Capítulo 29 — Series de funciones y series de potencias
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La identidad geométrica finita ya dio aproximantes con error controlado. Para convertir sus límites en una teoría de series de funciones, estudiaremos la sucesión de sumas parciales y exigiremos a sus colas el control de C27. C11 aportará las comparaciones numéricas y C28 permitirá transportar operaciones. En las series de potencias, un punto de convergencia abrirá una región interior protegida; los extremos necesitarán pruebas propias.
29.1. Una serie es una sucesión de sumas parciales
Una suma infinita todavía no es una función. Partimos de funciones \(u_j:X\to\mathbb R\), \(j=0,1,\ldots\), y construimos los objetos finitos \[S_n(x)=\sum_{j=0}^n u_j(x).\] Todos tienen dominio \(X\). El dominio de convergencia \(D\) contiene exactamente las entradas donde la sucesión real \(S_n(x)\) tiene límite finito. Sólo allí definimos \(S(x)=\lim_n S_n(x)\). Por ejemplo, los polinomios geométricos están definidos en toda la recta, pero su serie sólo converge en \((-1,1)\): fuera, sus términos no tienden a cero; en \(-1\), los totales alternan entre dos valores.
La serie converge uniformemente en \(Y\subset D\) cuando \[\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N\ \forall x\in Y:\quad |S_n(x)-S(x)|<\varepsilon.\] El corte no puede depender de la entrada. C27 aplica a \(S_n\) y da el criterio de Cauchy uniforme: para cada \(\varepsilon>0\) existe \(N\) tal que, para todos \(m>n\ge N\) y \(x\in Y\), \[\left|\sum_{j=n+1}^m u_j(x)\right|<\varepsilon.\] La equivalencia incluye existencia: cada columna es Cauchy real, C10 construye su destino, y pasar \(m\) al límite en una cota con margen \(\varepsilon/2\) da un corte común para aproximarlo. No se presupone \(S\) para aplicar el criterio.
El resto \(R_n=S-S_n\) corresponde a términos desde \(n+1\). Si tenemos una envolvente \(|R_n(x)|\le E_n\to0\), basta escoger \(N\) con toda su cola por debajo de la tolerancia. Cuando existe el supremo real de los errores, éste es la menor envolvente; no necesitamos que todos los prefijos estén acotados para formular Cauchy. Una cantidad finita de funciones iniciales no altera la convergencia uniforme de la serie: se cancela al comparar sumas parciales después del mismo prefijo, aunque esas funciones iniciales no estén acotadas en \(Y\).
El término individual es una alarma, no un criterio suficiente. Si \(S_n\to S\) uniformemente, para \(j\ge N+1\), \[|u_j(x)|=|S_j(x)-S_{j-1}(x)|\le |R_j(x)|+|R_{j-1}(x)|.\] Así \(u_j\to0\) uniformemente. La recíproca falla ya para funciones constantes \(u_j(x)=1/(j+1)\): los términos desaparecen y la serie armónica diverge.
Una ventana interior. Para \(|x|\le r<1\), la identidad finita geométrica y su límite dan \[S_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x},\qquad S(x)=\frac1{1-x},\qquad |R_n(x)|\le\frac{r^{n+1}}{1-r}.\] En todo \((-1,1)\) falta uniformidad: cada resto \(x^{n+1}/(1-x)\) es no acotado cuando \(x\) se aproxima a \(1\) desde dentro. Convergencia en cada ventana cerrada interior no significa convergencia uniforme en todo el dominio abierto.
Ejercicios de la sección 29.1
Ejercicio 1. La geométrica en dos dominios
Para \(u_j(x)=x^j\), encuentre dominio, suma y una envolvente en \([-r,r]\), \(0<r<1\). Decida uniformidad en \((-1,1)\).
Ver solución del ejercicio 1
Para \(x\ne1\), multiplicar el parcial por \(1-x\) y cancelar términos da \(S_n(x)=(1-x^{n+1})/(1-x)\). Si \(|x|<1\), \(x^{n+1}\to0\) y la suma es \(S(x)=1/(1-x)\). Para \(|x|\ge1\), los términos \(x^j\) no tienden a cero, incluidos \(x=\pm1\); por tanto \(D=(-1,1)\).
La resta exacta es \(R_n(x)=x^{n+1}/(1-x)\). En \([-r,r]\), \(0<r<1\), \(|R_n(x)|\le r^{n+1}/(1-r)\to0\). La igualdad se alcanza en \(x=r\), de modo que ésta es también la envolvente exacta. Un corte con \(r^{n+1}<(1-r)\varepsilon\) sirve para toda la ventana.
En todo \((-1,1)\), para cada \(n\) el resto crece sin límite al acercarse a \(1\) por la izquierda. La convergencia es puntual allí, pero no uniforme.
Retorno visual. Véase C29-F01, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 2. Un término necesario
Pruebe que la convergencia uniforme de una serie implica que sus términos tienden uniformemente a cero. Refute la recíproca.
Ver solución del ejercicio 2
Suponga \(S_n\to S\) uniformemente. Dado \(\varepsilon>0\), elija \(N\) para que \(|S_k(x)-S(x)|<\varepsilon/2\) para todo \(k\ge N\) y toda entrada. Para \(j\ge N+1\), \(u_j=S_j-S_{j-1}\), luego \(|u_j(x)|<\varepsilon\). Así los términos tienden uniformemente a cero.
El recíproco falla incluso para funciones constantes: en un conjunto no vacío, tome \(u_j(x)=1/(j+1)\). Su supremo de magnitud tiende a cero, pero la serie de valores es armónica en cada entrada y diverge. La condición sobre términos aislados no controla bloques de muchos términos.
Ejercicio 3. Cortes dependientes de la entrada
Diagnostique: «para todo \(x\) existe un corte geométrico, así que hay un corte para todo \((-1,1)\)». Exhiba entradas que impiden un corte dado.
Ver solución del ejercicio 3
La convergencia puntual permite elegir un corte distinto para cada \(x\): \(\forall x\;\forall\varepsilon>0\;\exists N(x,\varepsilon)\). La uniforme pide \(\forall\varepsilon>0\;\exists N(\varepsilon)\;\forall x\). Ningún intercambio de esos cuantificadores se deduce de la primera afirmación.
En la geométrica sobre \((-1,1)\), tome \(x_n=1-1/[2(n+1)]\). Es una entrada admisible para cada corte \(n\). La desigualdad de Bernoulli da \(x_n^{n+1}\ge1-(n+1)/[2(n+1)]=1/2\). Por ello \(R_n(x_n)=x_n^{n+1}/(1-x_n)\ge n+1\).
Por ejemplo, la tolerancia \(1/2\) queda incumplida en una entrada \(x_n\) para todo corte. Cada entrada fija converge, pero los infractores pueden desplazarse hacia la frontera a medida que cambia el corte.
Ejercicio 4. Prefijo no acotado
En \(\mathbb R\) tome \(u_0(x)=x^2\) y \(u_j(x)=2^{-j}\) para \(j\ge1\). Pruebe uniformidad y explique por qué no puede haber mayorante global finito para \(u_0\).
Ver solución del ejercicio 4
Para \(n\ge0\), \(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\), también con suma vacía cuando \(n=0\). Así \(S_n(x)=x^2+1-2^{-n}\) y \(S(x)=x^2+1\) en toda \(\mathbb R\). El resto es la constante \(2^{-n}\), por lo que la convergencia es uniforme en toda la recta.
No existe un mayorante finito \(M_0\) para \(|u_0(x)|=x^2\) en \(\mathbb R\). Esto impide aplicar el criterio M a la serie completa en esa ventana, aunque la uniformidad ya esté demostrada. En diferencias de parciales posteriores a cero el término \(x^2\) se cancela; sólo importa la cola sumable.
Ejercicio 5. Cauchy sin suma conocida
Suponga \(|\sum_{j=n+1}^m u_j(x)|\le\eta_n\) para todos \(m>n\) y \(x\in X\), con \(\eta_n\to0\). Construya la suma y un certificado.
Ver solución del ejercicio 5
Fije una entrada \(x\). Para \(m>n\), la hipótesis da \(|S_m(x)-S_n(x)|\le\eta_n\), y \(\eta_n\to0\). Para cada tolerancia hay un corte que controla todos los pares de índices posteriores; invertirlos no cambia la magnitud de la diferencia. Por completitud, existe \(S(x)=\lim_m S_m(x)\) en cada entrada de \(X\).
Mantenga fijos \(n\) y \(x\) y haga \(m\to\infty\). Se obtiene \(|S(x)-S_n(x)|\le\eta_n\). Como la misma sucesión de barreras sirve para todas las entradas, basta elegir \(N\) con \(\eta_n<\varepsilon\) para \(n\ge N\). Queda construida la suma y acreditada su convergencia uniforme, sin presuponerla al estimar los bloques.
29.2. El criterio M y lo que no afirma
Para aplicar Cauchy uniforme sin conocer todavía la suma, necesitamos controlar todos los bloques tardíos con un corte independiente de la entrada. Podemos conseguirlo acotando las magnitudes de los términos por una serie numérica convergente: su cola proporcionará el presupuesto común.
Criterio M de Weierstrass. Supongamos \(M_j\ge0\), \(|u_j(x)|\le M_j\) para todo \(j\) y \(x\in X\), y que la serie numérica \(\sum_{j=0}^{\infty}M_j\) converge a \(A\). Entonces \(\sum u_j\) converge uniformemente en \(X\). También converge uniformemente la serie de magnitudes \(\sum|u_j|\), y en cada entrada la primera serie converge absolutamente.
Prueba desde bloques finitos. C11 entrega un corte para todas las colas finitas de la serie positiva. Después de él, \[|S_m(x)-S_n(x)|\le\sum_{j=n+1}^m |u_j(x)|\le\sum_{j=n+1}^m M_j<\varepsilon/2.\] No depende de \(x\). Cauchy uniforme construye \(S\); la misma comparación aplicada a las sumas de magnitudes construye su destino uniformemente. Fijando \(n,x\) y pasando \(m\) al límite, obtenemos \[|R_n(x)|\le T_n,\qquad T_n=A-\sum_{j=0}^nM_j=\sum_{j=n+1}^{\infty}M_j.\] Asimismo \(|S(x)|\le A\). El paso al límite conserva \(\le\), no una desigualdad estricta sin margen. \(T_n\to0\) es un certificado disponible antes de evaluar \(S\).
Para \(|u_j(x)|\le C\rho^j\), \(0<\rho<1\), resulta \(T_n=C\rho^{n+1}/(1-\rho)\). Por ejemplo \(u_j(x)=x^j\) en \([-1/2,1/2]\) tiene \(E_n\le2^{-n}\): para exigir error estrictamente menor que \(1/8\) basta \(n\ge4\). \(n=3\) es frontera; la desigualdad débil del certificado no lo admite.
Tres propiedades distintas. El criterio M asegura convergencia absoluta en cada entrada y convergencia uniforme tanto de la serie como de sus magnitudes. La existencia de mayorantes comunes sumables es, sin embargo, una exigencia adicional. En \(X=\{0,1,2,\ldots\}\), sea \(u_j(x)=1/(j+1)\) para \(x=j\) y cero en las otras entradas. En cada entrada sólo aparece un término no nulo. Después del parcial \(n\), el mayor resto posible es \(1/(n+2)\), alcanzado en \(x=n+1\), también para la serie de magnitudes. Ambas convergen uniformemente, pero todo mayorante común debe satisfacer \(M_j\ge1/(j+1)\) y su serie diverge por comparación con la armónica. Así M es suficiente y no necesario para uniformidad.
La otra separación aparece en la geométrica sobre \((-1,1)\): en cada entrada converge absolutamente, pero no uniformemente. Y la serie constante \((-1)^j/(j+1)\) converge uniformemente por el criterio alternado de C11, sin converger absolutamente. El dominio y las cancelaciones son parte del diagnóstico.
Si la comparación M sólo vale desde un índice fijo, se aplica al tramo final. El prefijo se suma aparte. No se concluye entonces \(|S|\le A\) sin incluir una cota para ese prefijo; éste puede ser no acotado.
Ejercicios de la sección 29.2
Ejercicio 6. Mayorante dyádico
Si \(|u_j(x)|\le3\,2^{-j}\), dé cota de suma y cola y el primer índice garantizado para error estrictamente menor que \(3/8\).
Ver solución del ejercicio 6
Los mayorantes suman \(\sum_{j=0}^{\infty}3\,2^{-j}=6\), y su cola después del grado \(n\) es \(T_n=\sum_{j=n+1}^{\infty}3\,2^{-j}=3\,2^{-n}\). El criterio M construye una suma uniforme, con \(|S(x)|\le6\), y da \(|S-S_n|\le3\,2^{-n}\) en toda la ventana.
Para garantizar error estrictamente menor que \(3/8\), se necesita \(2^{-n}<1/8\). El primer corte acreditado es \(n=4\), con cota \(3/16\); en \(n=3\) sólo se garantiza \(\le3/8\). Es el primer corte que garantiza esta información: la serie positiva de términos constantes \(u_j=3\,2^{-j}\) alcanza la cota y muestra por qué el corte tres no puede garantizar la desigualdad estricta.
Ejercicio 7. La serie de magnitudes
Pruebe directamente que las hipótesis M hacen uniforme \(\sum|u_j|\) y acotan su destino por \(\sum M_j\).
Ver solución del ejercicio 7
Sean \(|u_j(x)|\le M_j\) y \(\sum M_j=M_*<\infty\). Los parciales de magnitudes \(A_n(x)=\sum_{j=0}^n|u_j(x)|\) son crecientes y están acotados por \(M_*\). En cada entrada tienen un límite \(A(x)\).
Para \(m>n\), \(0\le A_m(x)-A_n(x)\le\sum_{j=n+1}^mM_j\). Al pasar \(m\to\infty\) queda \(0\le A(x)-A_n(x)\le T_n\), donde \(T_n=\sum_{j>n}M_j\to0\) independientemente de \(x\). Por tanto la serie de magnitudes converge uniformemente y \(A(x)\le M_*\) en toda la ventana. La serie original converge absolutamente y su resto también está dominado por \(T_n\).
Ejercicio 8. Uniformidad sin criterio M
Use \(u_j(x)=\mathbf1_{\{j\}}(x)/(j+1)\) en \(X=\mathbb N_0\) para refutar que el criterio M sea necesario incluso para uniformidad de las magnitudes.
Ver solución del ejercicio 8
En la entrada \(x=k\in\mathbb N_0\), sólo el término \(u_k(k)=1/(k+1)\) es distinto de cero. La suma, tanto de valores como de magnitudes, es \(S(k)=1/(k+1)\). Si \(k\le n\) el resto es cero; si \(k>n\) vale \(1/(k+1)\). Luego \(\sup_k|S(k)-S_n(k)|=1/(n+2)\), alcanzado en \(k=n+1\).
Esto prueba convergencia uniforme absoluta directamente. Por otra parte, evaluar un supuesto mayorante en \(x=j\) obliga a \(M_j\ge1/(j+1)\). Su serie no puede converger, por comparación con la armónica. La uniformidad procede aquí de que las entradas activan términos distintos, aunque las máximas magnitudes individuales no sean sumables.
Retorno visual. Véase C29-F02, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 9. Cancelación uniforme
Considere \(u_j(x)=(-1)^j/(j+1)\) en cualquier conjunto no vacío \(X\). Decida uniformidad, absoluta y posibilidad de M.
Ver solución del ejercicio 9
Todos los términos son constantes respecto de \(x\). La serie alternada \(\sum_{j\ge0}(-1)^j/(j+1)\) converge porque sus magnitudes decrecen a cero. Su estimación de resto da \(|S-S_n|\le1/(n+2)\); al ser independiente de la entrada, acredita convergencia uniforme en cualquier conjunto no vacío.
La serie de magnitudes es armónica y diverge en cada entrada. Además, cualquier mayorante debe cumplir \(M_j\ge1/(j+1)\), por lo que no puede ser sumable. Se obtiene uniformidad condicional gracias a la alternancia, que el criterio M no registra.
Ejercicio 10. Cambio de parámetro
En \(Y=[0,1]\) sea \(u_j(x)=x^j/3^j\). Encuentre una suma explícita y compare el resto exacto con M.
Ver solución del ejercicio 10
La razón \(x/3\) está entre cero y \(1/3\) en \([0,1]\). La identidad geométrica da \(S(x)=1/(1-x/3)\) y \(R_n(x)=(x/3)^{n+1}/(1-x/3)\). En ese intervalo, \(R_n(x)\le(1/3)^{n+1}/(1-1/3)=3^{-n}/2\), con igualdad en \(x=1\).
El criterio M usa \(M_j=3^{-j}\). Su cola es precisamente \(3^{-n}/2\), de modo que coincide con la envolvente exacta y prueba convergencia absoluta y uniforme. La coincidencia se explica porque en \(x=1\) todos los términos alcanzan simultáneamente su mayorante y tienen signo positivo.
29.3. Operaciones sobre sumas infinitas
Cada operación se realiza primero sobre \(S_n\), donde sólo intervienen sumas finitas. Para identificar después el resultado con una operación sobre \(S\), comprobaremos las hipótesis de C28 sobre esa sucesión de parciales. La justificación del límite será distinta para continuidad, integración y derivación.
Continuidad. Si cada \(u_j\) es continua en \(X\) y la serie converge uniformemente allí, cada \(S_n\) es continua y C28 hace continua a \(S\) en el dominio relativo. En un dominio abierto basta uniformidad en una vecindad de cada punto. No se necesita una única banda para todo el abierto. El criterio M con términos continuos proporciona una condición suficiente inmediatamente reutilizable.
Integral propia en un marco fijo. Sean \(u_j\) integrables en \([a,b]\) y \(S_n\to S\) uniformemente allí. C28 demuestra primero que \(S\) es integrable y luego \[\int_a^b S(x)\,dx=\lim_n\sum_{j=0}^n\int_a^b u_j(x)\,dx=\sum_{j=0}^{\infty}\int_a^b u_j(x)\,dx.\] La serie de integrales converge porque sus sumas parciales convergen al destino exhibido. Si \(|R_n|\le E_n\), \[\left|\int_a^bS-\sum_{j=0}^n\int_a^b u_j\right|\le(b-a)E_n.\] Para acumuladas desde \(c\in[a,b]\), el error es a lo sumo \(|x-c|E_n\). Se conserva la orientación al integrar hacia la izquierda. No se extiende este presupuesto a longitudes que crecen con \(n\).
Derivación con ancla. Sean \(u_j\) continuas en \([a,b]\), derivables en \((a,b)\), con \(a<b\). Supongamos que \(\sum u_j^{\prime}\) converge uniformemente en \((a,b)\) a \(g\) y que la serie numérica \(\sum u_j(c)\) converge a \(\lambda\) en algún \(c\in[a,b]\). Las sumas parciales tienen derivadas \(S_n^{\prime}=\sum_{j=0}^n u_j^{\prime}\) y valores \(S_n(c)\to\lambda\). C28 produce \(S_n\to S\) uniformemente en \([a,b]\) y \(S^{\prime}=g\) en \((a,b)\). En particular \[\left(\sum_{j=0}^{\infty}u_j\right)^{\prime}=\sum_{j=0}^{\infty}u_j^{\prime}.\] Si \(|g-S_n^{\prime}|\le D_n\), su certificado es \[|S(x)-S_n(x)|\le|\lambda-S_n(c)|+|x-c|D_n.\] El ancla paga las constantes que las derivadas no ven. La prueba de C28 usa valor medio e incrementos, sin suponer continuidad de todas las derivadas ni integrar derivadas posiblemente discontinuas. Para series en toda la recta, se aplica en marcos acotados que contienen cada punto y el ancla; resulta uniformidad local.
La sola uniformidad de valores no permite derivar. Sea \(h_n(x)=\sqrt{x^2+1/(n+1)^2}\) en \([-1,1]\). Definamos \(u_0=h_0\) y, para \(j\ge1\), \(u_j=h_j-h_{j-1}\). Entonces \(S_n=h_n\) telescópicamente y \(S_n\to|x|\) uniformemente, con error máximo \(1/(n+1)\). Cada término es suave, pero el destino no es derivable en \(0\). Allí todas las derivadas parciales valen \(0\); su límite no puede ser la derivada inexistente del destino. La regularidad infinita de las filas no reemplaza el control de la serie derivada.
Ejercicios de la sección 29.3
Ejercicio 11. Integrales y orientación
Si una serie integrable en \([-2,3]\) tiene \(|R_n|\le2^{-n}\), acote error de su integral completa y de las acumuladas desde \(1\).
Ver solución del ejercicio 11
Los parciales son Riemann integrables como sumas finitas de términos integrables. La cota uniforme \(|S-S_n|\le2^{-n}\), que tiende a cero, permite aplicar el teorema de límites uniformes integrables: la suma \(S\) también es integrable en \([-2,3]\).
La longitud del intervalo es cinco, por lo que \(|\int_{-2}^3 S-\sum_{j=0}^n\int_{-2}^3u_j|\le5\,2^{-n}\). Para la acumulada desde uno, \(|\int_1^x S-\sum_{j=0}^n\int_1^xu_j|\le|x-1|2^{-n}\le3\,2^{-n}\). Esto da uniformidad de las acumuladas en todo el intervalo, incluida la orientación negativa cuando \(x<1\).
Ejercicio 12. Serie derivada con ancla
Formule y pruebe el teorema derivativo de §29.3 usando sólo el teorema de sucesiones de C28.
Ver solución del ejercicio 12
Sean \(u_j\) continuas en \([a,b]\), derivables en \((a,b)\), con \(a<b\). Suponga que \(\sum_j u_j'\) converge uniformemente en \((a,b)\) a \(G\) y que \(\sum_j u_j(c)\) converge para alguna ancla \(c\in[a,b]\). Entonces \(\sum_j u_j\) converge uniformemente en \([a,b]\) a una función \(S\) derivable en \((a,b)\), con \(S'=G\).
Escriba \(S_n=\sum_{j=0}^nu_j\). Si cada \(u_j\) es derivable, la regla de suma finita da \(S_n'=\sum_{j=0}^nu_j'\). La hipótesis sobre la serie derivada dice exactamente que \(S_n'\to G\) uniformemente. La hipótesis del ancla dice que \(S_n(c)\) converge.
Se cumplen así las hipótesis del teorema de C28 para sucesiones de funciones derivables. Éste construye el límite \(S\) de los parciales, acredita su derivabilidad en el interior y da \(S'=G=\sum_j u_j'\). En un intervalo acotado, el valor medio también proporciona la convergencia uniforme de \(S_n\): la diferencia de dos parciales queda controlada por su diferencia en \(c\) y la longitud por el error de pendientes.
La prueba no requiere continuidad de las derivadas. El ancla y la uniformidad de sus parciales son las condiciones que deben verificarse antes de usar la fórmula.
Ejercicio 13. Telescopio suave con esquina
Para \(h_n(x)=\sqrt{x^2+1/(n+1)^2}\) forme la serie telescópica de §29.3. Pruebe uniformidad y la falla de derivación en cero.
Ver solución del ejercicio 13
Defina \(u_0=h_0\) y \(u_j=h_j-h_{j-1}\) para \(j\ge1\). Todos los términos son derivables en \(\mathbb R\), pues el radicando de cada \(h_n\) es estrictamente positivo. La suma finita telescópica es \(S_n=h_n\).
Para \(a=1/(n+1)\), las desigualdades \(|x|\le\sqrt{x^2+a^2}\le|x|+a\) dan \(0\le S_n(x)-|x|\le1/(n+1)\). La cota se alcanza en cero y prueba convergencia uniforme, incluso en toda la recta, a \(S(x)=|x|\). Sus cocientes incrementales en cero valen \(1\) por la derecha y \(-1\) por la izquierda; la suma no es derivable allí.
La serie derivada tiene parciales \(h_n'(x)=x/\sqrt{x^2+(n+1)^{-2}}\). Su límite puntual vale \(-1\) para \(x<0\), cero para \(x=0\) y \(1\) para \(x>0\). No puede ser límite uniforme de esas funciones continuas en un intervalo que contenga cero en su interior, pues sería continuo. Falta precisamente la hipótesis derivativa.
Retorno visual. Véase C29-F03, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 14. Constantes invisibles
Dé una serie cuya serie de derivadas converja uniformemente, pero cuya serie de valores diverja. Identifique la hipótesis perdida.
Ver solución del ejercicio 14
Tome \(u_j(x)=1\) para todos los índices en \([0,1]\). Cada derivada es cero y los parciales de la serie derivada son cero: convergen uniformemente.
Sin embargo, \(S_n(x)=n+1\) en toda entrada, por lo que la serie de valores diverge. En cualquier ancla \(c\), \(S_n(c)\) tampoco converge. El ejemplo prueba que controlar todas las pendientes deja sin controlar las constantes de los parciales; se necesita la convergencia en una ancla para aplicar el teorema.
Ejercicio 15. Serie polinómica integrada
En \([-1,1]\) tome \(u_j(x)=2^{-j}x^2\). Calcule suma, derivada, integral desde cero y sus errores uniformes.
Ver solución del ejercicio 15
La suma de coeficientes es \(\sum_{j\ge0}2^{-j}=2\). Así \(S_n(x)=(2-2^{-n})x^2\) y \(S(x)=2x^2\). En \([-1,1]\), los términos están dominados por \(2^{-j}\), y el resto exacto es \(2^{-n}x^2\), con envolvente \(2^{-n}\).
Los términos derivados \(2^{1-j}x\) tienen mayorantes sumables \(2^{1-j}\); además, \(S_n(0)=0\). El teorema derivativo da \(S'=4x\), mientras \(S_n'=(4-2^{1-n})x\). El resto de derivadas es \(2^{1-n}x\), con envolvente \(2^{1-n}\).
Integrar desde cero da \(\int_0^x S(t)\,dt=2x^3/3\) y \(\int_0^x S_n(t)\,dt=(2-2^{-n})x^3/3\). El resto acumulado es \(2^{-n}x^3/3\), cuya envolvente es \(2^{-n}/3\). Las tres envolventes se alcanzan en los extremos; el signo de \(x^3\) conserva la orientación cuando \(x<0\).
29.4. Un punto de convergencia abre una región interior
Una serie de potencias de centro \(c\) tiene la forma \[\sum_{j=0}^{\infty}a_j(x-c)^j,\qquad a_j,c\in\mathbb R.\] El término de orden cero es \(a_0\) también en el centro: interpretamos el monomio constante como \(1\). La suma en \(c\) es \(a_0\), no necesariamente cero. Cada parcial es un polinomio definido en toda la recta; su límite puede tener un dominio menor.
Lema interior. Si la serie converge en \(t\ne c\), sus términos tienden a cero y existe \(M\) con \(|a_j(t-c)^j|\le M\) para todos \(j\). Para \(0<r<|t-c|\) y \(|x-c|\le r\), \[|a_j(x-c)^j|\le M\rho^j,\qquad \rho=\frac r{|t-c|}<1.\] El criterio M da convergencia absoluta en cada entrada y uniforme, incluso de las magnitudes, en todo el segmento. Además \(|R_n(x)|\le M\rho^{n+1}/(1-\rho)\). Se emplea sólo convergencia en \(t\), que podría ser condicional. El segmento de radio cero es una única entrada y se trata directamente.
Construcción del radio. Sea \(H=\{|t-c|:\text{ la serie converge en }t\}\). Contiene \(0\). Si \(H\) es acotado, definimos \(R=\sup H\ge0\); si es no acotado, escribimos \(R=\infty\). No afirmamos que el supremo pertenezca a \(H\).
Si \(0<r<R\), la propiedad del supremo, o la no acotación de \(H\) cuando \(R=\infty\), proporciona una distancia convergente mayor que \(r\). Tomamos una entrada \(t\) que la realice y aplicamos el lema interior: la serie converge absolutamente y uniformemente en \([c-r,c+r]\). Cada entrada con \(|x-c|<R\) pertenece a uno de esos segmentos, salvo el centro, donde la suma ya es \(a_0\). Una entrada de distancia mayor que un \(R\) finito no puede ser convergente, pues añadiría a \(H\) un número que supera su cota superior. Para \(R=0\) sólo queda el centro; para \(R=\infty\) obtenemos toda la recta y uniformidad en cada segmento acotado.
Cuando \(0<R<\infty\), el dominio es \((c-R,c+R)\) más ninguno, uno o ambos extremos, según las dos series numéricas obtenidas por sustitución. La convergencia en un extremo fuerza el interior, pero no la convergencia en el extremo opuesto. Todo compacto del intervalo abierto está dentro de un segmento cerrado interior: la función continua \(|x-c|\) alcanza allí un máximo menor que \(R\). Por restricción, la uniformidad también vale sobre ese compacto.
Qué no promete el radio. La geométrica tiene \(R=1\) y converge uniformemente en cada \([-r,r]\), \(r<1\), pero no en todo \((-1,1)\). Las cotas empeoran al aumentar \(r\) hacia \(1\). «Localmente uniforme» recuerda ese margen disponible alrededor de cada punto; no significa un corte común hasta la frontera.
Ejercicios de la sección 29.4
Ejercicio 16. Convergencia en una entrada
Una serie de centro \(2\) converge en \(t=-1\) y satisface \(|a_j(-3)^j|\le5\). Dé una ventana protegida y cota de cola sobre \([0,4]\).
Ver solución del ejercicio 16
El centro es \(c=2\) y el punto convergente \(t=-1\) está a distancia tres. En \([0,4]\) se tiene \(|x-2|\le2\). De la hipótesis \(|a_j(-3)^j|\le5\) se obtiene \(|a_j(x-2)^j|\le5(2/3)^j\) en toda esa ventana.
El criterio M acredita convergencia absoluta y uniforme. La cola queda controlada por \(\sum_{j>n}5(2/3)^j=15(2/3)^{n+1}\). Para una tolerancia \(\varepsilon\), basta escoger \(n\) con esa expresión menor que \(\varepsilon\).
El mismo razonamiento protege cualquier ventana de radio estrictamente menor que tres. No decide el punto \(x=5\), a distancia tres del centro: la acotación de términos en \(-1\) no acredita convergencia en el extremo opuesto.
Retorno visual. Véase C29-F04, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 17. Supremo sin pertenencia
Reconstruya el radio a partir de \(H\) y pruebe interior y exterior. Evite afirmar convergencia en la distancia \(R\).
Ver solución del ejercicio 17
Sea \(H\) el conjunto de distancias al centro de las entradas convergentes. Contiene cero. Si es acotado, tome \(R=\sup H\); si es no acotado, tome \(R=\infty\).
Para una distancia \(r<R\), la propiedad del supremo, o la no acotación, permite encontrar \(d\in H\) con \(r<d\). La convergencia en una entrada a distancia \(d\) da una cota de términos \(M d^{-j}\) para los coeficientes. En \(|x-c|\le r\), el mayorante \(M(r/d)^j\) acredita convergencia absoluta y uniforme.
Si \(R\) es finito, una entrada convergente a distancia mayor que \(R\) añadiría a \(H\) un elemento mayor que su supremo, imposible. Nada de esto exige \(R\in H\). Para \(0<R<\infty\), los dos puntos a distancia exactamente \(R\) conservan su propio problema de convergencia.
Ejercicio 18. El término constante
Diagnostique «una serie de potencias da cero en su centro». Dé un ejemplo y trate \(R=0\).
Ver solución del ejercicio 18
En el centro, cada parcial vale \(a_0\), porque el monomio de grado cero es la función constante y los restantes se anulan. Esto garantiza convergencia en \(c\) aun cuando no haya ninguna otra entrada convergente.
Por ejemplo, tome \(F(x)=7+\sum_{j\ge1}j!(x-c)^j\) como expresión de serie. Si \(d=|x-c|>0\), los términos de magnitud \(j!d^j\) tienen cociente \((j+1)d\), que eventualmente supera dos. Desde un término positivo crecen al menos geométricamente y no tienden a cero. La serie diverge fuera del centro; tiene radio cero y su única suma definida es \(F(c)=7\).
Ejercicio 19. Compactos interiores
Pruebe que una serie de radio \(R>0\) converge uniformemente en todo compacto \(K\subset(c-R,c+R)\).
Ver solución del ejercicio 19
Sea \(K\) compacto contenido en \((c-R,c+R)\). Si no es vacío, la función continua \(|x-c|\) alcanza en él un máximo \(r<R\). Elija una distancia \(s\) con \(r<s<R\); por la propiedad del radio hay una entrada convergente a distancia mayor que \(s\) y, por tanto, una cota \(|a_j|s^j\le M\).
Para \(x\in K\), \(|a_j(x-c)^j|\le M(r/s)^j\). Si \(r>0\), este mayorante es geométrico de razón menor que uno, con cola \(M(r/s)^{n+1}/(1-r/s)\). Si \(r=0\), \(K\) sólo contiene el centro y todos los restos son cero. Así hay convergencia absoluta y uniforme en \(K\). El caso vacío es inmediato. No se obtiene por ello uniformidad en todo el intervalo abierto ni en su frontera.
Ejercicio 20. Radios iguales no dan cortes iguales
Compare la geométrica y \(\sum x^j/(j+1)^2\), ambas de radio \(1\), en todo \([-1,1]\) y en \((-1,1)\).
Ver solución del ejercicio 20
Para \(\sum_{j\ge0}x^j\), el radio es uno, el dominio es \((-1,1)\) y el resto \(x^{n+1}/(1-x)\) impide uniformidad en todo ese intervalo. En \(x=\pm1\) los términos no desaparecen, por lo que no hay suma que extender por convergencia de la serie.
Para \(\sum_{j\ge0}x^j/(j+1)^2\), el cociente de coeficientes tiende a uno y también \(R=1\). En \([-1,1]\), los términos están dominados por \(1/(j+1)^2\). Esta serie numérica converge por \(1/(j+1)^2\le1/j-1/(j+1)\) para \(j\ge1\), y el criterio M da convergencia absoluta y uniforme en el intervalo cerrado.
De hecho, su cola común es \(\le\sum_{j=n+1}^{\infty}[1/j-1/(j+1)]=1/(n+1)\). Fuera de \([-1,1]\) los términos no tienden a cero, por cociente de magnitudes mayor que uno. El radio compartido no determina el comportamiento en el borde ni la uniformidad en la ventana máxima.
29.5. Calcular el radio y examinar los extremos
El radio se ha construido a partir del conjunto de entradas convergentes. Podemos buscar fórmulas para calcularlo mediante comparaciones geométricas, pero su existencia no depende de que algún cociente o alguna sucesión de raíces tenga límite. Cuando esos métodos no decidan, permanece la construcción por supremo.
Comparación geométrica por cocientes. Para una serie numérica con términos no nulos desde cierto índice, si \(|b_{j+1}|/|b_j|\to L<1\), elijamos \(L<q<1\). Eventualmente \(|b_{j+1}|\le q|b_j|\); inducción finita da \(|b_{N+k}|\le|b_N|q^k\). C11 prueba convergencia absoluta por comparación. Si el límite es \(L>1\), elijamos \(1<q<L\). Eventualmente las magnitudes crecen al menos como \(|b_N|q^k\), así que los términos no tienden a cero y la serie diverge. El mismo argumento funciona si el cociente tiende a infinito. El caso \(L=1\) queda sin decidir.
Para coeficientes eventualmente no nulos, si \(|a_{j+1}/a_j|\to L\), el cociente de los términos en una entrada distinta del centro tiende a \(L|x-c|\). Por ello \(R=1/L\) si \(0<L<\infty\), \(R=\infty\) si \(L=0\) y \(R=0\) si \(L=\infty\). Las escrituras \(1/0\) y \(1/\infty\) sólo son convenciones de estos casos, no divisiones reales. Si hay infinitos ceros, no se usa una división no definida.
Comparación por raíces. Si \(|b_j|^{1/j}\to L<1\), una barrera eventual \(q<1\) da \(|b_j|\le q^j\). Si \(L>1\), una barrera inferior \(q>1\) impide que los términos desaparezcan. Para \(j\ge1\), \(|a_j(x-c)^j|^{1/j}=|a_j|^{1/j}|x-c|\). Si las raíces de los coeficientes tienen límite \(L\) finito o infinito, resultan las mismas fórmulas de radio y los mismos casos extremos. Aquí no se introduce una fórmula con limsup sin construir esa herramienta.
Cuatro fronteras con el mismo radio. Centremos en cero. El coeficiente inicial de las dos series con denominador \(j\) se fija como cero.
| Serie | \(R\) | En \(-1\) | En \(1\) |
|---|---|---|---|
| \(\sum_{j=0}^{\infty}x^j\) | \(1\) | Diverge | Diverge |
| \(\sum_{j=1}^{\infty}x^j/j\) | \(1\) | Condicional | Diverge |
| \(\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^jx^j/j\) | \(1\) | Diverge | Condicional |
| \(\sum_{j=0}^{\infty}x^j/(j+1)^2\) | \(1\) | Absoluta | Absoluta |
Los cocientes de coeficientes tienden a \(1\), pero no resuelven los extremos. Allí C11 distingue términos que no desaparecen, armónica y alternada. Para la última, desde \(j=1\), \[\frac1{(j+1)^2}\le\frac1{j(j+1)}=\frac1j-\frac1{j+1},\] así que una comparación telescópica prueba convergencia absoluta en ambos extremos, sin invocar un criterio no construido. De hecho el mismo mayorante M prueba uniformidad en todo \([-1,1]\) para esa última serie.
Una serie con sólo finitos coeficientes no nulos tiene \(R=\infty\). Para \(a_j=j!\), los cocientes de términos son \((j+1)|x|\to\infty\) si \(x\ne0\), luego \(R=0\). Para \(a_j=1/j!\), los cocientes tienden a cero en cada entrada y \(R=\infty\). Finalmente \(\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k}\) tiene ceros en todos los coeficientes impares: se reconoce como geométrica de razón \(x^2\), de radio \(1\), sin forzar un cociente entre coeficientes consecutivos.
Ejercicios de la sección 29.5
Ejercicio 21. Cocientes acreditados
Pruebe el criterio de cociente cuando el límite es menor que \(1\) y cuando es mayor que \(1\), indicando el tratamiento de un prefijo.
Ver solución del ejercicio 21
Para una serie de términos eventualmente no nulos, suponga \(|b_{j+1}|/|b_j|\to L\). Si \(L<1\), elija \(L<q<1\) y \(J\) tal que los cocientes posteriores sean \(\le q\). Inducción da \(|b_{J+k}|\le|b_J|q^k\). La cola converge absolutamente y el prefijo finito no modifica la convergencia.
Si \(L>1\), elija \(1<q<L\) y un corte con cocientes \(\ge q\). Se obtiene \(|b_{J+k}|\ge|b_J|q^k\), y \(|b_J|>0\): los términos no desaparecen. Lo mismo vale para límite infinito escogiendo un \(q>1\) fijo.
Con \(L=1\) no se obtiene ninguna de esas barreras. Las series \(\sum1/(j+1)^2\) y \(\sum1/(j+1)\) muestran ambas posibilidades. La hipótesis de términos eventualmente no nulos es la que hace lícitas las divisiones.
Ejercicio 22. Trasladar y escalar
Encuentre radio y dominio de \(\sum_{j=1}^{\infty}((x-2)/3)^j/j\).
Ver solución del ejercicio 22
Ponga \(z=(x-2)/3\). La serie es \(\sum_{j\ge1}z^j/j\). Como serie de potencias en \(x-2\), sus coeficientes son \(a_0=0\) y \(a_j=1/(j3^j)\); sus cocientes tienden a \(1/3\), por lo que el radio es tres.
Para \(|x-2|<3\) hay convergencia absoluta. En \(x=-1\), \(z=-1\) y queda una alternada de magnitudes \(1/j\) decrecientes a cero: converge condicionalmente. En \(x=5\), \(z=1\) y queda la armónica, divergente. Fuera de esas distancias, los términos no tienden a cero. El dominio completo es \([-1,5)\).
Ejercicio 23. Ceros en los coeficientes
Encuentre el radio de \(\sum_{k=0}^{\infty}(x-1)^{2k}\) y explique por qué no sirve el cociente consecutivo de sus coeficientes.
Ver solución del ejercicio 23
La serie \(\sum_{k\ge0}(x-1)^{2k}\) es geométrica de razón \((x-1)^2\). Converge exactamente cuando \(|x-1|<1\), con suma \(1/[1-(x-1)^2]\). En \(x=0\) o \(x=2\) los términos valen uno; fuera del intervalo su magnitud crece. Por tanto el centro es uno, el radio es uno y el dominio es \((0,2)\).
Como serie con todos los grados, tiene coeficientes \(a_{2k}=1\) y \(a_{2k+1}=0\). Hay denominadores nulos arbitrariamente lejos en los cocientes consecutivos, por lo que ese criterio no puede aplicarse. La identificación geométrica usa los grados efectivamente presentes y resuelve la convergencia sin esas divisiones.
Ejercicio 24. Raíz sin cociente
Para \(a_j=2^j\) si \(j\) es par y \(a_j=2^j/(j+1)\) si es impar, calcule \(R\). Justifique el límite de raíces usado.
Ver solución del ejercicio 24
En índices pares, \(|a_j|^{1/j}=2\); en los impares vale \(2/(j+1)^{1/j}\). Para probar \((j+1)^{1/j}\to1\), fije \(q>1\). El cociente de \((j+1)/q^j\) tiende a \(1/q<1\), de modo que esa sucesión termina dominada por una geométrica y tiende a cero. Eventualmente \(j+1<q^j\), luego \(1\le(j+1)^{1/j}<q\). Como vale para cualquier \(q>1\), el límite es uno.
Las raíces de los coeficientes tienden así a dos y el radio es \(1/2\). Los cocientes consecutivos, aunque están definidos, alternan: para \(j\) par, \(a_{j+1}/a_j=2/(j+2)\to0\); para \(j\) impar, \(a_{j+1}/a_j=2(j+1)\to\infty\). No tienen límite, por lo que el método consecutivo no determina el radio en este caso.
Ejercicio 25. Todos los extremos
Construya series de radio \(2\) y centro \(-3\) con cada uno de los cuatro posibles dominios de extremos.
Ver solución del ejercicio 25
Use \(z=(x+3)/2\), que envía \(x=-5\) a \(z=-1\) y \(x=-1\) a \(z=1\). Cuatro series sirven:
- \(\sum_{j\ge0}z^j\): no converge en ninguno de los extremos, pues allí los términos no desaparecen; dominio \((-5,-1)\).
- \(\sum_{j\ge1}z^j/j\): alternada convergente en \(-5\) y armónica divergente en \(-1\); dominio \([-5,-1)\).
- \(\sum_{j\ge1}(-1)^jz^j/j\): armónica en \(-5\) y alternada en \(-1\); dominio \((-5,-1]\).
- \(\sum_{j\ge0}z^j/(j+1)^2\): converge absolutamente en ambos extremos por comparación telescópica; dominio \([-5,-1]\).
En todas, el cociente de magnitudes de los coeficientes en potencias de \(x+3\) tiende a \(1/2\). Así tienen centro \(-3\) y radio dos. Los puntos interiores convergen absolutamente y los exteriores divergen; las evaluaciones anteriores resuelven las cuatro elecciones de frontera.
Retorno visual. Véase C29-F05, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
29.6. Derivar e integrar dentro del radio
Sea \(F(x)=\sum_{j=0}^{\infty}a_j(x-c)^j\) con \(R>0\). Fijemos \(0<r<s<R\). La convergencia en \(c+s\) entrega \(|a_j|s^j\le M\). En \(|x-c|\le r\), para \(j\ge1\), \[|ja_j(x-c)^{j-1}|\le\frac M s\,j\rho^{j-1},\qquad \rho=r/s<1.\] La serie numérica \(\sum_{j=1}^{\infty}j\rho^{j-1}\) converge: el cociente de sus términos tiende a \(\rho<1\), por §29.5. Más precisamente, la identidad finita obtenida al derivar el polinomio geométrico es \[\sum_{j=1}^n j\rho^{j-1}=\frac{1-(n+1)\rho^n+n\rho^{n+1}}{(1-\rho)^2}.\] Los términos \(n\rho^n\) tienden a cero por la misma comparación de cocientes. Pasando al límite, la suma es \(1/(1-\rho)^2\) y la cola desde \(n+1\) es \[\sum_{j=n+1}^{\infty}j\rho^{j-1}=\frac{\rho^n[(n+1)-n\rho]}{(1-\rho)^2}.\] No se ha derivado una suma infinita para justificar este mayorante: sólo una identidad polinómica finita.
El mayorante sumable y el criterio M hacen uniforme la serie derivada en el segmento elegido. En el anclaje \(c\), cada parcial original vale exactamente \(a_0\), por lo que se cumple también la convergencia numérica requerida en §29.3. El teorema de derivadas produce la suma y demuestra, en el interior del segmento, \[F^{\prime}(x)=\sum_{j=1}^{\infty}ja_j(x-c)^{j-1}.\] Para cualquier entrada con \(|x-c|<R\) podemos elegir \(r,s\) que la contengan estrictamente y satisfagan \(0<r<s<R\). La fórmula vale así en todo el intervalo abierto, con cotas locales que conservan un margen positivo respecto de la frontera.
El radio de la derivada coincide. Acabamos de probar que la serie derivada converge absolutamente en cada distancia menor que \(R\), luego su radio es al menos \(R\). Recíprocamente, si la derivada converge en una entrada \(t\) de distancia positiva, en cualquier distancia \(d<|t-c|\) converge absolutamente por el lema interior aplicado a esa nueva serie. Allí, \[\sum_{j=1}^{\infty}|a_j|d^j\le d\sum_{j=1}^{\infty}j|a_j|d^{j-1}<\infty.\] Así \(R\ge d\) para todo \(d<|t-c|\). Ninguna distancia convergente de la derivada puede exceder \(R\). Esto cubre radios infinitos y series polinómicas sin restar infinitos.
Integral término a término. La uniformidad en cada segmento cerrado interior y §29.3 dan \[\int_c^x F(t)\,dt=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_j}{j+1}(x-c)^{j+1},\qquad |x-c|<R.\] La orientación está incluida. La serie integrada tiene el mismo radio. Primero converge absolutamente en el interior por comparación. Si converge en una distancia \(d>0\), sus términos están acotados: \(|a_j|d^{j+1}/(j+1)\le B\). En cada \(0<r<d\) recuperamos \[|a_j|r^j\le\frac B d(j+1)(r/d)^j,\] un mayorante sumable. Por tanto el radio original es al menos cualquier \(r<d\), y no puede haber distancias convergentes de la integrada por encima de \(R\).
Órdenes finitos. Iterar la igualdad de radios y el teorema derivativo produce, para cada entero fijo \(k\ge0\), \[F^{(k)}(x)=\sum_{j=k}^{\infty}\frac{j!}{(j-k)!}a_j(x-c)^{j-k}.\] Cada orden tiene uniformidad en segmentos interiores. El orden \(k\) se fija antes del corte; no se promete control uniforme de todos los órdenes simultáneamente. Ninguna de estas pruebas autoriza derivar la serie en \(c\pm R\).
Ejercicios de la sección 29.6
Ejercicio 26. La cola derivada
Deduzca \(\sum_{j>n}j\rho^{j-1}\), \(0<\rho<1\), sin derivar una serie infinita.
Ver solución del ejercicio 26
Para \(0<\rho<1\), derive sólo la identidad polinómica finita \(\sum_{j=0}^n\rho^j=(1-\rho^{n+1})/(1-\rho)\). La regla del cociente da \(\sum_{j=1}^n j\rho^{j-1}=[1-(n+1)\rho^n+n\rho^{n+1}]/(1-\rho)^2\).
La sucesión \(n\rho^n\) tiende a cero: desde \(n\ge1\) sus cocientes son \(\rho(n+1)/n\to\rho<1\), y una barrera geométrica lo demuestra. Lo mismo vale para \((n+1)\rho^n\). Por tanto los parciales numéricos convergen a \(1/(1-\rho)^2\).
Restar el parcial al total da la cola exacta \(\sum_{j>n}j\rho^{j-1}=\rho^n[(n+1)-n\rho]/(1-\rho)^2\), también para \(n=0\). La sumabilidad del mayorante derivativo queda establecida mediante polinomios y límites numéricos, antes de cualquier derivación de una serie infinita.
Retorno visual. Véase C29-F06, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 27. Presupuesto derivativo concreto
Si \(|a_j|\le3\,2^{-j}\), acote en \([-1,1]\) el resto de la serie derivada y evalúe la cota en \(n=4\).
Ver solución del ejercicio 27
En \([-1,1]\), \(|ja_jx^{j-1}|\le3j2^{-j}\) para \(j\ge1\). Esta serie de mayorantes converge por la fórmula de la cola ponderada con \(\rho=1/2\). Además, los parciales originales valen \(a_0\) en cero. El teorema derivativo permite identificar \(F'\) con la serie de derivadas.
Después del grado \(n\), su resto satisface \(|F'(x)-S_n'(x)|\le3\sum_{j>n}j2^{-j}=(3/2)\sum_{j>n}j(1/2)^{j-1}=3(n+2)2^{-n}\). Para \(n=4\), la barrera es \(18/16=9/8\). La cola de valores, en cambio, está dominada por \(3\,2^{-n}\) y da \(3/16\) en ese corte.
El factor de índice explica el mayor presupuesto necesario para las derivadas. La hipótesis \(|a_j|\le3\,2^{-j}\) garantiza un radio al menos dos; no obliga a que sea exactamente dos, pues los coeficientes pueden ser mucho menores o incluso terminar.
Ejercicio 28. Una frontera no derivable por la serie
Para \(F(x)=\sum_{j\ge1}x^j/j\), explique por qué la convergencia en \(-1\) no autoriza la fórmula de serie derivada allí.
Ver solución del ejercicio 28
La serie \(F(x)=\sum_{j\ge1}x^j/j\) tiene radio uno. En \(x=-1\) converge condicionalmente por alternancia. En \(|x|<1\), el teorema derivativo da \(F'(x)=\sum_{j\ge1}x^{j-1}=1/(1-x)\).
Si se sustituye \(x=-1\) en la serie derivada, sus términos son \((-1)^{j-1}\) y no tienden a cero. La serie diverge, por lo que no representa una derivada en esa frontera. La convergencia de los valores en el extremo no extiende el teorema derivativo hasta él. Una eventual extensión derivable de la función interior requeriría otro argumento y no convertiría esta serie divergente en una representación válida.
Ejercicio 29. Integral y radio
Pruebe que dividir los coeficientes por \(j+1\) e incrementar el grado no aumenta el radio de una serie de radio positivo.
Ver solución del ejercicio 29
La serie integrada desde el centro es \(G(x)=\sum_{j\ge0}a_j(x-c)^{j+1}/(j+1)\). En cada ventana interior del radio original \(R>0\), la convergencia uniforme permite integrar y da \(G(x)=\int_c^xF(t)\,dt\). Por ello su radio \(R_G\) es al menos \(R\).
Suponga que la integrada converge a una distancia \(d>0\). Sus términos son acotados, así que existe \(B\) con \(|a_j|d^{j+1}/(j+1)\le B\). Para \(0<r<d\), resulta \(|a_j|r^j\le(B/d)(j+1)(r/d)^j\). La serie de la derecha converge, pues el cociente de sus términos tiende a \(r/d<1\). La original converge absolutamente en cada distancia menor que \(d\).
Si \(R_G>R\) con \(R\) finito, escoja una distancia convergente \(d>R\) para la integrada y luego \(R<r<d\). La conclusión anterior contradice el radio original. Si \(R=\infty\), la desigualdad inicial ya fuerza \(R_G=\infty\). Por tanto \(R_G=R\); la integración sí puede cambiar la convergencia en los extremos.
Ejercicio 30. Orden finito y ancla
Obtenga \(F^{(3)}\) y \(a_3\) para una serie de centro \(c\) y radio positivo. Precise la región válida.
Ver solución del ejercicio 30
En cualquier ventana estrictamente interior al radio, aplique tres veces el teorema derivativo. En cada paso la nueva serie conserva el radio, y los factores polinómicos en el índice se absorben reservando un margen geométrico. Se obtiene \(F^{(3)}(x)=\sum_{j\ge3}j(j-1)(j-2)a_j(x-c)^{j-3}\) para \(|x-c|<R\).
Al evaluar en \(c\), se anulan los grados positivos y sólo queda \(j=3\): \(F^{(3)}(c)=6a_3\), luego \(a_3=F^{(3)}(c)/6\). El orden tres está fijado antes de elegir cortes. La fórmula se acredita en el interior, sin una afirmación adicional sobre los extremos.
29.7. Coeficientes, funciones y certificados
Las fórmulas anteriores permiten identificar sumas y recuperar sus coeficientes. En los ejemplos siguientes distinguiremos la definición de una función por su serie de las propiedades que después podremos demostrar mediante derivación y estimaciones de cola.
Geométrica y su derivada. En \(|x|<1\), \[\frac1{1-x}=\sum_{j=0}^{\infty}x^j,\qquad \frac1{(1-x)^2}=\sum_{j=1}^{\infty}jx^{j-1}.\] La primera identidad procede del resto finito; la segunda emplea §29.6 y la regla derivativa de C18. Integrar la primera desde cero define la función \(L(x)=\int_0^x(1-t)^{-1}\,dt\) en \((-1,1)\) y entrega \(L(x)=\sum_{j=1}^{\infty}x^j/j\). No hace falta identificar \(L\) con un logaritmo construido por otra vía, ni evaluar esta identidad directamente en un extremo.
La exponencial construida por la serie. Definimos \[E(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{j!}.\] Su radio infinito, ya probado, permite derivar en cada segmento: \(E^{\prime}=E\) al reindexar \(j-1\) y \(E(0)=1\). De aquí se obtienen propiedades sin asumirlas. Por producto y cadena, la derivada de \(E(x)E(-x)\) es cero; valor medio hace constante el producto en cada segmento, y su valor en cero es \(1\). Así \(E(x)\) nunca es cero. Su continuidad, el valor positivo en cero y el teorema del valor intermedio hacen \(E(x)>0\) para toda entrada.
Para demostrar la regla de suma de argumentos, fijemos \(a\) y consideremos \(E(a+t)E(-t)\). Producto, cadena y \(E'=E\) hacen cero su derivada. Lagrange la hace constante en cada segmento y su valor en cero es \(E(a)\). Multiplicamos entonces por \(E(t)\) y usamos \(E(t)E(-t)=1\) para obtener \(E(a+t)=E(a)E(t)\). El mismo mecanismo da unicidad: si \(y'=y\) y \(y(0)=1\) en un intervalo que contiene cero, la derivada de \(y(t)E(-t)\) es cero, su valor es uno y resulta \(y=E\). La prueba resuelve esta ecuación concreta mediante una función auxiliar; no presupone un teorema general de ecuaciones diferenciales.
Un certificado factorial en una ventana. Para \(|x|\le r\), tomemos \(n\) con \(q=r/(n+2)<1\). Desde el primer término omitido los cocientes de magnitudes son a lo sumo \(q\), y entonces \[\left|E(x)-\sum_{j=0}^n\frac{x^j}{j!}\right|\le\frac{r^{n+1}}{(n+1)!}\frac1{1-r/(n+2)}.\] En \([-1,1]\) y \(n=4\), esta cota es \(1/100\), por debajo de la tolerancia estricta \(1/50\). Una prueba numérica en algunos puntos no reemplaza esta garantía para todas las entradas.
Los coeficientes están determinados por la función. La fórmula de orden \(k\) en el centro deja sólo el término \(j=k\): \[F^{(k)}(c)=k!a_k.\] Si dos series del mismo centro representan la misma función en una vecindad de \(c\), con radios positivos, sus derivadas de cada orden coinciden allí y todos sus coeficientes son iguales. Esto no afirma que cualquier función infinitamente derivable sea representable por una serie. Hemos probado una propiedad de funciones que ya tienen representación convergente, no su existencia para funciones arbitrarias.
![Para la exponencial definida por su serie, en[−1,1] el parcial de grado4 tiene cota uniforme1/100, menor que1/50. Los coeficientes factoriales y las cotas se calculan con fracciones exactas. Las curvas sólo ilustran reglas ya acreditadas; no se infiere el certificado por muestreo.](../../assets/books/anm/C29/C29-F07.svg)
Ejercicios de la sección 29.7
Ejercicio 31. Certificado factorial
Calcule la cota factorial para \(E\) en \([-1,1]\) con \(n=4\) y compruebe tolerancia estricta \(1/50\).
Ver solución del ejercicio 31
Sea \(P_4(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24\). En \(|x|\le1\), el primer término de \(E-P_4\) tiene magnitud a lo sumo \(1/5!=1/120\). Desde ese término, el cociente de mayorantes es \(1/(j+1)\le1/6\).
Por comparación geométrica, \(|E(x)-P_4(x)|\le(1/120)\sum_{k\ge0}(1/6)^k=1/100<1/50\). La cota es común a toda la ventana y prueba la tolerancia estricta mediante aritmética exacta. No se necesita evaluar numéricamente \(E\) ni escoger cortes distintos según \(x\).
Retorno visual. Véase C29-F07, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 32. Ecuación y positividad
Pruebe \(E^{\prime}=E\), \(E(x)E(-x)=1\) y \(E(x)>0\) usando las operaciones ya acreditadas.
Ver solución del ejercicio 32
Para \(E(x)=\sum_{j\ge0}x^j/j!\), el cociente de magnitudes es \(|x|/(j+1)\to0\) en cada entrada. Su radio es infinito, por lo que puede derivarse término a término en una ventana finita alrededor de cualquier punto. Así \(E'(x)=\sum_{j\ge1}x^{j-1}/(j-1)!=E(x)\) y \(E(0)=1\).
Defina \(P(x)=E(x)E(-x)\). Producto y cadena dan \(P'=E(x)E(-x)-E(x)E(-x)=0\). Por el valor medio, \(P\) es constante; al evaluar en cero se obtiene \(P=1\).
En particular \(E\) no se anula. Su continuidad y el valor positivo \(E(0)=1\) excluyen valores negativos: cualquier segmento que uniera cero con una entrada negativa de \(E\) contendría un cero por el valor intermedio. Por tanto \(E(x)>0\) en toda la recta.
Ejercicio 33. Unicidad de coeficientes
Dos series del mismo centro representan la misma función cerca del centro y tienen radios positivos. Pruebe que sus coeficientes coinciden.
Ver solución del ejercicio 33
Sean \(F\) y \(G\) las sumas de dos series de potencias de centro \(c\) y radios positivos. En un intervalo abierto alrededor de \(c\) ambas existen y coinciden. Las series pueden derivarse cualquier número finito de veces en un intervalo más pequeño, y la igualdad de funciones implica igualdad de esas derivadas allí.
Para cada \(k\ge0\), evaluar en el centro da \(k!a_k=F^{(k)}(c)=G^{(k)}(c)=k!b_k\). Como \(k!\ne0\), \(a_k=b_k\). Esto acredita unicidad de los coeficientes de una representación existente. No afirma que cualquier función infinitamente derivable admita tal representación: esa existencia exige controlar la convergencia y el resto de su serie.
Ejercicio 34. Integral geométrica
Defina \(L(x)=\int_0^x(1-t)^{-1}\,dt\) en \((-1,1)\). Encuentre su serie y su derivada sin nombrar un logaritmo.
Ver solución del ejercicio 34
Para \(|x|<1\), el segmento que une cero con \(x\) cabe en \([-r,r]\) con \(r<1\). La geométrica \(\sum_{k\ge0}t^k=1/(1-t)\) converge uniformemente en esa ventana. Integrar sus parciales y pasar al límite da \(L(x)=\int_0^xdt/(1-t)=\sum_{k\ge0}x^{k+1}/(k+1)=\sum_{j\ge1}x^j/j\).
La integranda es continua en el intervalo interior, de modo que el teorema fundamental da \(L'(x)=1/(1-x)\) y \(L(0)=0\). La derivación de la serie, ya acreditada por su radio uno, produce la misma geométrica. Todo vale también para \(x<0\) con integrales orientadas; la identificación no necesita nombrar una función logarítmica ni presupone una fórmula en la frontera.
Ejercicio 35. Ley de adición y unicidad concreta
Pruebe la ley de adición de \(E\) y la unicidad de \(y^{\prime}=y\), \(y(0)=1\), en un intervalo que contiene cero.
Ver solución del ejercicio 35
Fije \(a\in\mathbb R\) y considere \(Q(t)=E(a+t)E(-t)\). Como \(E'=E\), se tiene \(Q'=0\); por el valor medio, \(Q(t)=Q(0)=E(a)\). Multiplique por \(E(t)\) y use \(E(-t)E(t)=1\): resulta \(E(a+t)=E(a)E(t)\). Esto demuestra la ley de adición en toda la recta.
Sea \(y\) una solución derivable de \(y'=y\), \(y(0)=1\) en un intervalo que contiene cero. La derivada de \(y(t)E(-t)\) es \(y'(t)E(-t)-y(t)E(-t)=0\). Su valor es, por tanto, la constante uno. Multiplicar por \(E(t)\) da \(y(t)=E(t)\) en todo ese intervalo. La serie factorial proporciona la existencia y este argumento acredita la unicidad.
29.8. Productos y el puente hacia análisis complejo
Para sumar series basta sumar parciales con el mismo corte y reunir sus errores. En un producto, cada término de un parcial se multiplica por todos los del otro: aparece un cuadrado de pares de índices. Agrupar por grado total produce un triángulo diferente. La convergencia absoluta permitirá controlar exactamente los pares que faltan entre ambas regiones.
Producto de Cauchy de series numéricas absolutamente convergentes. Sean \(\sum\alpha_j=A\) y \(\sum\beta_j=B\), con totales de magnitudes \(A_*\!,B_*<\infty\). Definamos \(\gamma_n=\sum_{j=0}^n\alpha_j\beta_{n-j}\), una suma finita. Los totales de magnitudes de \(\gamma\) están acotados por \(A_*B_*\): cada triángulo \(j+k\le N\) está dentro del cuadrado \(0\le j,k\le N\), y la triangular finita controla el primero por el producto de dos sumas positivas. C11 construye convergencia absoluta de \(\sum\gamma_n\).
Para identificar su suma, sea \(h=\lfloor N/2\rfloor\) y comparemos el triángulo \(j+k\le N\) con un cuadrado \(0\le j,k\le m\), \(m\ge N\). Cada par del cuadrado fuera del triángulo tiene \(j>h\) o \(k>h\). Por consiguiente \[\left|\Big(\sum_{j=0}^m\alpha_j\Big)\Big(\sum_{k=0}^m\beta_k\Big)-\sum_{n=0}^N\gamma_n\right|\le B_*T_\alpha(h)+A_*T_\beta(h),\] donde \(T_\alpha(h)=\sum_{j>h}|\alpha_j|\) y análogamente para \(\beta\). Fijando \(N\) y pasando \(m\) al límite, el producto finito tiende a \(AB\). Después \(N\to\infty\) hace desaparecer las dos colas. Hemos probado \(\sum\gamma_n=AB\) sin reordenar una suma doble infinita no justificada. Si uno de los totales de magnitudes es cero, los correspondientes términos son todos cero y la afirmación también vale.
Producto de potencias. Para dos series del mismo centro \(c\), con radios \(R_A,R_B>0\), definimos los coeficientes finitos \(d_n=\sum_{j=0}^n a_jb_{n-j}\). En cada \(|x-c|<\min(R_A,R_B)\), las series numéricas son absolutamente convergentes. El resultado anterior demuestra \[F(x)G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}d_n(x-c)^n.\] El radio del producto es al menos el mínimo; puede ser mayor. Por ejemplo \((\sum_{n\ge0}x^n)(1-x)=1\) en \((-1,1)\): el producto tiene sólo su coeficiente constante no nulo y radio infinito. La identidad demostrada en el dominio común no declara convergente la serie geométrica fuera de él.
Para obtener uniformidad en una ventana, los totales de magnitudes deben tener barreras comunes \(A_*,B_*\) y las colas de ambas series de magnitudes deben desaparecer uniformemente allí. La misma estimación con dos colas controla entonces el producto de Cauchy en todas las entradas. Las series de potencias cumplen esas condiciones en cada segmento interior por el criterio M. En una entrada basta convergencia absoluta para identificar el producto; el control común permite hacerlo uniformemente en la región.
Puente hacia ACM. El mecanismo interior depende de una magnitud: \(|a_j(x-c)^j|\le M(r/s)^j\), y no del orden de \(x\). En análisis complejo, la distancia \(|z-c|\) describe discos en lugar de segmentos; la triangular y las magnitudes volverán a proteger sumas y productos. Aquí esa observación es una ruta curricular: no se afirma todavía diferenciabilidad compleja, continuación analítica, integración en curvas ni comportamiento en toda la circunferencia frontera. Se reconstruirán allí las definiciones y las pruebas pertinentes. El aprendizaje transferible es concreto: fijar una región interior, reservar un margen y controlar su cola completa.
La geometría interior de las potencias procede de comparar magnitudes y reservar un margen antes de la frontera. El producto de Cauchy utiliza también magnitudes para controlar los pares de índices omitidos. Estos mecanismos podrán reutilizarse con otras nociones de distancia, siempre que se construyan sus dominios y se acrediten las operaciones correspondientes.
Ejercicios de la sección 29.8
Ejercicio 36. Triángulo de coeficientes
Encuentre los coeficientes del producto de dos geométricas centradas en cero e identifique la función resultante dentro de radio \(1\).
Ver solución del ejercicio 36
Cada geométrica tiene coeficientes uno. El coeficiente de grado \(n\) del producto de Cauchy es \(\gamma_n=\sum_{j=0}^n1=n+1\). Para \(|x|<1\), ambos factores convergen absolutamente; el teorema de producto da \(\sum_{n\ge0}(n+1)x^n=[\sum_{j\ge0}x^j]^2=1/(1-x)^2\).
El cociente de magnitudes de los coeficientes es \((n+2)/(n+1)\to1\), así que el radio es uno. En \(x=\pm1\), los términos tienen magnitud \(n+1\) y no desaparecen. Fuera del radio también diverge; su dominio es \((-1,1)\). La identidad funcional se ha demostrado allí, donde los factores originales tienen suma.
Retorno visual. Véase C29-F08, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 37. Colas del producto
Pruebe la cota triangular del producto numérico y explique el orden de sus dos límites.
Ver solución del ejercicio 37
Sean \(\sum\alpha_j=A\), \(\sum\beta_j=B\) dos series absolutamente convergentes, y escriba \(A_*=\sum|\alpha_j|\), \(B_*=\sum|\beta_j|\). El parcial de Cauchy \(C_N=\sum_{n=0}^N\sum_{j=0}^n\alpha_j\beta_{n-j}\) suma el triángulo \(j+k\le N\).
Fije \(N\), ponga \(h=\lfloor N/2\rfloor\) y elija \(m\ge N\). El cuadrado del producto de parciales contiene el triángulo. Cualquier par omitido tiene \(j>h\) o \(k>h\), pues \(j,k\le h\) implicaría \(j+k\le2h\le N\). Por la desigualdad triangular y sumas finitas de cantidades positivas, \(|A_mB_m-C_N|\le B_*T_\alpha(h)+A_*T_\beta(h)\), donde \(T_\alpha(h)=\sum_{j>h}|\alpha_j|\) y análogamente para \(\beta\).
Con \(N\) fijo, haga \(m\to\infty\): \(A_mB_m\to AB\) y queda la misma cota para \(|AB-C_N|\). Después \(N\to\infty\) elimina ambas colas. Esto prueba la igualdad sin cambiar el orden de una suma doble infinita sin justificación. Además, los parciales de \(\sum|\gamma_n|\) están acotados por \(A_*B_*\), de modo que el producto de Cauchy también converge absolutamente.
Ejercicio 38. El radio del producto puede crecer
Use la geométrica y \(1-x\) para refutar que el radio del producto sea siempre exactamente el mínimo de los radios.
Ver solución del ejercicio 38
La geométrica tiene coeficientes \(a_j=1\) y radio uno. El polinomio \(1-x\) tiene coeficientes \(b_0=1\), \(b_1=-1\) y \(b_j=0\) para \(j\ge2\), por lo que su radio es infinito.
El producto de Cauchy da \(\gamma_0=1\) y, para \(n\ge1\), \(\gamma_n=a_nb_0+a_{n-1}b_1=1-1=0\). La serie resultante es la constante uno y tiene radio infinito, estrictamente mayor que el mínimo de los radios originales.
En \(|x|<1\), el teorema identifica su suma con \((1-x)\sum x^j=1\). Fuera de ese intervalo, la nueva serie sigue convergiendo, pero la geométrica original no tiene suma. La ampliación del radio corresponde a la serie de coeficientes cancelados.
Ejercicio 39. Uniformidad del producto funcional
Si dos series de magnitudes son uniformes en \(Y\) con totales acotados por \(A_*,B_*\), demuestre uniformidad de su producto de Cauchy.
Ver solución del ejercicio 39
Suponga que en una ventana \(Y\) las series de magnitudes tienen sumas acotadas por \(A_*\) y \(B_*\) y convergen uniformemente. Sus colas admiten barreras \(e_\alpha(h)=\sup_{x\in Y}\sum_{j>h}|\alpha_j(x)|\to0\) y \(e_\beta(h)\to0\).
Para cada entrada se aplica la estimación del producto de Cauchy con \(h=\lfloor N/2\rfloor\). Como los totales y las barreras son comunes, \(|A(x)B(x)-C_N(x)|\le B_*e_\alpha(h)+A_*e_\beta(h)\) en toda la ventana. Escoger un corte que haga esta expresión menor que la tolerancia acredita convergencia uniforme al producto.
También hay uniformidad absoluta del producto: la suma de magnitudes de coeficientes omitidos está acotada por las mismas dos franjas, y el total es \(\le A_*B_*\). Si la hipótesis se da mediante mayorantes numéricos sumables, sus totales y sus colas proporcionan directamente estas constantes y barreras. La acotación de los totales es parte de lo que se usa en la estimación.
Ejercicio 40. Un certificado reutilizable y su alcance
Para el cuadrado de la geométrica en \([-1/2,1/2]\), obtenga una cota de cola de producto por triángulos y compárela con la cola exacta de coeficientes. Indique qué parte anticipa ACM.
Ver solución del ejercicio 40
En \(|x|\le1/2\), cada geométrica tiene suma de magnitudes \(\le2\) y cola tras \(h\) dominada por \(\sum_{j>h}2^{-j}=2^{-h}\). Con \(h=\lfloor N/2\rfloor\), la barrera triangular del producto es \(2\,2^{-h}+2\,2^{-h}=4\,2^{-\lfloor N/2\rfloor}\), que tiende a cero y acredita uniformidad.
Los coeficientes del producto son \(n+1\). Su cola exacta de magnitudes en \(x=1/2\) es \(\sum_{n>N}(n+1)2^{-n}=(N+3)2^{-N}\), obtenida sumando las colas geométrica y ponderada. Para cualquier \(|x|\le1/2\) la magnitud del resto está acotada por esa expresión, y la igualdad se alcanza en \(x=1/2\) porque todos los términos son positivos. Es, por tanto, una envolvente exacta, más ajustada que la cobertura general por dos franjas.
Para un centro complejo, sustituir \(|x|\) por \(|z|\) protege igualmente el disco \(|z|\le1/2\) mediante estas cotas de magnitudes. Es una conexión con el futuro estudio de series complejas; aquí sólo se anticipa la geometría del control de colas.