=2^{-n}\). R6 construye e identifica el límite con derivada \(g\); la cota de anclaje da \(|f_n(x)-f(x)|\le |x|D_n\). La igualdad directa muestra \(E_n=D_n\), alcanzada en los extremos. R1 conserva continuidad y R4 permite integrar. En todo el intervalo final \([-1,1]\), el error integral firmado es cero porque la diferencia es impar; la cota general \(2E_n\) sigue siendo válida, aunque no sea exacta en ese caso.
Con anclaje de acumulación en cero, C24 da
\[A_n(x)=x^3/3+(1-2^{-n})x^2/2,\qquad A(x)=x^3/3+x^2/2.\]
Por ello \(\sup|A_n-A|=D_n/2\). Se conocen simultáneamente valores, pendientes, acumulaciones y sus tasas. Un certificado para error de derivadas menor que \(\varepsilon\) exige \(2^{-n}<\varepsilon\), con desigualdad estricta: si \(\varepsilon=1/8\), desde \(n=4\) sirve, pero \(n=3\) está en la frontera. No se deduce una identidad de integrales de una gráfica.
Norma con dos capas. Para funciones \(u\) continuas en \([a,b]\) con derivada interior que admita extensión continua al cerrado, llamamos \(C^1([a,b])\) a esta clase y definimos
\[\|u\|_{C^1}=\sup_{[a,b]}|u|+\sup_{[a,b]}|u'|.\]
Los extremos de \(u'\) son los valores de la extensión continua; coinciden con derivadas de un lado por C19 y paso al límite. Sus imágenes son acotadas por C16. Las propiedades de norma siguen aplicando las de C27 a las dos capas; identidad usa ya la capa de valores. Si \(u_n\to u\) en esta norma, convergen uniformemente valores y derivadas. A la inversa, si una sucesión de \(C^1\) tiene derivadas uniformes en el cerrado y valores convergentes en un anclaje, R1 hace continuo al límite de derivadas, R6 construye \(u\) y prueba convergencia en ambas capas. El límite de derivadas en los bordes es su extensión continua; la misma cota de incrementos identifica las derivadas laterales.
Un número finito de derivadas. Para \(r\ge1\) fijo, supongamos filas \(C^r\) en un mismo segmento, convergencia uniforme de sus derivadas de orden \(r\) y convergencia de los valores de órdenes \(0,\ldots,r-1\) en un anclaje común. Aplicamos R6 primero a las filas de orden \(r-1\), después a las de orden \(r-2\) y así un número finito de veces. Se construyen límites uniformes para todos los órdenes y se identifica cada derivada con el siguiente. No se usa una serie infinita ni Taylor para justificar esta inducción finita. Para \(r=0\) sólo queda convergencia uniforme de valores.
Las pruebas utilizan tres controles distintos: una fila fija dentro de la banda para conservar continuidad; brechas de Darboux y longitud finita para integrar; incrementos proporcionales a la distancia y un anclaje para derivar. En cada caso, la existencia del destino se establece antes de identificar las operaciones en el límite.
Estos argumentos se han aplicado a familias de funciones. Cuando las filas sean sumas parciales de una serie, habrá que demostrar las hipótesis sobre esa familia antes de integrar o derivar término a término; aún no se han usado el criterio M ni los radios de convergencia.
![En el paquete polinómico dyádico sobre[−1,1], los errores exactos de valores y derivadas son2^(−n); el de acumulación es2^(−n)/2. Con tolerancia estricta1/8 para derivadas, n=3 es frontera y n=4 es el primer índice válido. Las curvas polinómicas y las envolventes provienen de fórmulas probadas.](../../assets/books/anm/C28/C28-F08.svg)
Ejercicios de la sección 28.8
Ejercicio 36. El paquete polinómico
Calcula envolventes de valores y derivadas de \(f_n=x^2+(1-2^{-n})x\) frente a \(f=x^2+x\) en \([-1,1]\).
Ver solución del ejercicio 36
La diferencia del paquete es \(f_n(x)-f(x)=-2^{-n}x\). En \([-1,1]\) su magnitud máxima es \(2^{-n}\), alcanzada en ambos extremos. Las derivadas son \(g_n(x)=2x+1-2^{-n}\) y \(g(x)=2x+1\); su diferencia es la constante \(-2^{-n}\) y tiene la misma envolvente. Todas las funciones son polinomios y el anclaje en cero es exactamente cero. R6 permite identificar la derivada del destino bajo ese control. Para la norma de dos capas, \(\|f_n-f\|_{C^1}=2^{-n}+2^{-n}=2^{1-n}\), que tiende a cero.
Ejercicio 37. El error de acumulación
Obtén las acumuladas del ejemplo anterior con anclaje cero y su envolvente exacta.
Ver solución del ejercicio 37
Con anclaje de acumulación en cero, las primitivas polinómicas y Newton–Leibniz dan \(A_n(x)=x^3/3+(1-2^{-n})x^2/2\) y \(A(x)=x^3/3+x^2/2\). La fórmula también vale para \(x<0\) por orientación. Su diferencia es \(-2^{-n}x^2/2\), con envolvente exacta \(2^{-n}/2\) en \([-1,1]\), alcanzada en los extremos. En cambio, el error integral de las tasas sobre todo el segmento es \(\int_{-1}^1-2^{-n}x\,dx=0\). La cancelación firmada de ese tramo completo no implica igualdad de cada acumulación desde cero.
Retorno visual. Véase C28-F07, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 38. Frontera estricta dyádica
Encuentra el corte mínimo para error de derivadas estrictamente menor que \(1/8\) en el ejemplo polinómico.
Ver solución del ejercicio 38
El error exacto de derivadas es \(D_n=2^{-n}\). Para \(n=3\) se tiene \(D_3=1/8\), en la frontera y fuera del requisito estricto. Para \(n=4\), \(D_4=1/16<1/8\), y cualquier índice posterior tiene error todavía menor. Si el corte fuera menor que cuatro, su cola incluiría la etapa tres, que falla. Por tanto el corte mínimo para controlar toda la cola con error estrictamente menor que \(1/8\) es \(N=4\).
Retorno visual. Véase C28-F08, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 39. Norma de dos capas
Verifica que \(\|u\|_{C^1}=\|u\|_\infty+\|u^{\prime}\|_\infty\) es una norma en la clase definida en R8.
Ver solución del ejercicio 39
La clase de R8 contiene funciones continuas en un segmento no degenerado cuya derivada interior admite extensión continua al cerrado. Esa extensión es única porque el interior es denso, y las extensiones de sumas y múltiplos son las correspondientes operaciones de las extensiones. Compacidad acota ambas capas y hace reales sus normas supremas. Su suma es no negativa. Si vale cero, la norma de valores ya obliga a que \(u\) sea la función nula; la recíproca es inmediata. La linealidad de derivadas y la homogeneidad suprema dan \(\|\alpha u\|_{C^1}=|\alpha|\|u\|_{C^1}\). Aplicar la triangular por separado a valores y derivadas y sumar da \(\|u+v\|_{C^1}\le\|u\|_{C^1}+\|v\|_{C^1}\). Quedan verificadas las propiedades de norma sin suponer máximos alcanzados.
Ejercicio 40. Inducción finita de órdenes
Justifica convergencia de todas las derivadas hasta orden \(r\) bajo las hipótesis de R8.
Ver solución del ejercicio 40
Supongamos \(r\ge1\), filas \(C^r\) en el mismo segmento, convergencia uniforme de sus capas de orden \(r\) y convergencia en un anclaje común de las capas de órdenes cero hasta \(r-1\). Aplicamos R6 a las funciones de orden \(r-1\), cuya derivada es la capa superior y cuyo dato inicial converge. Obtenemos un destino uniforme de ese orden y la identificación de su derivada con el destino de orden \(r\). Repetimos para el orden \(r-2\) usando la capa recién construida como derivada uniforme, y continuamos hasta los valores. Son sólo \(r\) pasos. R1 conserva continuidad de los destinos extendidos al cerrado, y las cotas de incrementos identifican las derivadas relativas de borde. Se obtiene convergencia uniforme de todas las capas con sus relaciones de derivación. Para \(r=0\) queda únicamente la convergencia uniforme de valores; no se utiliza Taylor ni una operación infinita para justificar el descenso.