Ejercicios — Capítulo 8
Índice del libro · Capítulo 8 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C08_SOLUCIONES.md. Justifica las respuestas y declara los selectores cuando construyas una subsucesión.
8.1. Mapas de selección
Para cada mapa \(\mathbb N\to\mathbb N\) dado por \(\varphi(k)=2k\), \(\psi(k)=k^2\), \(\eta(k)=\lfloor k/2\rfloor\) y \(\theta(k)=k+5\), decide si es selector de subsucesión. Si lo es, calcula los tres primeros términos seleccionados de \(a_n=1/(n+1)\).
8.2. Enumerar índices sin saltos ocultos
Sea \(E\subseteq\mathbb N\) infinito. Define \(e_0=\min E\) y \(e_{k+1}=\min\{n\in E:n>e_k\}\). Prueba que la construcción existe y que \(\{e_k:k\in\mathbb N\}=E\).
8.3. Dos extracciones consecutivas
Sea \(a_n=n/(n+1)\), \(b_k=a_{3k+2}\) y \(c_j=b_{2j+1}\). Escribe los tres dominios de índices, el selector compuesto y una fórmula para \(c_j\). ¿Conmutan los dos selectores?
8.4. Misma imagen, distinta selección
Construye dos subsucesiones diferentes de una misma sucesión que tengan exactamente la misma imagen, y demuestra que son diferentes como funciones aunque sus imágenes coincidan.
8.5. Un umbral transportado y uno propio
Para \(a_n=3+1/(n+1)\) y \(b_k=a_{2k+1}\), encuentra el menor umbral para la tolerancia \(\varepsilon=1/10\) en cada sucesión. Compáralos con el umbral transportado de §8.2.
8.6. Intercalar dos límites iguales
Supón que \(a_{2k}\to L\) y \(a_{2k+1}\to L\). Demuestra directamente que \(a_n\to L\).
8.7. Una partición finita de índices
Sea \(m\ge2\) natural. Prueba que \(a_n\to L\) si y sólo si \(a_{mk+r}\to L\) para cada \(r\in\{0,\ldots,m-1\}\).
8.8. Todos los términos salvo algunos
Una prueba afirma: «Hay una subsucesión convergente a cero que selecciona todos los índices pares; los pares son infinitos, luego la sucesión converge a cero». Localiza el fallo, da un contraejemplo y demuestra una reparación si la selección omite sólo finitos índices.
8.9. Selección convergente de una monótona
Sea \(a\) monótona y supón que una subsucesión converge a \(L\in\mathbb R\). Demuestra que \(a_n\to L\) sin aplicar Bolzano–Weierstrass.
8.10. Una escala de radios basta
Demuestra que \(L\) es punto secuencial de \(a\) si y sólo si para cada \(q\in\mathbb N\) y cada \(N\in\mathbb N\) hay \(n\ge N\) con \(|a_n-L|<1/(q+1)\).
8.11. Un destino prescrito con escapes
Dados \(L,H\in\mathbb R\) distintos, construye una sucesión acotada cuyo conjunto de puntos secuenciales sea exactamente \(\{L,H\}\). Prueba que no tiene otros.
8.12. Alejar los índices tanto como se quiera
Si \(L\) es punto secuencial de \(a\) y \(h:\mathbb N\to\mathbb N\) es cualquier función, prueba que existe un selector \(\varphi\) con \(\varphi(k)\ge h(k)\) y \(|a_{\varphi(k)}-L|<1/(k+1)\) para todo \(k\).
8.13. El conjunto de destinos es cerrado
Sea \(C\) el conjunto de puntos de acumulación secuencial de una sucesión real \(a\). Demuestra que \(C\) es cerrado, sin suponer que \(a\) sea acotada.
8.14. Destinos de una partición finita
Sea \(m\ge2\) natural. Prueba que el conjunto de puntos secuenciales de \(a\) es la unión de los conjuntos de puntos secuenciales de las \(m\) sucesiones \(b^{(r)}_k=a_{mk+r}\).
8.15. Tres conjuntos diferentes
Para \(a_0=3\) y \(a_n=1/n\) cuando \(n\ge1\), determina la imagen, su clausura, su conjunto de acumulación y los puntos secuenciales de \(a\). Justifica las exclusiones.
8.16. Cambios finitos del conjunto
Sea \(F\subseteq\mathbb R\) finito y \(A\subseteq\mathbb R\). Demuestra que \(\operatorname{Acc}(A\setminus F)=\operatorname{Acc}(A)=\operatorname{Acc}(A\cup F)\).
8.17. Cuando no se repiten valores
Supón que cada valor real aparece sólo finitas veces en \(a\). Si \(A=a(\mathbb N)\), prueba que los puntos secuenciales de \(a\) coinciden con \(\operatorname{Acc}(A)\).
8.18. Misma imagen y destinos diferentes
Construye dos sucesiones con imagen \(A=\{1,1/2,1/3,\ldots\}\) cuyos conjuntos de puntos secuenciales sean diferentes. Determina ambos conjuntos.
8.19. Una elección mal justificada
Audita esta frase: «Si \(L\) es adherente a \(A\), elegimos el menor punto de \(A\cap B(L,1/(k+1))\)». Da un ejemplo en que esa elección no exista y repara la prueba.
8.20. Caracterizar los cerrados por límites
Demuestra que \(F\subseteq\mathbb R\) es cerrado si y sólo si el límite de toda sucesión convergente con valores en \(F\) pertenece a \(F\). Trata el caso vacío.
8.21. Primeras mitades y reserva
Para \(a_n=(-1)^n/(n+1)\) e \(I_0=[-1,1]\), aplica la regla de preferencia izquierda durante los tres primeros pasos. Explica por qué la reserva de índices es infinita en cada intervalo obtenido.
8.22. Un invariante demasiado débil
Sea \(a_0=0\) y \(a_n=1\) para \(n\ge1\). Los intervalos \(I_k=[-2^{-k},2^{-k}]\) son cerrados, encajados, de anchura tendente a cero y contienen algún término de \(a\). ¿Puede extraerse una subsucesión con \(a_{n_k}\in I_k\) para todo \(k\)? Explica.
8.23. Dividir en más partes
Sea \(m\ge2\) natural. Adapta la construcción de §8.5 dividiendo cada intervalo en \(m\) subintervalos cerrados de igual anchura. Fija una regla inequívoca de elección y prueba las propiedades necesarias para obtener un punto común único.
8.24. Anchuras pequeñas sin intersección
Exhibe una familia de intervalos abiertos no vacíos y encajados de anchuras arbitrariamente pequeñas cuya intersección sea vacía. Explica qué paso de §8.5 deja de estar autorizado.
8.25. El punto común como supremo
Para los intervalos \(I_k=[u_k,v_k]\) de §8.5, reconstruye la existencia del punto común tomando \(L=\sup\{u_k:k\in\mathbb N\}\). Verifica ambas desigualdades para cada intervalo y después la unicidad.
8.26. Los mínimos de la extracción
Para el ejemplo alternante recíproco de §§8.5–8.6, verifica los seis índices \(n_0,\ldots,n_5\) y demuestra que \(n_k=2^{k-1}-1\) para \(k\ge4\).
8.27. Una extracción todavía más tardía
En la prueba de Bolzano–Weierstrass, sustituye la regla por \(n_0=\min\{n\in E_0:n\ge h(0)\}\) y \(n_{k+1}=\min\{n\in E_{k+1}:n>n_k,\ n\ge h(k+1)\}\), donde \(h:\mathbb N\to\mathbb N\). Prueba que la extracción sigue convergiendo al mismo punto común.
8.28. Lo que no promete la existencia
Construye una sucesión acotada con una subsucesión convergente y otra no convergente, ambas distintas de la sucesión original. Justifica todas las afirmaciones.
8.29. Extracciones simultáneas
Sean \(a\) y \(b\) dos sucesiones reales acotadas. Prueba que existe un mismo selector \(\theta\) tal que \(a_{\theta(j)}\) y \(b_{\theta(j)}\) convergen, posiblemente a límites diferentes. Extiende el argumento a una familia finita de sucesiones acotadas.
8.30. Un selector para numerables sucesiones
Sea \((a^{(r)})_{r\in\mathbb N}\) una familia de sucesiones reales, cada una acotada. Demuestra que hay un selector \(\theta\) tal que \(a^{(r)}_{\theta(k)}\) converge para cada \(r\) fijo. No se exige una cota común a toda la familia.
8.31. Dos hipótesis de un conjunto
Exhibe un conjunto acotado sin puntos de acumulación y un conjunto infinito sin puntos de acumulación. Prueba ambos casos y explica por qué ninguno contradice §8.7.
8.32. Un cerrado que retiene el destino
Sean \(u\le v\) reales y \(a_n\in[u,v]\). Demuestra que existe una subsucesión convergente a \(L\in[u,v]\). Después muestra que la conclusión con \(L\in(u,v)\) puede fallar para términos en un intervalo abierto no vacío.
8.33. Conjunto cerrado acotado sin acumulación
Prueba que un conjunto acotado \(A\subseteq\mathbb R\) sin puntos de acumulación es finito. ¿Hace falta que sea cerrado? Justifica.
8.34. Conjuntos de destinos acotados
Sea \(a\) acotada por \(|a_n|\le M\). Demuestra que su conjunto \(C\) de puntos secuenciales es no vacío, cerrado y contenido en \([-M,M]\).
8.35. Distancia positiva entre dos cerrados
Sean \(A,B\subseteq\mathbb R\) cerrados, no vacíos y disjuntos. Supón que \(A\) es acotado. Demuestra que existe \(\delta>0\) tal que \(|x-y|\ge\delta\) para todo \(x\in A\) y \(y\in B\).
8.36. Toda extracción puede refinarse
Prueba que \(a_n\to L\) si y sólo si toda subsucesión de \(a\) tiene a su vez una subsucesión que converge a \(L\). No supongas acotación.
8.37. Clasificar una familia intercalada
Para \(p,q\in\mathbb R\), define \(a_{2k}=p+1/(k+1)\) y \(a_{2k+1}=q-1/(k+1)\). Determina sus puntos secuenciales y para qué parámetros converge.
8.38. Un radio que depende del corte
Explica por qué la condición «para cada \(N\) existen \(n\ge N\) y \(\varepsilon_N>0\) con \(|a_n-L|\ge\varepsilon_N\)» no niega la convergencia. Da un contraejemplo y formula la negación correcta.
8.39. Acercarse a un conjunto finito de destinos
Supón que \(a\) es acotada y que su conjunto de puntos secuenciales es el conjunto finito no vacío \(\{L_1,\ldots,L_m\}\). Prueba que para todo \(\varepsilon>0\), todos los términos suficientemente tardíos pertenecen a \(\bigcup_{i=1}^m B(L_i,\varepsilon)\).
8.40. Saltos pequeños y destinos intermedios
Sea \(a\) una sucesión real acotada con \(|a_{n+1}-a_n|\to0\). Si \(p<q\) son puntos secuenciales, demuestra que todo \(t\in(p,q)\) también es punto secuencial.