Ejercicios — Capítulo 29
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Soluciones completas en ANM-C29_SOLUCIONES.md.
Declara dominio, cola y margen interior antes de operar. Comprueba mayorantes, anclas, coeficientes y extremos según la tarea.
29.1. La geométrica en dos dominios
Para \(u_j(x)=x^j\), encuentre dominio, suma y una envolvente en \([-r,r]\), \(0<r<1\). Decida uniformidad en \((-1,1)\).
29.2. Un término necesario
Pruebe que la convergencia uniforme de una serie implica que sus términos tienden uniformemente a cero. Refute la recíproca.
29.3. Cortes dependientes de la entrada
Diagnostique: «para todo \(x\) existe un corte geométrico, así que hay un corte para todo \((-1,1)\)». Exhiba entradas que impiden un corte dado.
29.4. Prefijo no acotado
En \(\mathbb R\) tome \(u_0(x)=x^2\) y \(u_j(x)=2^{-j}\) para \(j\ge1\). Pruebe uniformidad y explique por qué no puede haber mayorante global finito para \(u_0\).
29.5. Cauchy sin suma conocida
Suponga \(|\sum_{j=n+1}^m u_j(x)|\le\eta_n\) para todos \(m>n\) y \(x\in X\), con \(\eta_n\to0\). Construya la suma y un certificado.
29.6. Mayorante dyádico
Si \(|u_j(x)|\le3\,2^{-j}\), dé cota de suma y cola y el primer índice garantizado para error estrictamente menor que \(3/8\).
29.7. La serie de magnitudes
Pruebe directamente que las hipótesis M hacen uniforme \(\sum|u_j|\) y acotan su destino por \(\sum M_j\).
29.8. Uniformidad sin criterio M
Use \(u_j(x)=\mathbf1_{\{j\}}(x)/(j+1)\) en \(X=\mathbb N_0\) para refutar que el criterio M sea necesario incluso para uniformidad de las magnitudes.
29.9. Cancelación uniforme
Considere \(u_j(x)=(-1)^j/(j+1)\) en cualquier conjunto no vacío \(X\). Decida uniformidad, absoluta y posibilidad de M.
29.10. Cambio de parámetro
En \(Y=[0,1]\) sea \(u_j(x)=x^j/3^j\). Encuentre una suma explícita y compare el resto exacto con M.
29.11. Integrales y orientación
Si una serie integrable en \([-2,3]\) tiene \(|R_n|\le2^{-n}\), acote error de su integral completa y de las acumuladas desde \(1\).
29.12. Serie derivada con ancla
Formule y pruebe el teorema derivativo de §29.3 usando sólo el teorema de sucesiones de C28.
29.13. Telescopio suave con esquina
Para \(h_n(x)=\sqrt{x^2+1/(n+1)^2}\) forme la serie telescópica de §29.3. Pruebe uniformidad y la falla de derivación en cero.
29.14. Constantes invisibles
Dé una serie cuya serie de derivadas converja uniformemente, pero cuya serie de valores diverja. Identifique la hipótesis perdida.
29.15. Serie polinómica integrada
En \([-1,1]\) tome \(u_j(x)=2^{-j}x^2\). Calcule suma, derivada, integral desde cero y sus errores uniformes.
29.16. Convergencia en una entrada
Una serie de centro \(2\) converge en \(t=-1\) y satisface \(|a_j(-3)^j|\le5\). Dé una ventana protegida y cota de cola sobre \([0,4]\).
29.17. Supremo sin pertenencia
Reconstruya el radio a partir de \(H\) y pruebe interior y exterior. Evite afirmar convergencia en la distancia \(R\).
29.18. El término constante
Diagnostique «una serie de potencias da cero en su centro». Dé un ejemplo y trate \(R=0\).
29.19. Compactos interiores
Pruebe que una serie de radio \(R>0\) converge uniformemente en todo compacto \(K\subset(c-R,c+R)\).
29.20. Radios iguales no dan cortes iguales
Compare la geométrica y \(\sum x^j/(j+1)^2\), ambas de radio \(1\), en todo \([-1,1]\) y en \((-1,1)\).
29.21. Cocientes acreditados
Pruebe el criterio de cociente cuando el límite es menor que \(1\) y cuando es mayor que \(1\), indicando el tratamiento de un prefijo.
29.22. Trasladar y escalar
Encuentre radio y dominio de \(\sum_{j=1}^{\infty}((x-2)/3)^j/j\).
29.23. Ceros en los coeficientes
Encuentre el radio de \(\sum_{k=0}^{\infty}(x-1)^{2k}\) y explique por qué no sirve el cociente consecutivo de sus coeficientes.
29.24. Raíz sin cociente
Para \(a_j=2^j\) si \(j\) es par y \(a_j=2^j/(j+1)\) si es impar, calcule \(R\). Justifique el límite de raíces usado.
29.25. Todos los extremos
Construya series de radio \(2\) y centro \(-3\) con cada uno de los cuatro posibles dominios de extremos.
29.26. La cola derivada
Deduzca \(\sum_{j>n}j\rho^{j-1}\), \(0<\rho<1\), sin derivar una serie infinita.
29.27. Presupuesto derivativo concreto
Si \(|a_j|\le3\,2^{-j}\), acote en \([-1,1]\) el resto de la serie derivada y evalúe la cota en \(n=4\).
29.28. Una frontera no derivable por la serie
Para \(F(x)=\sum_{j\ge1}x^j/j\), explique por qué la convergencia en \(-1\) no autoriza la fórmula de serie derivada allí.
29.29. Integral y radio
Pruebe que dividir los coeficientes por \(j+1\) e incrementar el grado no aumenta el radio de una serie de radio positivo.
29.30. Orden finito y ancla
Obtenga \(F^{(3)}\) y \(a_3\) para una serie de centro \(c\) y radio positivo. Precise la región válida.
29.31. Certificado factorial
Calcule la cota factorial para \(E\) en \([-1,1]\) con \(n=4\) y compruebe tolerancia estricta \(1/50\).
29.32. Ecuación y positividad
Pruebe \(E^{\prime}=E\), \(E(x)E(-x)=1\) y \(E(x)>0\) usando las operaciones ya acreditadas.
29.33. Unicidad de coeficientes
Dos series del mismo centro representan la misma función cerca del centro y tienen radios positivos. Pruebe que sus coeficientes coinciden.
29.34. Integral geométrica
Defina \(L(x)=\int_0^x(1-t)^{-1}\,dt\) en \((-1,1)\). Encuentre su serie y su derivada sin nombrar un logaritmo.
29.35. Ley de adición y unicidad concreta
Pruebe la ley de adición de \(E\) y la unicidad de \(y^{\prime}=y\), \(y(0)=1\), en un intervalo que contiene cero.
29.36. Triángulo de coeficientes
Encuentre los coeficientes del producto de dos geométricas centradas en cero e identifique la función resultante dentro de radio \(1\).
29.37. Colas del producto
Pruebe la cota triangular del producto numérico y explique el orden de sus dos límites.
29.38. El radio del producto puede crecer
Use la geométrica y \(1-x\) para refutar que el radio del producto sea siempre exactamente el mínimo de los radios.
29.39. Uniformidad del producto funcional
Si dos series de magnitudes son uniformes en \(Y\) con totales acotados por \(A_*,B_*\), demuestre uniformidad de su producto de Cauchy.
29.40. Un certificado reutilizable y su alcance
Para el cuadrado de la geométrica en \([-1/2,1/2]\), obtenga una cota de cola de producto por triángulos y compárela con la cola exacta de coeficientes. Indique qué parte anticipa ACM.