Soluciones — Capítulo 8
Índice del libro · Capítulo 8 · Ejercicios · Soluciones
8.1. Mapas de selección
Los mapas \(\varphi\) y \(\theta\) tienen incrementos dos y uno, respectivamente; son estrictamente crecientes. \(\psi(k+1)-\psi(k)=2k+1>0\), también desde cero. Sus primeros valores seleccionados son, respectivamente, \((1,1/3,1/5)\), \((1,1/2,1/5)\) y \((1/6,1/7,1/8)\). En cambio, \(\eta(0)=\eta(1)=0\), por lo que no es estrictamente creciente. El hecho de que \(\eta\) sea no decreciente no satisface la definición: permite reutilizar un índice.
La distinción entre índices y alturas también se aprecia en la figura 8.1.
8.2. Enumerar índices sin saltos ocultos
La base existe por buen orden. En cada paso, \(E\) no está contenido en el prefijo finito hasta \(e_k\), de modo que el conjunto siguiente es no vacío y tiene mínimo. Los índices obtenidos crecen estrictamente y pertenecen a \(E\), lo que prueba una inclusión. Para la otra, fija \(m\in E\). Como \(e_k\ge k\), existe un primer \(j\) con \(e_j\ge m\). Si \(j=0\), la minimalidad de \(e_0\) fuerza \(e_0=m\). Si \(j>0\), tenemos \(e_{j-1}<m\), y \(m\) era admisible al definir \(e_j\); por eso \(e_j\le m\), luego \(e_j=m\). No basta decir que la lista es infinita: la regla del mínimo es lo que evita omitir un elemento de \(E\).
8.3. Dos extracciones consecutivas
Tanto \(n\) como \(k\) y \(j\) recorren \(\mathbb N\), pero indexan funciones distintas. El recorrido es \(j\mapsto2j+1\mapsto3(2j+1)+2=6j+5\), así que \(c_j=(6j+5)/(6j+6)\). Ambos mapas y su composición crecen estrictamente. Invertir el orden produciría \(2(3j+2)+1=6j+5\) en este caso: sí conmutan. Esta igualdad particular se verifica por cálculo y no por una ley general. Por ejemplo, los selectores \(2k\) y \(k+1\) dan composiciones \(2k+2\) y \(2k+1\), distintas.
8.4. Misma imagen, distinta selección
Toma \(a_n=(-1)^n\), la identidad \(\varphi(k)=k\) y el selector \(\psi(k)=k+1\). Resultan \(b_k=(-1)^k\) y \(c_k=(-1)^{k+1}\). Ambos tienen imagen \(\{-1,1\}\) porque ambas paridades aparecen, pero \(b_0=1\) y \(c_0=-1\). Por tanto las funciones son distintas. Comparar las imágenes elimina el orden y no permite recuperar la función.
8.5. Un umbral transportado y uno propio
En \(a\) se requiere \(1/(n+1)<1/10\), equivalente a \(n>9\); el menor umbral es \(N=10\), pues en nueve hay igualdad. Para \(b_k=3+1/(2k+2)\), la condición equivale a \(k>4\), así que el menor umbral es \(K=5\). El transporte general \(K=N=10\) también sirve, pero no es mínimo. La estrictitud de la tolerancia explica ambos casos de frontera.
La figura 8.2 permite comprobar por qué un punto de frontera obliga a retrasar el corte.
8.6. Intercalar dos límites iguales
Fija \(\varepsilon>0\) y toma umbrales \(K_0,K_1\) para las dos selecciones. Sea \(K=\max\{K_0,K_1\}\) y \(N=2K\). Si \(n\ge N\) es par, \(n=2k\) con \(k\ge K\); si es impar, \(n=2k+1\ge2K\) obliga también a \(k\ge K\), pues \(k\le K-1\) daría \(n\le2K-1\). En ambos casos \(|a_n-L|<\varepsilon\). Se ha cubierto toda la cola, que era lo que una selección aislada no permitía hacer.
8.7. Una partición finita de índices
La dirección directa aplica §8.2 a cada selector \(k\mapsto mk+r\). Para la recíproca, fija \(\varepsilon>0\) y elige un umbral \(K_r\) para cada uno de los finitísimos residuos. Toma \(K=\max_r K_r\) y \(N=mK\). La división euclídea escribe cualquier \(n\ge N\) como \(n=mk+r\), con \(0\le r<m\). Si \(k<K\), entonces \(n\le m(K-1)+(m-1)=mK-1\), contradicción. Luego \(k\ge K_r\) y el término está a distancia menor que \(\varepsilon\) de \(L\). La finitud de la partición permite reunir los umbrales en un máximo.
8.8. Todos los términos salvo algunos
Infinitud de índices seleccionados no implica control de todos los posteriores. El ejemplo \(a_{2k}=0\), \(a_{2k+1}=1\) refuta la afirmación: las dos paridades tienen límites diferentes. Para la reparación, supón \(a_{\varphi(k)}\to0\) y que \(E=\varphi(\mathbb N)\) tiene complemento finito. Dado \(\varepsilon>0\), toma \(K\) para la selección. El conjunto de índices omitidos junto con \(\{\varphi(0),\ldots,\varphi(K-1)\}\) es finito. Escoge \(N\) mayor que todos ellos, o cero si está vacío. Todo \(n\ge N\) es \(\varphi(k)\) con \(k\ge K\); por tanto \(|a_n|<\varepsilon\). Lo decisivo es que las excepciones sean finitas.
La figura 8.2 recuerda qué términos quedan fuera del control de una selección.
8.9. Selección convergente de una monótona
Supón primero que \(a\) es no decreciente. Para un índice fijo \(n\), los índices seleccionados son eventualmente mayores que \(n\), por lo que \(a_n\le a_{\varphi(k)}\) eventualmente. El orden de límites de C06 da \(a_n\le L\). Dado \(\varepsilon>0\), toma un término seleccionado \(a_{\varphi(K)}>L-\varepsilon\) y pon \(N=\varphi(K)\). Para \(n\ge N\), la monotonía y la cota recién probada dan \(L-\varepsilon<a_N\le a_n\le L\), así que \(|a_n-L|<\varepsilon\). Si \(a\) es no creciente, aplica el argumento a \(-a\), cuya selección converge a \(-L\), y cambia de signo. La dirección monótona propaga a toda una cola la información de un solo término seleccionado.
8.10. Una escala de radios basta
La definición aplicada a los radios \(1/(q+1)\) da una dirección. Para la otra, dados \(\varepsilon>0\) y \(N\), arquimedianidad permite escoger \(q\) con \(1/(q+1)<\varepsilon\). La hipótesis proporciona \(n\ge N\) con error menor que ese radio, luego menor que \(\varepsilon\). El orden es fijar la tolerancia, reducirla a una escala disponible y después elegir el índice.
8.11. Un destino prescrito con escapes
Toma \(a_{2k}=L\) y \(a_{2k+1}=H\). Las selecciones constantes muestran que ambos son puntos secuenciales y la cota \(\max\{|L|,|H|\}\) acredita acotación. Si \(T\notin\{L,H\}\), el radio \(r=\frac12\min\{|T-L|,|T-H|\}>0\) define una bola que no contiene ningún término. Así \(T\) no satisface la condición de visitas. Como los dos destinos son distintos, la sucesión no converge.
8.12. Alejar los índices tanto como se quiera
Elige \(\varphi(0)\) como el mínimo índice al menos \(h(0)\) con error menor que uno. Para el paso siguiente utiliza el corte \(\max\{\varphi(k)+1,h(k+1)\}\) y radio \(1/(k+2)\). La acumulación secuencial garantiza un testigo después de cada corte, por lo que el mínimo existe. Por inducción se cumplen ambas desigualdades y el crecimiento estricto. El control de errores prueba convergencia como en §8.3. No hace falta que \(h\) sea monótona: el máximo incorpora por separado el corte heredado y la nueva exigencia.
8.13. El conjunto de destinos es cerrado
Por C04 basta probar que todo punto adherente a \(C\) pertenece a \(C\). Sea \(L\) adherente a \(C\). Dados \(\varepsilon>0\) y un corte \(N\), elige \(H\in C\) con \(|H-L|<\varepsilon/2\). Como \(H\) es punto secuencial de \(a\), existe \(n\ge N\) con \(|a_n-H|<\varepsilon/2\). La desigualdad triangular da \(|a_n-L|<\varepsilon\). Esto vale para cada tolerancia y cada corte, por lo que \(L\in C\). Si \(C\) es vacío, no tiene puntos adherentes y es cerrado. La estrategia consiste en gastar la mitad de la tolerancia en aproximar el centro y la otra mitad en aproximar un término.
8.14. Destinos de una partición finita
Un punto secuencial de alguna \(b^{(r)}\) es límite de una extracción de ella; componiendo selectores resulta límite de una extracción de \(a\), así que es punto secuencial de \(a\). Para la inclusión inversa, sea \(L\) punto secuencial de \(a\) y supón que no lo es de ninguna \(b^{(r)}\). Para cada residuo existen \(\varepsilon_r>0\) y \(K_r\) tales que \(|b^{(r)}_k-L|\ge\varepsilon_r\) si \(k\ge K_r\). Toma \(\varepsilon=\min_r\varepsilon_r>0\) y \(N=m\max_r K_r\). La división euclídea y el argumento de cortes del ejercicio 8.7 muestran que todo \(n\ge N\) tiene error al menos \(\varepsilon\). Esto contradice que \(L\) sea punto secuencial. La finitud de residuos permite obtener un radio positivo común.
8.15. Tres conjuntos diferentes
La imagen es \(A=\{3\}\cup\{1,1/2,1/3,\ldots\}\). La sucesión converge a cero, pues el prefijo no afecta el límite, así que su único punto secuencial es cero. Cero es punto de acumulación de \(A\) por los recíprocos. Para excluir cualquier \(x\ne0\) como punto de acumulación, elige \(J\ge1\) natural con \(1/J<|x|/2\). Para \(n\ge J\), la triangular inversa da \(|x-1/n|\ge|x|-1/n>|x|/2\). Sólo queda el conjunto finito \(F=\{3\}\cup\{1/n:1\le n<J\}\). Si \(F\setminus\{x\}\) es no vacío, toma
\[ r=\min\left\{\frac{|x|}{2},\frac12\min_{y\in F\setminus\{x\}}|x-y|\right\}>0. \]
Si es vacío, toma \(r=|x|/2\). Esta bola excluye todos los puntos de \(A\) distintos de \(x\): los recíprocos tardíos quedan fuera por la primera estimación y los puntos finitos restantes por la elección del radio. Por tanto \(x\) no es de acumulación. Si además \(x\notin A\), la misma bola no contiene ningún punto de \(A\) y excluye adherencia. Los puntos de \(A\) sí son adherentes por pertenencia, y \(0\) por los recíprocos. En consecuencia \(\overline A=A\cup\{0\}\) y \(\operatorname{Acc}(A)=\{0\}\).
La figura 8.4 ayuda a distinguir los tres conjuntos que se han calculado.
8.16. Cambios finitos del conjunto
La inclusión por monotonía da \(\operatorname{Acc}(A\setminus F)\subseteq\operatorname{Acc}(A)\subseteq\operatorname{Acc}(A\cup F)\). Si \(L\in\operatorname{Acc}(A)\), cada bola contiene infinitos puntos de \(A\); retirar \(F\cup\{L\}\) aún deja un testigo, así que \(L\in\operatorname{Acc}(A\setminus F)\). Finalmente, si \(L\in\operatorname{Acc}(A\cup F)\), cada bola contiene infinitos puntos de la unión, y al retirar los finitísimos de \(F\) quedan puntos de \(A\) distintos de \(L\). Esto prueba la última inclusión necesaria. El argumento usa infinitud de valores, no multiplicidad de una lista.
8.17. Cuando no se repiten valores
Si \(L\) es punto secuencial, cada bola alrededor de \(L\) recibe infinitos índices. Si sólo contuviera finitos valores de \(A\), cada uno aportaría finitos índices por hipótesis, dando una unión finita de conjuntos finitos: contradicción. Así hay infinitos valores y \(L\in\operatorname{Acc}(A)\). Recíprocamente, si \(L\in\operatorname{Acc}(A)\), cada bola contiene infinitos valores de \(A\). Dado un corte \(N\), el prefijo \(a_0,\ldots,a_{N-1}\) sólo aporta finitos valores; existe un valor de esa bola fuera del prefijo y un índice que lo realiza, necesariamente al menos \(N\). Esto prueba acumulación secuencial. La segunda dirección no necesita la hipótesis de multiplicidad finita.
8.18. Misma imagen y destinos diferentes
La primera es \(a_n=1/(n+1)\); converge a cero y sus puntos secuenciales son exactamente \(\{0\}\). Para la segunda, sea \(B_m=m(m-1)/2\) el índice inicial del bloque de longitud \(m\ge1\). Los naturales \(B_m\) crecen estrictamente y sin cota, así que cada \(n\) pertenece a un único bloque \(B_m\le n<B_{m+1}\). Definimos \(b_n=1/(n-B_m+1)\). Se obtienen los bloques \((1)\), \((1,1/2)\), \((1,1/2,1/3)\) y así sucesivamente; todos sus valores están en \(A\), y cada \(1/j\) aparece en el bloque \(m=j\).
Para un \(j\ge1\) fijo y cualquier corte \(N\), toma \(m\ge\max\{j,N+2\}\). El índice \(n=B_m+j-1\ge N\) tiene \(b_n=1/j\), por lo que ese valor es punto secuencial. Para \(0\), recibidos \(\varepsilon>0\) y \(N\), toma \(m\ge N+2\) con \(m>1/\varepsilon\). El último índice del bloque, \(n=B_m+m-1\ge N\), tiene \(0<b_n=1/m<\varepsilon\). Así también \(0\) es punto secuencial. No hay otros, pues todo punto secuencial es adherente a la imagen y la clausura de \(A\) es \(A\cup\{0\}\), demostrada mediante finitud local fuera de cero como en el ejercicio 8.15. La imagen por sí sola no fija las multiplicidades temporales.
8.19. Una elección mal justificada
Toma \(A=(0,1)\), \(L=0\) y \(k=0\). La intersección es \((0,1)\) y no tiene menor elemento: si \(x\) pertenece, \(x/2\) es menor y también pertenece. La adherencia sólo garantiza no vacuidad. La reparación usa la función de elección \(c\) sobre los subconjuntos no vacíos de \(A\): \(x_k=c(A\cap B(L,1/(k+1)))\). Entonces \(|x_k-L|<1/(k+1)\) y el argumento arquimediano da convergencia. No hay que imponer a \(A\) un orden con mínimos que el enunciado no ofrece.
Los testigos elegidos se interpretan como aproximaciones al centro, como en la figura 8.4; su existencia procede de adherencia y de la elección fijada.
8.20. Caracterizar los cerrados por límites
Si \(F\) es cerrado y \(x_n\in F\) converge a \(L\), cada bola alrededor de \(L\) contiene términos de \(F\), así que \(L\) es adherente y pertenece a \(F\). Recíprocamente, si todos esos límites pertenecen a \(F\), toma cualquier punto adherente \(L\). Por §8.4 existe una sucesión de puntos de \(F\) que converge a \(L\); la hipótesis da \(L\in F\). Así \(F\) contiene todos sus puntos adherentes y es cerrado por C04. Si \(F=\varnothing\), no existen sucesiones con valores en él; la propiedad universal es vacua y el vacío es cerrado. La equivalencia no requiere acotación porque sólo considera sucesiones que ya convergen.
8.21. Primeras mitades y reserva
Se obtiene \(I_1=[-1,0]\), \(I_2=[-1/2,0]\) e \(I_3=[-1/4,0]\). En el primer paso la mitad izquierda contiene todos los índices impares. Para \(I_2\), la otra mitad \([-1,-1/2]\) recibe sólo el índice uno; la mitad que llega a cero recibe todos los impares. Para \(I_3\), \([-1/2,-1/4]\) recibe sólo los índices uno y tres, mientras que \([-1/4,0]\) recibe todos los impares desde tres. Compartir el extremo \(-1/4\) no afecta la infinitud. La justificación general usa \(1/(n+1)\to0\), no el recuento de los primeros puntos dibujados.
La figura 8.5 permite seguir el encajamiento; la reserva infinita se acredita con las desigualdades sobre los recíprocos.
8.22. Un invariante demasiado débil
Para \(k\ge1\), \(I_k\subseteq[-1/2,1/2]\) y sólo recibe el índice original cero. Por ello la pertenencia exigiría \(n_k=0\) para todos los \(k\ge1\), incompatible con crecimiento estricto. El punto común existe y es cero, pero no hay reserva infinita de índices alrededor de él. De hecho la sucesión converge a uno y cero no es punto secuencial. La condición «contiene algún término» no permite la extracción temporal.
La condición de reserva de la figura 8.5 excluye precisamente la reutilización de un único índice que haría fallar esta extracción.
8.23. Dividir en más partes
Los \(m\) subintervalos cubren al anterior, aunque compartan extremos. Si cada conjunto de índices fuese finito, su unión finita sería finita; alguno conserva infinitos índices. Elegimos el primero de izquierda a derecha entre los que sirven. Esto define una familia encajada de intervalos cerrados no vacíos con anchuras \(2M/m^k\). Como \(m^k\ge2^k\ge k+1\), arquimedianidad permite hacer la anchura menor que cualquier tolerancia. C03 da un punto común por completitud, y la anchura arbitrariamente pequeña da unicidad mediante la comparación de dos supuestos puntos. Para \(M=0\) se trata directamente la constante cero. La prueba no depende específicamente de dos mitades, sino de una partición finita con reducción uniforme de anchura.
8.24. Anchuras pequeñas sin intersección
Toma \(I_k=(0,1/(k+1))\). Son abiertos, no vacíos y encajados, y su anchura puede hacerse tan pequeña como se quiera por arquimedianidad. Un punto común tendría que ser positivo; para un \(x>0\) fijado existe \(k\) con \(1/(k+1)<x\), por lo que \(x\notin I_k\). Cero tampoco pertenece a ninguno. La intersección es vacía. Falla la hipótesis de intervalos cerrados en la interfaz de C03; la disminución de anchuras no reemplaza esa hipótesis.
El carácter cerrado de los intervalos de la figura 8.5 es esencial para garantizar el punto común.
8.25. El punto común como supremo
El conjunto de extremos izquierdos es no vacío y está acotado superiormente por \(v_0\), así que completitud da su supremo \(L\). Para cada \(k\), \(u_k\le L\). Además \(v_k\) es cota superior de todos los \(u_j\): si \(j\ge k\), el encajamiento da \(u_j\le v_j\le v_k\); si \(j<k\), da \(u_j\le u_k\le v_k\). Por minimalidad del supremo, \(L\le v_k\). Luego \(L\in I_k\) para todo \(k\). Si dos puntos comunes distaran \(d>0\), una anchura menor que \(d\) lo impediría. Esta prueba abre la interfaz de C03 y muestra que completitud se usa en la existencia del supremo, no en calcular una fórmula del candidato.
8.26. Los mínimos de la extracción
Como \(E_0=\mathbb N\), \(n_0=0\). En \(I_1=[-1,0]\) el primer índice posterior es uno; en \(I_2=[-1/2,0]\) el primero posterior a uno es tres; en \(I_3=[-1/4,0]\) el primero posterior a tres es cinco. Para \(k\ge1\), la pertenencia de un término exige índice impar y \(1/(n+1)\le2^{1-k}\), equivalente a \(n\ge2^{k-1}-1\). Para \(k=4\) ese primer impar admisible es siete, mayor que cinco; para \(k=5\) es quince. Si la fórmula vale en algún \(k\ge4\), el primer impar admisible en \(I_{k+1}\) es \(2^k-1\), mayor que \(n_k\). La recursión de mínimos da la fórmula por inducción. Se obtiene \(0,1,3,5,7,15\); la fórmula no debe extenderse a los primeros pasos, donde la condición de ser posterior puede dominar a la cota espacial.
En la figura 8.6 se separan la pertenencia al intervalo y la obligación de avanzar en los índices; ambas intervienen en estos mínimos.
8.27. Una extracción todavía más tardía
Cada conjunto admisible es no vacío porque \(E_k\) es infinito y la nueva exigencia sólo excluye un prefijo finito. El mínimo existe por buen orden. Las elecciones mantienen \(n_{k+1}>n_k\) y \(a_{n_k}\in I_k\), así que forman una subsucesión. Dado \(\varepsilon>0\), elige \(K\) con \(w_K<\varepsilon\). Para \(k\ge K\), los puntos \(a_{n_k}\) y \(L\) siguen estando en \(I_K\), de donde \(|a_{n_k}-L|\le w_K<\varepsilon\). El tamaño de los saltos temporales no interviene en la estimación espacial.
La estimación por anchura de la figura 8.6 sigue funcionando al retrasar las elecciones de índices.
8.28. Lo que no promete la existencia
Toma \(a_n=(-1)^n\). El selector \(\varphi(k)=2k\) produce la constante uno. El selector \(\psi(k)=k+1\) produce \(b_k=(-1)^{k+1}\), cuyas selecciones par e impar son constantes menos uno y uno; por §8.2 y unicidad no converge. La primera sucesión difiere de \(a\) en el índice uno y la segunda difiere ya en cero. Ambas son subsucesiones porque sus selectores crecen estrictamente. La existencia garantizada por el teorema no convierte toda elección en convergente.
La figura 8.2 permite contrastar lo que controla una selección con lo que permanece en la sucesión original.
8.29. Extracciones simultáneas
Aplica Bolzano–Weierstrass a \(a\) y obtiene \(\varphi\) con \(a_{\varphi(k)}\to A\). La sucesión \(b_{\varphi(k)}\) sigue acotada; extrae de ella mediante \(\psi\) una sucesión convergente a \(B\). Pon \(\theta=\varphi\circ\psi\), estrictamente creciente. La selección \(a_{\theta(j)}\) converge a \(A\) porque es una subsucesión de una sucesión que ya convergía, mientras que \(b_{\theta(j)}\to B\) por construcción. Para una familia finita se procede por inducción: la siguiente extracción conserva los límites previamente obtenidos y añade uno nuevo. No se afirma que el selector sea determinado de forma única; muchos pueden servir. La técnica transferible consiste en conservar las propiedades adquiridas al hacer cada extracción posterior.
8.30. Un selector para numerables sucesiones
Construimos selectores originales \(\varphi_r\) anidados. Aplica la construcción determinada de Bolzano–Weierstrass a \(a^{(0)}\) y obtiene \(\varphi_0\). Dado \(\varphi_r\), extrae de \(a^{(r+1)}_{\varphi_r(k)}\) mediante un selector \(\psi_{r+1}\) y define \(\varphi_{r+1}=\varphi_r\circ\psi_{r+1}\). Para cada \(s\le r\), \(a^{(s)}_{\varphi_r(k)}\) converge, por conservación de límites. Las elecciones pueden fijarse usando la menor cota natural positiva disponible y las reglas de mitades y mínimos ya especificadas; no se precisa escoger arbitrariamente entre selectores.
Define la diagonal \(\theta(k)=\varphi_k(k)\). Como \(\psi_{k+1}(k+1)\ge k+1\), se tiene \(\theta(k+1)=\varphi_k(\psi_{k+1}(k+1))\ge\varphi_k(k+1)>\varphi_k(k)=\theta(k)\). Por tanto \(\theta\) es selector. Fija \(r\). Para \(k\ge r\), el anidamiento permite escribir \(\theta(k)=\varphi_r(t_k)\), con \(t_k\ge k\); esto se deduce componiendo los selectores posteriores, cada uno mayor o igual a la identidad. Como \(\theta\) crece y \(\varphi_r\) es estrictamente creciente, los \(t_k\) también crecen. Dada una tolerancia para el límite de \(a^{(r)}_{\varphi_r(j)}\), toma su umbral \(J\) y luego \(K=\max\{r,J\}\). Para \(k\ge K\), \(t_k\ge k\ge J\) y el término diagonal cumple la tolerancia. Cada \(r\) fijo queda controlado; no se ha afirmado un umbral uniforme en \(r\).
8.31. Dos hipótesis de un conjunto
El conjunto \(\{0,2\}\) es acotado y finito. En cada centro real una bola suficientemente pequeña excluye todos los puntos distintos del centro; si el centro no pertenece, toma radio menor que ambas distancias. No tiene acumulación. El conjunto \(\mathbb N\subset\mathbb R\) es infinito y no acotado. Cualquier bola acotada contiene sólo finitísimos naturales, y puede reducirse para excluir todos los distintos de su centro; por tanto tampoco tiene acumulación. El primer caso carece de infinitud y el segundo de acotación: ninguno cumple las dos hipótesis del teorema.
8.32. Un cerrado que retiene el destino
La cota \(|a_n|\le\max\{|u|,|v|\}\) permite aplicar Bolzano–Weierstrass. Si una extracción converge a \(L\), el orden de límites da \(u\le L\le v\); también puede usarse que el intervalo es cerrado. Esto incluye \(u=v\), caso constante. Para \(u<v\), define \(a_n=u+(v-u)/(n+2)\). Sus valores están estrictamente entre \(u\) y \(v\) y converge a \(u\), por las reglas de C06. Toda subsucesión tiene el mismo límite \(u\) y por unicidad ninguna converge a un punto del intervalo abierto. El carácter cerrado decide si el destino permanece dentro.
La figura 8.7 distingue que exista un destino real de que pertenezca al conjunto que contiene los términos.
8.33. Conjunto cerrado acotado sin acumulación
Si \(A\) fuera infinito y acotado, el teorema de §8.7 le daría un punto de acumulación, contradicción. Por tanto es finito. No hace falta cerradura: la existencia de acumulación para conjuntos infinitos acotados ocurre en \(\mathbb R\), sin prometer pertenencia a \(A\). De hecho todo conjunto finito es cerrado por C04, pero esa conclusión adicional no se usó como hipótesis. El argumento es la contrapositiva del teorema con la acotación mantenida.
8.34. Conjuntos de destinos acotados
Bolzano–Weierstrass da una extracción convergente, cuyo límite pertenece a \(C\) por §8.3; así \(C\) es no vacío. El ejercicio 8.13 probó cerradura sin requerir acotación; alternativamente, si \(L\) es adherente a \(C\), aproxima \(L\) por un \(H\in C\) a error \(\varepsilon/2\) y después elige un término tardío cerca de \(H\) al mismo error. Eso demuestra \(L\in C\). Finalmente, si \(H\in C\), una extracción converge a \(H\) y todos sus términos están entre \(-M\) y \(M\). El orden de límites da \(-M\le H\le M\). Las tres conclusiones proceden de obligaciones distintas: existencia, estabilidad por aproximación y cota heredada.
8.35. Distancia positiva entre dos cerrados
Supón que no existe tal \(\delta\). Para cada \(n\) hay \(x_n\in A\) y \(y_n\in B\) con \(|x_n-y_n|<1/(n+1)\). Se eligen estos testigos bajo la base clásica de elección; puede hacerse eligiendo primero un \(x\) admisible en \(A\) y luego un \(y\) admisible en \(B\). La sucesión \(x\) es acotada; una extracción \(x_{\varphi(k)}\) converge a un real \(L\), y como \(A\) es cerrado, \(L\in A\). Además
\[ |y_{\varphi(k)}-L|\le |y_{\varphi(k)}-x_{\varphi(k)}|+|x_{\varphi(k)}-L| <\frac1{\varphi(k)+1}+|x_{\varphi(k)}-L|. \]
El primer sumando está acotado por \(1/(k+1)\) y el segundo tiende a cero. Para cualquier tolerancia se hacen ambos menores que su mitad reuniendo los umbrales. Así \(y_{\varphi(k)}\to L\); como \(B\) es cerrado, \(L\in B\), contradiciendo \(A\cap B=\varnothing\). No necesitábamos acotación global de \(B\): la proximidad a la extracción de \(A\) produjo la convergencia necesaria.
8.36. Toda extracción puede refinarse
Si \(a_n\to L\), toda subsucesión ya converge a \(L\) por §8.2 y la identidad sirve como extracción adicional. Recíprocamente, si \(a\) no converge a \(L\), existe \(\varepsilon_0>0\) con términos tardíos de error al menos \(\varepsilon_0\). Construyendo mínimos después de cada corte se obtiene una subsucesión \(b\) con \(|b_k-L|\ge\varepsilon_0\) para todo \(k\). Ninguna extracción suya puede converger a \(L\), porque todas conservan esa desigualdad y contradicen la captura estricta para la tolerancia \(\varepsilon_0\). Esto contradice la hipótesis. Aquí ésta garantiza directamente la extracción hacia \(L\), por lo que no se necesita Bolzano–Weierstrass ni acotación.
8.37. Clasificar una familia intercalada
La selección par converge a \(p\) y la impar a \(q\), así que ambos son puntos secuenciales, posiblemente iguales. No hay otros: por el resultado de partición finita del ejercicio 8.14, cada punto secuencial proviene de una de esas dos selecciones, y una sucesión convergente sólo tiene su límite como punto secuencial. Por tanto el conjunto es \(\{p,q\}\). La sucesión es acotada por \(\max\{|p|,|q|\}+1\). Si \(p=q\), el criterio de §8.8 da convergencia a ese valor; también sirve intercalar dos límites iguales. Si \(p\ne q\), los dos destinos diferentes impiden convergencia.
La figura 8.8 sitúa el papel de acotación y unicidad del destino; aquí los dos límites se han identificado por paridades.
8.38. Un radio que depende del corte
Toma \(a_n=1/(n+1)\) y \(L=0\). Para cada \(N\), el índice \(n=N\) y el radio \(\varepsilon_N=1/(N+1)\) cumplen la condición, aunque \(a_n\to0\). Los radios pueden disminuir y no establecen un margen de error persistente. La negación correcta fija primero \(\varepsilon_0>0\): para todo \(N\) existe \(n\ge N\) con \(|a_n-L|\ge\varepsilon_0\). Con ese orden sí se construye una extracción cuyos términos nunca entran en una misma ventana, lo que refuta convergencia.
La figura 8.8 permite leer la refutación con una sola ventana fijada antes de todos los cortes.
8.39. Acercarse a un conjunto finito de destinos
Si falla para algún \(\varepsilon_0>0\), hay términos después de todo corte fuera de la unión. Extrae por mínimos una subsucesión \(b\) que satisfaga \(|b_k-L_i|\ge\varepsilon_0\) para todos los \(k\) y todos los \(i\). Como \(b\) es acotada, Bolzano–Weierstrass proporciona una extracción convergente a \(H\). Por composición y §8.3, \(H\) es punto secuencial de \(a\), así que \(H=L_j\) para algún \(j\). La convergencia a ese \(L_j\) contradice la desigualdad de error fijo. La conclusión encierra la cola en varias ventanas, sin afirmar que permanezca en una sola ni que converja.
8.40. Saltos pequeños y destinos intermedios
Fija \(t\in(p,q)\), una tolerancia \(\varepsilon>0\) y un corte \(N\). Toma \(\eta=\min\{\varepsilon,t-p,q-t\}/2>0\); es menor que las tres cantidades. Existe \(N_0\ge N\) tal que \(|a_{n+1}-a_n|<\eta\) para \(n\ge N_0\). Como \(p\) es punto secuencial, hay \(i\ge N_0\) con \(|a_i-p|<\eta\), luego \(a_i<t\). Como \(q\) es punto secuencial, hay \(j>i\) con \(|a_j-q|<\eta\), luego \(a_j>t\).
En el conjunto finito de índices entre \(i+1\) y \(j\) existe un primer \(r\) con \(a_r\ge t\). Entonces \(a_{r-1}<t\le a_r\) y \(r-1\ge N_0\), por lo que \(0\le a_r-t\le a_r-a_{r-1}<\eta<\varepsilon\). Además \(r\ge N\). Hemos encontrado una visita a la bola de \(t\) después de cualquier corte, así que \(t\) es punto secuencial. El paso transferible es localizar el primer cruce: saltos pequeños impiden atravesar una altura sin acercarse a ella. La acotación pertenece al contexto de destinos de la sucesión, pero este argumento concreto sólo necesita los dos destinos y la condición sobre saltos.