Soluciones — Capítulo 9
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9.1. Un extremo inicial
\(T_0=\{-4,1,7\}\), \(T_1=\{-4,1\}\) y \(T_N=\{1\}\) para \(N\ge2\). Así \((\ell_0,u_0)=(-4,7)\), \((\ell_1,u_1)=(-4,1)\) y \((\ell_N,u_N)=(1,1)\) desde el corte dos. Se distinguen los conjuntos de valores de los infinitos conjuntos de índices.
La figura 9.1 permite separar el efecto del prefijo de los extremos de las colas posteriores.
9.2. Una frontera ausente
Los términos crecen desde \(a_N\), así \(\ell_N=2-1/(N+1)\) y se alcanza en \(N\). Todos son menores que dos. Para \(\eta>0\), escoger \(n\ge N\) con \(1/(n+1)<\eta\) da \(a_n>2-\eta\), por lo que \(u_N=2\) y no se alcanza.
9.3. Aproximación bilateral
Si todo término posterior fuera a lo sumo \(u_N-\eta\), ese real sería cota superior estrictamente menor que \(u_N\). Si todo término fuera al menos \(\ell_N+\eta\), sería cota inferior estrictamente mayor que \(\ell_N\). Ambas conclusiones contradicen la optimalidad respectiva. Los valores que evitan esas contradicciones pertenecen a \(T_N\) y por tanto tienen índices posteriores al corte.
9.4. Cuándo se retira una altura
Cada índice al menos \(N\) es \(N\) o es al menos \(N+1\), lo que prueba la igualdad; la inclusión inversa se sigue de los mismos índices. La inclusión es estricta exactamente cuando \(a_N\) no reaparece en ningún índice posterior. Que se retire un índice no obliga a retirar su valor.
9.5. Acotación eventual
Si \(N_0=0\), sirve \(M\). Si \(N_0>0\), el prefijo contiene finitos términos y \(B=\max\{M,|a_0|,\ldots,|a_{N_0-1}|\}\) es una cota de todas las magnitudes. Por tanto cada cola es no vacía y acotada y la construcción de ambos extremos finitos queda autorizada.
9.6. Alternancia con margen decreciente
Con \(e(N)\) par y \(o(N)\) impar mínimos posteriores, \(u_N=5+1/(e(N)+1)\) y \(\ell_N=1-1/(o(N)+1)\). Aquí \(e(N)=N\) para \(N\) par y \(N+1\) para \(N\) impar; \(o(N)=N\) para \(N\) impar y \(N+1\) para \(N\) par. Todo valor par es mayor que \(5\) y decrece dentro de esa paridad; todo valor impar es menor que \(1\) y aumenta. Así los dos primeros índices disponibles dan, respectivamente, el máximo y el mínimo de la cola. Las correcciones tienden a cero porque sus índices son al menos \(N\). Así \(\alpha=1\), \(\beta=5\).
La figura 9.2 ayuda a leer la dirección de cada envolvente aunque la sucesión original alterne.
9.7. Orden en dos niveles
Cada cola está dentro de \(T_0\), de modo que \(\inf T_0\le\ell_N\le u_N\le\sup T_0\). El paso al límite conserva orden y da la cadena. Completitud da primero sup/inf reales de cada cola y después, mediante C07, los límites reales de las envolventes monótonas acotadas.
9.8. Invertir operaciones
Cada cola contiene cero y uno. La primera expresión vale uno y la segunda cero. Son \(\beta\) y \(\alpha\), respectivamente; no se intercambian en general.
El orden de las dos operaciones de extremos se distingue en la figura 9.2.
9.9. Monotonía original
\(\ell_N=a_N\) porque es el menor término posterior. Sea \(s=\sup T_0\). Es también supremo de cada cola: cualquier cota de una cola acota los términos anteriores porque son a lo sumo \(a_N\). Así \(u_N=s\) para todo \(N\). C07 da \(a_N\to s\), y por tanto \(\alpha=\beta=s\).
9.10. Igualdad de límites, desigualdad de objetos
La alternancia \(a_n=0\) para pares y uno para impares, y la alternancia inversa \(b_n=1-a_n\), son distintas en cada índice. Cada cola de ambas contiene cero y uno, por lo que sus envolventes son idénticas: \(\ell_N=0,u_N=1\). Igualdad de envolventes no implica igualdad de las funciones originales.
La figura 9.2 permite comparar las envolventes; aquí la coincidencia se ha demostrado para dos funciones diferentes.
9.11. Umbral persistente
Una cota inferior global \(m\) hace que \(m-1\in A\), por lo que es no vacío. Una cota superior global \(M\) acota a \(A\). Si \(t>\beta\), sólo hay finitas visitas sobre \(t\), luego \(t\notin A\); así \(\beta\) acota \(A\). Todo \(t<\beta\) pertenece a \(A\) por §9.3; en particular \(\beta-\varepsilon\in A\) para toda tolerancia. Ninguna cota menor que \(\beta\) puede acotar a \(A\), por lo que su supremo es \(\beta\).
9.12. Umbral eventual
\(B\) contiene una cota superior global y es no vacío. Ningún \(t<\beta\) pertenece a \(B\), pues hay infinitas visitas sobre él; así \(\beta\) es cota inferior. Todo \(t>\beta\) pertenece a \(B\), luego hay elementos arbitrariamente próximos por arriba y \(\inf B=\beta\). Para la constante uno, \(\beta=1\in B\) porque no hay términos mayores que uno. Para \(1+1/(n+1)\), \(\beta=1\notin B\) porque todos los términos son mayores.
9.13. Probar una frontera candidata
La cota eventual implica \(u_N\le4+\varepsilon\) para algún corte, y por tanto \(\beta\le4+\varepsilon\). Las visitas implican \(u_K>4-\varepsilon\) para cada corte y por límite \(\beta\ge4-\varepsilon\). Si \(\beta\) difiriera de cuatro, elegir la mitad de la distancia como tolerancia contradiría una desigualdad. Por tanto \(\beta=4\), sin control sobre un posible extremo inferior distinto.
En la figura 9.3 se distinguen la cota de toda una cola y la visita que sobrevive a cada corte; la prueba necesita ambas.
9.14. Visitas con una sola tolerancia
No. La constante \(a_n=7/4\) satisface la visita con esa tolerancia y tiene \(\beta=7/4\). Falta exigir todas las tolerancias y la cota eventual superior. Incluso todas las visitas por abajo sólo darían \(\beta\ge2\).
Las dos condiciones de la figura 9.3 muestran lo que queda pendiente al comprobar una sola tolerancia.
9.15. Versión inferior por umbrales
El conjunto es no vacío: si \(M\) acota superiormente a \(a\), \(M+1\) pertenece a él. Está acotado inferiormente por una cota inferior global. Si \(t<\alpha\), las visitas por debajo de \(t\) son finitas por la cota inferior eventual con tolerancia \((\alpha-t)/2\). Si \(t>\alpha\), la condición de visitas con tolerancia \(t-\alpha\) da infinitos términos menores que \(t\). Por ello \(\alpha\) es cota inferior y hay elementos arbitrariamente próximos por arriba, lo que identifica el ínfimo.
9.16. Un selector explícito
Las selecciones \(\varphi(k)=2k\) y \(\psi(k)=2k+1\) son estrictamente crecientes en \(\mathbb N\). Sus términos son \(1+1/(2k+1)\) y \(-1+1/(2k+2)\), que convergen a uno y menos uno. Para cada ε>0, una cola cumple −1−ε<a_n<1+ε, por la pequeñez del recíproco; así todos sus destinos están en [−1,1]. Como las dos selecciones alcanzan los extremos de ese intervalo, el carácter mínimo/máximo de §9.4 identifica α=−1 y β=1. La convergencia recíproca se verifica por arquimedianidad.
La figura 9.4 sitúa las extracciones que alcanzan las fronteras como límites, sin exigir que sean términos de la sucesión.
9.17. Construcción sin elección arbitraria
Para cualquier \(\delta,K\), la cota superior eventual fija \(H\) y las visitas por abajo después de \(\max\{H,K\}\) dan un índice con \(|a_n-\beta|<\delta\). Por ello existen los mínimos \(n_0=\min\{n:|a_n-\beta|<1\}\) y \(n_k=\min\{n\ge n_{k-1}+1:|a_n-\beta|<1/(k+1)\}\) para \(k\ge1\). La recursión da aumento estricto. Para \(\varepsilon>0\), elegir \(K\) con \(1/(K+1)<\varepsilon\); todo \(k\ge K\) tiene error menor, luego la extracción converge a \(\beta\).
La figura 9.4 ayuda a separar el avance de índices de la aproximación espacial que controla el error.
9.18. Extracción de una extracción
\(b\) es acotada. Sus extremos son límites de subsucesiones \(b_{\psi(j)}\) por §9.4. La composición \(\varphi\circ\psi\) es estrictamente creciente, de modo que ambos son destinos de \(a\) y quedan en \([\alpha_a,\beta_a]\). Además \(\alpha_b\le\beta_b\) por §9.2. Esto reúne toda la cadena; una extracción puede estrechar la banda.
9.19. Un punto intermedio ausente
Cada término de cualquier extracción vale cero o uno y está a distancia exactamente \(1/2\) de \(1/2\). La tolerancia \(1/4\) impide convergencia a ese candidato. Los destinos cero y uno se obtienen por paridad; así el confinamiento no es una caracterización de todos los puntos interiores.
El confinamiento de la figura 9.4 incluye los extremos; por sí solo no proporciona destinos en el interior.
9.20. Destinos extremos y conjunto
El conjunto contiene límites, no necesariamente términos. Las extracciones probadas llevan \(\alpha,\beta\) a él y el confinamiento los compara con todos sus elementos, dando mínimo y máximo. Para \(a_n=1/(n+1)\) ambos extremos son cero y el conjunto de destinos es \(\{0\}\), aunque ningún término valga cero.
9.21. La igualdad captura toda la cola
Fijar \(\varepsilon>0\). Elegir \(N_1\) con \(\ell_n>L-\varepsilon\) para \(n\ge N_1\) y \(N_2\) con \(u_n<L+\varepsilon\) para \(n\ge N_2\). Con \(N=\max\{N_1,N_2\}\), el encierro \(\ell_n\le a_n\le u_n\) prueba \(|a_n-L|<\varepsilon\) para todo \(n\ge N\). No basta tomar sólo uno de los cortes.
Los dos controles de la figura 9.5 se reúnen para capturar toda la cola.
9.22. Dos amplitudes
Para \(a\), las correcciones recíprocas van a cero y ambos extremos son cinco, luego \(\omega(a)=0\). Para \(b\), toda cola contiene cuatro y seis, luego \(\alpha_b=4\), \(\beta_b=6\) y \(\omega(b)=2\). La primera converge aunque alterna; la segunda no.
La figura 9.5 permite interpretar las amplitudes calculadas: el signo alternante y la anchura persistente son datos distintos.
9.23. Supremo de distancias
Todas las distancias son a lo sumo \(u_N-\ell_N\). Para \(\eta>0\) escoger términos con \(a_p>u_N-\eta/2\) y \(a_q<\ell_N+\eta/2\) por aproximación. Su distancia es al menos \(a_p-a_q>u_N-\ell_N-\eta\). El conjunto de distancias contiene cero y es acotado; la cota y su aproximación identifican su supremo.
9.24. Único destino
Si el conjunto de destinos es \(\{L\}\), sus mínimo y máximo probados en §9.4 son ambos \(L\), luego \(\omega=0\). Si \(\omega=0\), \(\alpha=\beta=L\); el confinamiento fuerza a todos los destinos a ser \(L\) y la extracción extrema garantiza que existe. No se omite la no vacuidad.
9.25. Cuánto ve una tolerancia fija
El supremo de esas distancias da \(d_N\le\varepsilon\), sin garantizar desigualdad estricta. Para ver que la igualdad es posible, toma \(a_n=\varepsilon/(n+1)\) y el corte \(N=0\). Dos términos cualesquiera son positivos y están en \((0,\varepsilon]\), por lo que su distancia es menor que \(\varepsilon\). Sin embargo, \(u_0=\varepsilon\) e \(\ell_0=0\) por aproximación de los recíprocos, así que \(d_0=\varepsilon\). Una sola tolerancia no prueba convergencia: la alternancia cero–uno tiene todas sus distancias menores que dos y no converge. Si la condición existiera para cada tolerancia positiva, entonces \(0\le\omega\le\varepsilon\) para toda \(\varepsilon\) y el criterio de §9.5 daría convergencia.
La figura 9.5 relaciona la disminución de anchuras con la convergencia; una sola tolerancia deja abierta esa disminución.
9.26. Modificar y desplazar
Ambas operaciones conservan los extremos menos uno y uno. La primera cambia un valor del prefijo y deja idénticas las colas desde uno. La segunda invierte la paridad y reindexa; sus colas son las de \(a\) con corte desplazado. Son funciones diferentes y operaciones diferentes.
La figura 9.2 permite seguir qué parte de la información de cola permanece al modificar o desplazar el comienzo.
9.27. Perturbación que desaparece
\(r\) es acotada, luego \(a+r\) lo es. Para \(\varepsilon>0\), en colas suficientemente tardías \(a_n-\varepsilon<a_n+r_n<a_n+\varepsilon\). Comparando supremos e ínfimos en ambas direcciones, sus extremos difieren a lo sumo en \(\varepsilon\). Como vale para toda tolerancia, coinciden los dos extremos. Al restarlos coincide la oscilación.
La figura 9.2 representa las fronteras cuya estabilidad se obtiene aquí con un control de error que tiende a cero.
9.28. Estabilidad con margen
En colas posteriores, \(b_n\le a_n+\delta\) y \(a_n\le b_n+\delta\), por lo que ambos supremos difieren a lo sumo en \(\delta\). Las desigualdades inferiores hacen lo mismo con los ínfimos. Pasar al límite conserva todas las desigualdades. Finalmente la desigualdad triangular aplicada a \((\beta_a-\beta_b)-(\alpha_a-\alpha_b)\) da el margen \(2\delta\).
9.29. El margen puede alcanzarse
Tomar \(a_n=(-1)^n\delta\) y \(b_n=0\). La distancia término a término es \(\delta\), los extremos de \(a\) son \(-\delta,\delta\) y los de \(b\) son cero; así sus oscilaciones difieren en \(2\delta\). La cota anterior es óptima.
9.30. Error persistente
No. Si \(a_n=0\), la suma es la alternancia menos uno–uno. Los extremos cambian de cero y cero a menos uno y uno. El error es acotado pero no tiende a cero; acotación sola no da invariancia.
9.31. Escala negativa
La escala negativa intercambia los extremos: \(\alpha(-4a)=-12\) y \(\beta(-4a)=8\). Al trasladar por uno resultan \(-11\) y nueve; la oscilación es veinte, también igual a \(4(3-(-2))\).
9.32. Suma con desacuerdo temporal
La suma es cero, por lo que ambos extremos de la suma son cero. Las fronteras superiores separadas suman dos y las inferiores menos dos. Ambas desigualdades generales son estrictas, porque las alturas extremas de los sumandos aparecen en paridades opuestas.
La figura 9.6 muestra por qué las alturas extremas de los sumandos pueden ocurrir en posiciones distintas.
9.33. Intervalo más preciso para la suma
Tomemos una extracción \(a_{\varphi(k)}\to\beta_a\). Fijados \(\varepsilon>0\) y un corte original \(N\), sea \(K_a\) un umbral con \(a_{\varphi(k)}>\beta_a-\varepsilon\) para \(k\ge K_a\), y sea \(T_b\) un corte con \(b_n>\alpha_b-\varepsilon\) para \(n\ge T_b\). Elegimos \(k\ge\max\{K_a,T_b,N\}\). Como \(\varphi(k)\ge k\), el índice original \(n=\varphi(k)\) está después de ambos cortes originales y cumple
\[ a_n+b_n>\beta_a+\alpha_b-2\varepsilon. \]
Para cada \(N\) hemos obtenido un término de esa cola por encima de la misma barrera. Por tanto \(u_N(a+b)>\beta_a+\alpha_b-2\varepsilon\) para todo \(N\), y al pasar al límite resulta \(\beta(a+b)\ge\beta_a+\alpha_b-2\varepsilon\). Al ser \(\varepsilon\) arbitraria, \(\beta(a+b)\ge\beta_a+\alpha_b\). Intercambiar \(a,b\) da la otra cota y, juntas, el máximo pedido.
Para la frontera inferior, tomemos una extracción hacia \(\alpha_a\) y la cota eventual \(b_n<\beta_b+\varepsilon\). Coordinando los tres cortes del mismo modo, después de cada \(N\) se obtiene un término con \(a_n+b_n<\alpha_a+\beta_b+2\varepsilon\). Entonces \(\ell_N(a+b)<\alpha_a+\beta_b+2\varepsilon\) para todo \(N\) y \(\alpha(a+b)\le\alpha_a+\beta_b+2\varepsilon\). La arbitrariedad de \(\varepsilon\) da \(\alpha(a+b)\le\alpha_a+\beta_b\); al intercambiar los sumandos se obtiene la otra desigualdad y el mínimo pedido.
9.34. Producto y signo
En cada cola los extremos son no negativos y \(\ell_N(a)\ell_N(b)\le a_nb_n\le u_N(a)u_N(b)\). El producto es acotado; tomar extremos y límites da \(\alpha(ab)\ge\alpha_a\alpha_b\) y \(\beta(ab)\le\beta_a\beta_b\). Si \(a_n=b_n\) alternan entre menos dos y menos uno, los extremos superiores son menos uno y su producto es uno, pero \(\beta(ab)=4\). La cota superior falla sin control de signo.
9.35. Un sumando convergente
La suma es acotada porque ambos sumandos lo son. Escribir \(a_n+b_n=(a_n+B)+(b_n-B)\), donde el segundo término tiende a cero. La estabilidad y la traslación dan \(\alpha(a+b)=\alpha_a+B\) y \(\beta(a+b)=\beta_a+B\). Al restar, \(\omega(a+b)=\omega(a)\): el sumando convergente traslada las fronteras y conserva su distancia.
La comparación de fronteras de la figura 9.6 se vuelve exacta cuando uno de los sumandos tiene un límite.
9.36. Picos cada vez más separados
Las potencias superan cualquier corte porque \(2^j\ge j+1\). Los índices \(2^j+1\) para \(j\ge1\) crecen y están estrictamente entre \(2^j\) y \(2^{j+1}\), por lo que no son potencias. Cada cola contiene cero y uno, y sus extremos son cero y uno. Ambos son destinos por selecciones crecientes de esos índices; ningún otro real puede ser destino porque la imagen es el conjunto finito \(\{0,1\}\).
9.37. Todos los puntos de un intervalo
El bloque de parámetro \(m\ge1\) tiene longitud \(m+1\) y comienza en \(B_m=(m-1)(m+2)/2\). Cada índice \(n\) pertenece a un único bloque \(B_m\le n<B_{m+1}\), y su valor es \(a_n=(n-B_m)/m\). Así la concatenación define una sucesión real desde el índice \(0\). Todos los términos están en \([0,1]\) y cada bloque contiene ambos extremos, por lo que cada cola contiene cero y uno y \(\alpha=0,\beta=1\). Para \(x\in[0,1]\), en cada bloque escoger el menor entero \(j_m\in\{0,\ldots,m\}\) con \(j_m/m\ge x\). Existe porque \(m/m=1\). Si \(j_m>0\), minimalidad da \((j_m-1)/m<x\), luego \(0\le j_m/m-x<1/m\); si \(j_m=0\), \(x=0\) y el error es cero. Definimos el selector \(\theta(k)=B_{k+1}+j_{k+1}\) para \(k\in\mathbb N\). El índice elegido en el bloque \(m\) es a lo sumo \(B_m+m\), mientras que el elegido en el siguiente es al menos \(B_{m+1}=B_m+m+1\); por tanto \(\theta\) crece estrictamente. Además, \(|a_{\theta(k)}-x|<1/(k+1)\), incluido el caso de error cero. Para \(\varepsilon>0\), el corte \(K=\lfloor1/\varepsilon\rfloor+1\) garantiza que todo \(k\ge K\) cumple ese error menor que \(\varepsilon\). La extracción converge a \(x\). Ningún destino queda fuera del intervalo por confinamiento.
9.38. Misma banda, distintos destinos
La alternancia menos dos–tres tiene destinos exactamente \(\{-2,3\}\). El patrón periódico menos dos–cero–tres tiene destinos exactamente \(\{-2,0,3\}\). Cada valor del patrón aparece en una clase de índices y produce una subsucesión constante. Ningún real externo a la imagen finita puede ser destino porque su distancia mínima a esa imagen es positiva. Las colas contienen todos los valores del patrón, luego ambas bandas son \([-2,3]\).
9.39. Un destino sin acotación
Los pares dan una extracción constante cero. Si una subsucesión convergente incluyera infinitos términos impares, éstos formarían una extracción con índices \(2k+1\) crecientes y valores \(k+1\) sin cota; eso contradice que toda convergente y sus subsucesiones son acotadas. Por tanto toda extracción convergente es eventualmente par y su límite es cero. La sucesión original no es acotada, así que no converge en \(\mathbb R\). Sus colas carecen de supremo real; los extremos finitos del capítulo y el criterio que los usa requieren acotación.
9.40. Saltos pequeños llenan la banda
Fijar \(L\) interior y \(\varepsilon>0\). Las visitas de §9.3 proporcionan términos menores que \(L\) arbitrariamente tarde, porque escoger tolerancia \((L-\alpha)/2\) los mantiene debajo. También hay términos mayores que \(L\) después de cualquier corte por tolerancia \((\beta-L)/2\). Elegir \(H\) con saltos menores que \(\varepsilon\) para \(n\ge H\). Dado cualquier corte \(K\), escoger \(p\ge\max\{H,K\}\) con \(a_p<L\) y después \(q>p\) con \(a_q>L\). Sea \(r\) el primer índice de \(\{p+1,\ldots,q\}\) con \(a_r\ge L\). Entonces \(a_{r-1}<L\le a_r\) y \(0\le a_r-L\le a_r-a_{r-1}<\varepsilon\). Se obtienen visitas a la bola de \(L\) después de cualquier corte; C08 o la construcción de mínimos de §9.4 produce una extracción convergente a \(L\). Los extremos ya son destinos y todos los destinos están confinados en la banda. La condición de saltos se usa en el primer cruce, y la acotación en la existencia de las fronteras.