Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 12: Cocientes de grupos
Capítulo 12 — Cocientes de grupos
12.0. Propósito y posición deductiva
Ya disponemos de subgrupos normales y de clases laterales. Falta realizar el paso decisivo: convertir las clases laterales en elementos de un nuevo conjunto y demostrar que la multiplicación de representantes produce una operación independiente de la representación elegida.
La cadena deductiva será
\[ \text{clases laterales} \longrightarrow \text{equivalencia inducida} \longrightarrow G/H \longrightarrow \text{normalidad} \longrightarrow \text{producto bien definido} \longrightarrow \mathcal G/N\text{ grupo} \longrightarrow q_N:G\to G/N. \]
El punto crítico del capítulo es la buena definición. La fórmula informal
\[ (gN)(hN)=(g\star h)N \]
no será aceptada como definición hasta demostrar que cambiar \(g\) o \(h\) por otros representantes de las mismas clases produce exactamente la misma clase resultado.
12.1. La equivalencia inducida por un subgrupo
Definición 12.1.1 — Relación asociada a las clases laterales izquierdas
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo y sea \(H\subseteq G\) un subconjunto que determina un subgrupo. Definimos una relación \(\sim_H\) sobre \(G\) por
\[ g\sim_H k \quad\Longleftrightarrow\quad gH=kH. \]
Conjuntistamente,
\[ \sim_H := \{\langle g,k\rangle\in G\times G:gH=kH\}, \]
que existe por Separación. Por TALG-IMP-00003, esto es una relación binaria sobre \(G\).
La orientación mediante clases izquierdas queda fijada en esta definición. Para subgrupos normales, las clases izquierdas y derechas coinciden por el Teorema 11.3.1.
Proposición 12.1.2 — La relación \(\sim_H\) es una equivalencia
Para todo subgrupo \(H\) de \(\mathcal G\), la relación \(\sim_H\) es una relación de equivalencia sobre \(G\).
Demostración
La prueba utiliza únicamente las propiedades lógicas de la igualdad de conjuntos.
- Reflexividad. Para todo \(g\in G\), \(gH=gH\), luego \(g\sim_H g\).
- Simetría. Si \(g\sim_H k\), entonces \(gH=kH\). Por simetría de la igualdad, \(kH=gH\), luego \(k\sim_H g\).
- Transitividad. Si \(g\sim_H k\) y \(k\sim_H \ell\), entonces \(gH=kH\) y \(kH=\ell H\). Por transitividad de la igualdad, \(gH=\ell H\), luego \(g\sim_H\ell\).
Por la definición importada de relación de equivalencia en TALG-IMP-00003, \(\sim_H\) es una equivalencia sobre \(G\). \(\square\)
Proposición 12.1.3 — Las clases de \(\sim_H\) son exactamente las clases laterales
Sea \(H\) un subgrupo de \(\mathcal G\) y sea \(g\in G\). Entonces
\[ [g]_{\sim_H}=gH. \]
Demostración
Sea \(x\in G\). Por definición de clase de equivalencia y de \(\sim_H\),
\[ x\in[g]_{\sim_H} \iff x\sim_H g \iff xH=gH. \]
Por el Teorema 11.2.1,
\[ xH=gH \iff g^{-1}\star x\in H. \]
Si \(g^{-1}\star x\in H\), llamando
\[ h:=g^{-1}\star x\in H, \]
tenemos, por asociatividad, inverso y neutro,
\[ g\star h = g\star(g^{-1}\star x) = (g\star g^{-1})\star x = x, \]
luego \(x\in gH\).
Recíprocamente, si \(x\in gH\), existe \(h\in H\) con \(x=g\star h\). Entonces
\[ g^{-1}\star x = g^{-1}\star(g\star h) = (g^{-1}\star g)\star h = h\in H, \]
y por el Teorema 11.2.1, \(xH=gH\), es decir, \(x\in[g]_{\sim_H}\).
Hemos probado
\[ x\in[g]_{\sim_H} \iff x\in gH \]
para todo \(x\). Por Extensionalidad,
\[ [g]_{\sim_H}=gH. \]
\(\square\)
12.2. El espacio de clases laterales
Definición 12.2.1 — Espacio de clases laterales \(G/H\)
Sea \(H\) un subgrupo de \(\mathcal G=\langle G,\star\rangle\). Como \(\sim_H\) es una relación de equivalencia, definimos
\[ G/H := G/{\sim_H}. \]
Por la construcción importada mediante TALG-IMP-00003, \(G/H\) es un conjunto y
\[ G/H\subseteq\mathcal P(G). \]
Usando la Proposición 12.1.3, sus elementos son precisamente las clases laterales izquierdas:
\[ G/H = \{gH:g\in G\}. \]
La igualdad anterior es descriptiva; la definición conjuntista canónica sigue siendo el cociente \(G/{\sim_H}\).
Notación 12.2.2 — Cociente conjuntista por un subgrupo
La expresión
\[ G/H \]
denota en este punto sólo el conjunto de clases laterales izquierdas. Si \(H\) no es normal, no se presupone ninguna operación de grupo sobre este conjunto.
12.3. Normalidad y buena definición del producto
Proposición 12.3.1 — Independencia de representantes del producto de clases
Sea \(N\trianglelefteq G\). Si
\[ gN=g'N \qquad\text{y}\qquad hN=h'N, \]
entonces
\[ (g\star h)N=(g'\star h')N. \]
Demostración
Por el Teorema 11.2.1, de \(gN=g'N\) se sigue
\[ a:=(g')^{-1}\star g\in N. \]
Por tanto
\[ g=g'\star a. \]
Análogamente, de \(hN=h'N\) se sigue
\[ b:=(h')^{-1}\star h\in N, \qquad h=h'\star b. \]
Como \(N\) es normal, el Teorema 11.3.1 da
\[ h'N=Nh'. \]
Puesto que \(a\in N\), tenemos
\[ a\star h'\in Nh'=h'N. \]
Por definición de \(h'N\), existe \(c\in N\) tal que
\[ a\star h'=h'\star c. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} g\star h &=(g'\star a)\star(h'\star b)\\ &=g'\star\bigl((a\star h')\star b\bigr)\\ &=g'\star\bigl((h'\star c)\star b\bigr)\\ &=(g'\star h')\star(c\star b). \end{aligned} \]
Como \(c,b\in N\) y \(N\) es un subgrupo,
\[ c\star b\in N. \]
Por tanto
\[ g\star h\in(g'\star h')N. \]
Por la Proposición 11.1.3, también
\[ g\star h\in(g\star h)N. \]
Las dos clases laterales \((g\star h)N\) y \((g'\star h')N\) tienen, pues, un elemento común, a saber \(g\star h\). Por el Lema 11.2.3, deben coincidir:
\[ (g\star h)N=(g'\star h')N. \]
\(\square\)
Punto estructural. Éste es el lugar exacto donde la normalidad deja de ser una propiedad auxiliar y se convierte en una condición de descenso: permite mover un factor de \(N\) a través de un representante del grupo sin abandonar \(N\).
Lema 12.3.2 — Existencia y unicidad de la operación cociente
Sea \(N\trianglelefteq G\). Existe una única operación binaria
\[ \star_N:(G/N)\times(G/N)\to G/N \]
tal que, para todos \(g,h\in G\),
\[ (gN)\star_N(hN)=(g\star h)N. \]
Demostración
Consideremos el subconjunto
\[ \Gamma_N \subseteq \bigl((G/N)\times(G/N)\bigr)\times(G/N) \]
dado por
\[ \left\langle\langle C,D\rangle,E\right\rangle\in\Gamma_N \]
si y sólo si existen \(g,h\in G\) tales que
\[ C=gN, \qquad D=hN, \qquad E=(g\star h)N. \]
El ambiente cartesiano existe por la interfaz TALG-IMP-00001, y \(\Gamma_N\) existe por Separación.
Sea \(\langle C,D\rangle\in(G/N)\times(G/N)\). Por la definición de \(G/N\) y la Proposición 12.1.3, existen \(g,h\in G\) con
\[ C=gN, \qquad D=hN. \]
Entonces
\[ E:=(g\star h)N\in G/N, \]
y
\[ \left\langle\langle C,D\rangle,E\right\rangle\in\Gamma_N. \]
Por tanto existe al menos una salida.
Para la unicidad, supongamos que también
\[ C=g'N, \qquad D=h'N \]
produce
\[ E'=(g'\star h')N. \]
Entonces
\[ gN=g'N, \qquad hN=h'N, \]
y la Proposición 12.3.1 implica
\[ (g\star h)N=(g'\star h')N. \]
Por tanto \(E=E'\). Así \(\Gamma_N\) es el grafo de una función
\[ \star_N:(G/N)\times(G/N)\to G/N. \]
La fórmula exigida se cumple por construcción.
Finalmente, cualquier otra operación con esa misma fórmula coincide con \(\star_N\) en todo par \(\langle gN,hN\rangle\), y todo elemento de \((G/N)\times(G/N)\) tiene esa forma. Por extensionalidad de funciones, la operación es única. \(\square\)
No se ha elegido un representante de cada clase. Para cada par de clases se usa la existencia local de representantes, y la Proposición 12.3.1 demuestra que el resultado no depende de cuáles sean. No interviene el axioma de elección.
Notación 12.3.3 — Multiplicación cociente
La única operación proporcionada por el Lema 12.3.2 se denotará por
\[ \star_N. \]
Cuando no haya riesgo de confusión podrá omitirse el subíndice en cálculos locales, pero el registro canónico conservará \(\star_N\).
12.4. El grupo cociente
Definición 12.4.1 — Estructura cociente
Sea \(N\trianglelefteq G\). Definimos la estructura cociente de
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
por \(N\) como
\[ \mathcal G/N := \langle G/N,\star_N\rangle. \]
En esta definición todavía no se presupone que la estructura sea un grupo; ésa será la conclusión del teorema siguiente.
Teorema 12.4.2 — El cociente por un subgrupo normal es un grupo
Sea \(N\trianglelefteq G\). Entonces
\[ \mathcal G/N = \langle G/N,\star_N\rangle \]
es un grupo.
Demostración
La clausura ya está incorporada en el tipo de la operación
\[ \star_N:(G/N)\times(G/N)\to G/N. \]
Asociatividad. Sean \(gN,hN,kN\in G/N\). Entonces
\[ \begin{aligned} \bigl((gN)\star_N(hN)\bigr)\star_N(kN) &=((g\star h)N)\star_N(kN)\\ &=((g\star h)\star k)N\\ &=(g\star(h\star k))N\\ &=(gN)\star_N((h\star k)N)\\ &=(gN)\star_N\bigl((hN)\star_N(kN)\bigr). \end{aligned} \]
Neutro. Sea \(e_{\mathcal G}\) el neutro de \(\mathcal G\). Como \(e_{\mathcal G}\in G\), la clase \(e_{\mathcal G}N\) pertenece a \(G/N\). Para todo \(gN\in G/N\),
\[ (e_{\mathcal G}N)\star_N(gN) =(e_{\mathcal G}\star g)N =gN, \]
y
\[ (gN)\star_N(e_{\mathcal G}N) =(g\star e_{\mathcal G})N =gN. \]
Por tanto \(e_{\mathcal G}N\) es neutro en el cociente.
Inversos. Para \(gN\in G/N\), consideremos \(g^{-1}N\in G/N\). Entonces
\[ (gN)\star_N(g^{-1}N) =(g\star g^{-1})N =e_{\mathcal G}N, \]
y
\[ (g^{-1}N)\star_N(gN) =(g^{-1}\star g)N =e_{\mathcal G}N. \]
Así cada elemento posee inverso bilateral.
Por la Definición 4.2.1, \(\mathcal G/N\) es un grupo. \(\square\)
En adelante, cuando \(N\trianglelefteq G\), llamaremos grupo cociente a \(\mathcal G/N\).
12.5. La proyección canónica algebraica
Definición 12.5.1 — Proyección canónica del grupo cociente
Sea \(N\trianglelefteq G\). Definimos
\[ q_N:G\to G/N, \qquad q_N(g):=gN. \]
Conjuntistamente, su grafo es
\[ \{\langle g,C\rangle\in G\times(G/N):C=gN\}, \]
que existe por Separación. Para cada \(g\in G\) existe una única salida, a saber \(gN\); por tanto el grafo determina una función \(G\to G/N\). La salida está bien tipada porque \(gN\) es precisamente una clase de la equivalencia \(\sim_N\), por la Proposición 12.1.3.
Esta construcción se realiza en Álgebra y no importa la proyección canónica general TA-DEF-00023.
Proposición 12.5.2 — La proyección es sobreyectiva, homomórfica y tiene núcleo \(N\)
Sea \(N\trianglelefteq G\). Entonces
\[ q_N:G\to G/N \]
es un homomorfismo sobreyectivo de grupos y
\[ \ker q_N=N. \]
Demostración
Homomorfismo. Para \(g,h\in G\),
\[ \begin{aligned} q_N(g\star h) &=(g\star h)N\\ &=(gN)\star_N(hN)\\ &=q_N(g)\star_N q_N(h). \end{aligned} \]
Por la Definición 7.4.1, \(q_N\) es un homomorfismo de grupos.
Sobreyectividad. Sea \(C\in G/N\). Por la definición del cociente y la Proposición 12.1.3, existe \(g\in G\) tal que
\[ C=gN=q_N(g). \]
Por tanto \(q_N\) es sobreyectiva.
Núcleo. El neutro del grupo cociente es
\[ e_{\mathcal G}N. \]
Además,
\[ e_{\mathcal G}N=N. \]
En efecto, \(x\in e_{\mathcal G}N\) si y sólo si existe \(n\in N\) con \(x=e_{\mathcal G}\star n=n\), lo cual equivale a \(x\in N\); por Extensionalidad ambos conjuntos son iguales.
Para \(g\in G\),
\[ \begin{aligned} g\in\ker q_N &\iff q_N(g)=e_{\mathcal G}N\\ &\iff gN=e_{\mathcal G}N\\ &\iff e_{\mathcal G}^{-1}\star g\in N\\ &\iff g\in N. \end{aligned} \]
Para la última equivalencia, \(e_{\mathcal G}\) es inverso de sí mismo porque \(e_{\mathcal G}\star e_{\mathcal G}=e_{\mathcal G}\); por la unicidad del inverso la Proposición 4.1.2, \(e_{\mathcal G}^{-1}=e_{\mathcal G}\). Luego \(e_{\mathcal G}^{-1}\star g=g\).
Por Extensionalidad,
\[ \ker q_N=N. \]
\(\square\)
12.6. Lectura estructural
El capítulo ha separado cuidadosamente cuatro niveles que a menudo se colapsan informalmente:
- una clase lateral \(gH\) es primero un subconjunto de \(G\);
- la igualdad de clases laterales induce una relación de equivalencia \(\sim_H\);
- el conjunto \(G/H\) es el conjunto de esas clases, exista o no una estructura de grupo sobre él;
- sólo cuando \(N\) es normal la multiplicación de representantes desciende a una operación binaria bien definida \(\star_N\) sobre \(G/N\).
Así, la normalidad puede leerse como una condición de congruencia algebraica para la multiplicación del grupo.
La proyección
\[ q_N:G\to G/N \]
resume el mecanismo:
\[ q_N(g\star h)=q_N(g)\star_Nq_N(h), \qquad \ker q_N=N, \qquad q_N\text{ es sobreyectiva}. \]
Esto deja preparada la formulación del primer teorema de isomorfía.
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