Ejercicios — Capítulo 9
Índice del libro · Capítulo 9 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C09_SOLUCIONES.md. Justifica las respuestas y verifica acotación, signo y cuantificadores antes de aplicar una regla.
9.1. Un extremo inicial
Sea \(a_0=7\), \(a_1=-4\) y \(a_n=1\) para \(n\ge2\). Determina todos los conjuntos de cola y sus extremos.
9.2. Una frontera ausente
Para \(a_n=2-1/(n+1)\), calcula \(\ell_N,u_N\) y decide cuáles se alcanzan.
9.3. Aproximación bilateral
Demuestra directamente desde las definiciones que para \(\eta>0\) existen \(p,q\ge N\) con \(a_p>u_N-\eta\) y \(a_q<\ell_N+\eta\), sin suponer máximos o mínimos.
9.4. Cuándo se retira una altura
Prueba \(T_N=\{a_N\}\cup T_{N+1}\). ¿Cuándo puede ser estricta la inclusión \(T_{N+1}\subseteq T_N\)?
9.5. Acotación eventual
Una sucesión real satisface \(|a_n|\le M\) para \(n\ge N_0\), donde \(M\ge0\). Demuestra que es acotada globalmente y que puede entrar en este capítulo.
9.6. Alternancia con margen decreciente
Calcula las envolventes y los extremos de \(a_n=3+(-1)^n(2+1/(n+1))\).
9.7. Orden en dos niveles
Prueba \(\inf T_0\le\alpha\le\beta\le\sup T_0\) e indica los dos niveles de completitud usados.
9.8. Invertir operaciones
Compara \(\inf_N\sup_{n\ge N}a_n\) con \(\sup_N\inf_{n\ge N}a_n\) para la alternancia cero–uno. ¿Son operaciones intercambiables?
9.9. Monotonía original
Si \(a\) es acotada y no decreciente, identifica sus dos envolventes y sus extremos.
9.10. Igualdad de límites, desigualdad de objetos
Construye dos sucesiones distintas con las mismas envolventes superior e inferior en todos los cortes.
9.11. Umbral persistente
Para una sucesión acotada define \(A=\{t\in\mathbb R:\{n:a_n>t\}\text{ es infinito}\}\). Prueba que \(A\) es no vacío, acotado superiormente y \(\sup A=\beta\).
9.12. Umbral eventual
Define \(B=\{t\in\mathbb R:\{n:a_n>t\}\text{ es finito}\}\). Prueba \(\inf B=\beta\) y explica por qué \(\beta\) puede o no pertenecer a \(B\).
9.13. Probar una frontera candidata
Supón que para cada \(\varepsilon>0\) una cola satisface \(a_n<4+\varepsilon\) y que después de cada corte existe \(a_n>4-\varepsilon\). Demuestra \(\beta=4\) sin suponer que la sucesión converge.
9.14. Visitas con una sola tolerancia
¿Basta que haya infinitos términos con \(a_n>2-1/2\) para concluir \(\beta=2\)? Da un contraejemplo acotado.
9.15. Versión inferior por umbrales
Prueba \(\alpha=\inf\{t:\{n:a_n<t\}\text{ es infinito}\}\).
9.16. Un selector explícito
Para \(a_n=(-1)^n+1/(n+1)\) construye selectores de subsucesiones que converjan a los dos extremos.
9.17. Construcción sin elección arbitraria
Reconstruye la extracción que converge a \(\beta\) usando mínimos naturales. Justifica no vacuidad y convergencia.
9.18. Extracción de una extracción
Sea \(b_k=a_{\varphi(k)}\) una subsucesión. Prueba \(\alpha_a\le\alpha_b\le\beta_b\le\beta_a\).
9.19. Un punto intermedio ausente
Prueba que \(1/2\) no es destino de ninguna subsucesión de la alternancia cero–uno, pese a estar entre sus extremos.
9.20. Destinos extremos y conjunto
¿Por qué los extremos asintóticos son máximo y mínimo del conjunto de destinos incluso cuando nunca aparecen como términos? Ilustra con una sucesión.
9.21. La igualdad captura toda la cola
Demuestra directamente desde las envolventes que \(\alpha=\beta=L\) implica \(a_n\to L\).
9.22. Dos amplitudes
Calcula las oscilaciones asintóticas de \(a_n=5+(-1)^n/(n+1)\) y \(b_n=5+(-1)^n\).
9.23. Supremo de distancias
Prueba que \(u_N-\ell_N=\sup\{|a_p-a_q|:p,q\ge N\}\), sin suponer extremos alcanzados.
9.24. Único destino
Para una sucesión acotada, prueba la equivalencia entre tener un único destino de subsucesiones y tener oscilación asintótica cero.
9.25. Cuánto ve una tolerancia fija
Si para un corte \(N\) todas las distancias de términos posteriores son menores que \(\varepsilon\), ¿qué concluyes sobre \(d_N\)? ¿Basta para deducir convergencia?
9.26. Modificar y desplazar
Para \(a_n=(-1)^n\), compara los extremos al cambiar \(a_0\) por cien y al definir \(b_k=a_{k+1}\).
9.27. Perturbación que desaparece
Sea \(a\) acotada y \(r_n\to0\). Demuestra que \(a_n+r_n\) tiene los mismos extremos y oscilación que \(a\).
9.28. Estabilidad con margen
Si \(a,b\) son acotadas y \(|a_n-b_n|\le\delta\) eventualmente, prueba \(|\alpha_a-\alpha_b|\le\delta\), \(|\beta_a-\beta_b|\le\delta\) y \(|\omega(a)-\omega(b)|\le2\delta\).
9.29. El margen puede alcanzarse
Para \(\delta>0\), da dos sucesiones con \(|a_n-b_n|=\delta\) en todos los índices y \(|\omega(a)-\omega(b)|=2\delta\).
9.30. Error persistente
¿Se conservan los extremos al sumar \(r_n=(-1)^n\) a cualquier sucesión acotada? Da un ejemplo que decida.
9.31. Escala negativa
Si \(\alpha_a=-2\) y \(\beta_a=3\), calcula los extremos y la oscilación de \(-4a_n+1\).
9.32. Suma con desacuerdo temporal
Para \(a_n=(-1)^n\) y \(b_n=-(-1)^n\), compara \(\beta(a+b)\) con \(\beta_a+\beta_b\) y \(\alpha(a+b)\) con \(\alpha_a+\alpha_b\).
9.33. Intervalo más preciso para la suma
Prueba \(\beta(a+b)\ge\max\{\beta_a+\alpha_b,\alpha_a+\beta_b\}\) y \(\alpha(a+b)\le\min\{\alpha_a+\beta_b,\beta_a+\alpha_b\}\).
9.34. Producto y signo
Prueba las cotas de producto para factores acotados no negativos y da un contraejemplo a la cota superior al retirar la hipótesis de signo.
9.35. Un sumando convergente
Si \(b_n\to B\) y \(a\) es acotada, prueba las fórmulas exactas de los extremos de \(a+b\) y decide su oscilación.
9.36. Picos cada vez más separados
Define \(a_n=1\) cuando \(n=2^j\) para algún natural \(j\) y cero en los demás índices. Determina extremos y destinos.
9.37. Todos los puntos de un intervalo
Enumera por bloques, para \(m=1,2,\ldots\), los valores \(0,1/m,2/m,\ldots,1\), y reindexa la concatenación desde cero. Determina los extremos y demuestra que sus destinos son exactamente \([0,1]\).
9.38. Misma banda, distintos destinos
Construye dos sucesiones con extremos \(-2\) y tres y diferentes conjuntos de destinos, y justifica ambos conjuntos.
9.39. Un destino sin acotación
Sea \(a_{2k}=0\), \(a_{2k+1}=k+1\). Demuestra que su único destino real es cero y que no converge. Explica por qué no contradice §9.5.
9.40. Saltos pequeños llenan la banda
Sea \(a\) acotada con \(|a_{n+1}-a_n|\to0\) y \(\alpha<\beta\). Demuestra que cada \(L\in(\alpha,\beta)\) es destino de una subsucesión. Concluye \(\operatorname{LimSub}(a)=[\alpha,\beta]\).