Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 31: Descenso y transporte de estructura
31.0. Propósito y posición deductiva
Los capítulos 29 y 30 establecieron las propiedades universales de los cocientes, los teoremas de isomorfía superiores y las correspondencias de subestructuras sobre cocientes. Este capítulo sistematiza el paso de un homomorfismo compatible con los subgrupos normales o ideales elegidos a un homomorfismo inducido entre sus cocientes.
El desarrollo comprende cuatro aspectos:
- descenso general de homomorfismos entre cocientes;
- compatibilidad del descenso con identidad y composición;
- criterios de inyectividad, sobreyectividad e isomorfía del morfismo inducido;
- transporte de subestructuras, normalidad e ideales bajo isomorfismos.
Los resultados se formulan en el lenguaje concreto de grupos y anillos del tratado. Los anillos y sus homomorfismos conservan la convención unital; los ideales son bilaterales.
El marco fundacional es ZF con lógica clásica. Las pruebas de este capítulo utilizan representantes y testigos sólo localmente, sin el axioma de elección. No presuponen decidibilidad de igualdad o pertenencia ni afirman algoritmos.
31.9. Descenso de homomorfismos de grupos entre cocientes
Teorema 31.9.1 — Descenso de homomorfismos de grupos entre cocientes
Sean \(f:G\to H\) un homomorfismo de grupos, \(N\trianglelefteq G\) y \(M\trianglelefteq H\). Si \(f(n)\in M\) para todo \(n\in N\), existe un único homomorfismo \[ \overline f:G/N\longrightarrow H/M \] tal que \[ \overline f\circ q_N=q_M\circ f. \] Está determinado por \(\overline f(gN)=f(g)M\) para cada \(g\in G\). Recíprocamente, la existencia de un homomorfismo con esa identidad implica \(f(n)\in M\) para todo \(n\in N\).
Demostración
Hipótesis y objetivo. Las normalidades permiten formar ambos cocientes y sus proyecciones; la compatibilidad \(f(N)\subseteq M\) se usa para anular \(N\) en el codominio cociente. Se busca existencia y unicidad con la identidad indicada.
Existencia. Las proyecciones son homomorfismos sobreyectivos por la Proposición 12.5.2. La composición de homomorfismos preserva las operaciones, luego \(u=q_M\circ f:G\to H/M\) es un homomorfismo. Si \(n\in N\), por hipótesis \(f(n)\in M=\ker q_M\), de donde \(u(n)=e_{H/M}\). Así \(N\subseteq\ker u\). El Teorema 29.29.1 proporciona un único homomorfismo \(\overline f:G/N\to H/M\) con \(\overline f\circ q_N=u\). Al evaluar en \(g\), \[ \overline f(gN)=\overline f(q_N(g))=u(g)=q_M(f(g))=f(g)M. \] La buena definición de esta regla está incluida en la propiedad universal: no se ha seleccionado un representante para cada clase.
Unicidad. Si \(v:G/N\to H/M\) es otro homomorfismo con \(v\circ q_N=u\), para cualquier clase \(C\in G/N\) la sobreyectividad de \(q_N\) proporciona localmente \(g\in G\) con \(C=q_N(g)\). Entonces \[ v(C)=v(q_N(g))=u(g)=\overline f(q_N(g))=\overline f(C). \] La extensionalidad funcional da \(v=\overline f\).
Necesidad. Si existe tal homomorfismo y \(n\in N\), entonces \(q_N(n)=e_{G/N}=q_N(e_G)\). Por la identidad conmutativa y \(f(e_G)=e_H\), \[ q_M(f(n))=\overline f(q_N(n)) =\overline f(q_N(e_G))=q_M(f(e_G))=q_M(e_H)=e_{H/M}. \] La preservación de neutro usada aquí forma parte de la infraestructura del homomorfismo de grupos heredada por el Teorema 29.29.1. Como \(\ker q_M=M\), se obtiene \(f(n)\in M\). Esto concluye ambas direcciones. \(\square\)
La existencia de representantes se utiliza sólo localmente. No hay elección de una sección de \(q_N\), no se presupone decidibilidad de igualdad o pertenencia y no se afirma un algoritmo.
31.11. Descenso de homomorfismos de anillos entre cocientes
Teorema 31.11.1 — Descenso de homomorfismos de anillos entre cocientes
Sean \(f:R\to S\) un homomorfismo de anillos unitarios e \(I\triangleleft R\), \(J\triangleleft S\) ideales bilaterales. La condición \(\forall i\in I,\ f(i)\in J\) equivale a la existencia de un único homomorfismo unital \[ \overline f:R/I\longrightarrow S/J,\qquad \overline f\circ q_I=q_J\circ f. \] En ese caso \(\overline f([r]_I)=[f(r)]_J\). Se admiten los ideales totales y el anillo cero conforme a la convención del tratado.
Demostración
Existencia y buena definición. Por la propiedad de las proyecciones, \(q_J\) es un homomorfismo unital y \(\ker q_J=J\). La composición \(u=q_J\circ f\) es por tanto un homomorfismo unital. Para \(i\in I\), la compatibilidad da \(f(i)\in J\), luego \(u(i)=0_{S/J}\). Así \(I\subseteq\ker u\). La propiedad universal del cociente de anillos, Teorema 29.32.1, produce el único homomorfismo \(\overline f\) con \(\overline f\circ q_I=u\). Al evaluar en \(r\), se obtiene \(\overline f([r]_I)=[f(r)]_J\). La propiedad universal garantiza independencia de representantes y preservación de suma, producto y unidad.
Unicidad explícita. Para \(C\in R/I\), la sobreyectividad de \(q_I\) permite tomar localmente \(r\) con \(C=q_I(r)\). Si \(v\circ q_I=u\), entonces \(v(C)=u(r)=\overline f(C)\). Extensionalidad funcional da \(v=\overline f\).
Necesidad. Si existe un homomorfismo con la identidad conmutativa, para \(i\in I\) tenemos \(q_I(i)=0_{R/I}\). La preservación del cero da \[ q_J(f(i))=\overline f(q_I(i))=\overline f(0_{R/I})=0_{S/J}. \] Luego \(f(i)\in\ker q_J=J\). La condición es necesaria y suficiente. \(\square\)
31.12. Identidad y composición del descenso de grupos
Proposición 31.12.1 — Identidad y composición del descenso de grupos
Si \(N\trianglelefteq G\), el descenso de \(\operatorname{id}_G\) respecto de \(N,N\) es \(\operatorname{id}_{G/N}\). Si \(f:G\to H\) y \(g:H\to K\) son homomorfismos y \(N\trianglelefteq G\), \(M\trianglelefteq H\), \(L\trianglelefteq K\) satisfacen \(f(n)\in M\) para \(n\in N\) y \(g(m)\in L\) para \(m\in M\), entonces \(g\circ f\) desciende respecto de \(N,L\) y \[ \overline{g\circ f}=\overline g\circ\overline f. \]
Demostración
Identidad. Para \(n\in N\), \(\operatorname{id}_G(n)=n\in N\), luego el Teorema 31.9.1 construye el descenso. Para \(C=q_N(x)\), obtenido mediante un representante local, \[ \overline{\operatorname{id}_G}(C)=q_N(\operatorname{id}_G(x))=q_N(x)=C. \] Extensionalidad da la identidad del cociente; ésta es un homomorfismo por la infraestructura de identidad.
Composición. Para \(n\in N\), \(f(n)\in M\) y luego \(g(f(n))\in L\). Por tanto existen los tres descensos del enunciado. La composición \(\overline g\circ\overline f\) es un homomorfismo. Para cada \(x\in G\), \[ (\overline g\circ\overline f)(q_N(x)) =\overline g(q_M(f(x)))=q_L(g(f(x))) =\overline{g\circ f}(q_N(x)). \] Cada \(C\in G/N\) tiene localmente esa forma, por la sobreyectividad de \(q_N\). Las dos funciones coinciden en cada entrada y Extensionalidad funcional da la igualdad. No se identifica ningún conjunto cociente con otro ni se seleccionan representantes globales. \(\square\)
31.13. Identidad y composición del descenso de anillos
Proposición 31.13.1 — Identidad y composición del descenso de anillos
El descenso de \(\operatorname{id}_R\) respecto de un ideal bilateral \(I\) es \(\operatorname{id}_{R/I}\). Para homomorfismos unitarios \(f:R\to S\), \(g:S\to T\) e ideales bilaterales \(I,J,K\) respectivos, si \(f(I)\subseteq J\), \(g(J)\subseteq K\), entonces \(\overline{g\circ f}=\overline g\circ\overline f\).
Demostración
Para \(i\in I\), \(\operatorname{id}_R(i)=i\in I\), luego existe el descenso. En cada clase \([r]_I\) toma el valor \([r]_I\) y la sobreyectividad de la proyección prueba que es la identidad.
Para \(i\in I\), \(f(i)\in J\) implica \(g(f(i))\in K\), de modo que también existe el descenso del compuesto. Las aplicaciones inducidas y su composición son homomorfismos unitarios. Para \(r\in R\), \[ (\overline g\circ\overline f)([r]_I)=\overline g([f(r)]_J) =[g(f(r))]_K=\overline{g\circ f}([r]_I). \] Cada clase posee localmente un representante por la sobreyectividad de \(q_I\). Las funciones coinciden en cada entrada; Extensionalidad funcional da la igualdad. \(\square\)
31.14. Núcleo y criterios del descenso de grupos
Teorema 31.14.1 — Núcleo y criterios del descenso de grupos
Bajo las hipótesis del Teorema 31.9.1, sea \(P=\{x\in G:f(x)\in M\}\). Entonces \(P\trianglelefteq G\), \(N\subseteq P\) y \[ \ker\overline f=P/N:=\{q_N(p):p\in P\}. \] Aquí \(P/N\) es el subgrupo imagen en \(G/N\), con operaciones restringidas. Además, \[ \overline f\text{ inyectiva}\iff P=N,\qquad \overline f\text{ sobreyectiva}\iff H=\operatorname{im}(f)M. \] El descenso es un isomorfismo exactamente cuando se cumplen ambas condiciones.
Demostración
Preimagen normal. \(P\) existe por Separación y contiene \(e_G\), pues \(f(e_G)=e_H\in M\). Si \(x,y\in P\), entonces \(f(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}\in M\); el criterio de subgrupo habitado prueba que \(P\) es subgrupo. Para \(g\in G\), \(p\in P\), la normalidad de \(M\) implica \(f(gpg^{-1})=f(g)f(p)f(g)^{-1}\in M\). Así \(P\) es normal. La compatibilidad inicial da \(N\subseteq P\); el teorema de correspondencia certifica el subgrupo imagen \(P/N\).
Núcleo. Para cualquier \(C\in G/N\), usemos localmente \(x\) con \(C=q_N(x)\). Entonces \(C\in\ker\overline f\) equivale a \(q_M(f(x))=e_{H/M}\), a \(f(x)\in M\), y a \(x\in P\). Esto implica \(C\in P/N\). A la inversa, si \(C=q_N(p)\) con \(p\in P\), su imagen es \(q_M(f(p))=e_{H/M}\). Las dos inclusiones dan la igualdad.
Inyectividad. Si el descenso es inyectivo y \(x\in P\), sus valores en \(q_N(x)\) y \(q_N(e_G)\) coinciden. Por inyectividad, \(q_N(x)=q_N(e_G)\), de donde \(x\in\ker q_N=N\). Con \(N\subseteq P\) resulta \(P=N\). Si \(P=N\), la fórmula del núcleo da \(\ker\overline f=N/N=\{e_{G/N}\}\), porque todos los elementos de \(N\) se proyectan al neutro y éste aparece como \(q_N(e_G)\). El criterio de núcleo trivial prueba inyectividad.
Sobreyectividad. Si el descenso es sobreyectivo, para \(h\in H\) existe localmente \(C\) con \(\overline f(C)=q_M(h)\) y luego \(x\) con \(C=q_N(x)\). Entonces \(q_M(f(x))=q_M(h)\) y \[ q_M(f(x)^{-1}h)=q_M(f(x))^{-1}q_M(h)=e_{H/M}. \] Así \(m=f(x)^{-1}h\in M\) y \(h=f(x)m\in\operatorname{im}(f)M\). La inclusión de ese producto en \(H\) se sigue del cierre de la operación, luego \(H=\operatorname{im}(f)M\).
Si vale esa igualdad, para cada clase \(q_M(h)\) existe localmente una descomposición \(h=f(x)m\), \(m\in M\). Entonces \(q_M(h)=q_M(f(x))q_M(m)=q_M(f(x))=\overline f(q_N(x))\). Cada clase tiene preimagen, y el descenso es sobreyectivo. La combinación de ambos criterios equivale a homomorfismo biyectivo, es decir, isomorfismo. \(\square\)
31.15. Núcleo y criterios del descenso de anillos
Teorema 31.15.1 — Núcleo y criterios del descenso de anillos
Bajo las hipótesis del Teorema 31.11.1, sea \(P=\{r\in R:f(r)\in J\}\). Entonces \(P\) es ideal bilateral de \(R\), \(I\subseteq P\) y \[ \ker\overline f=P/I:=\{q_I(p):p\in P\}. \] La notación \(P/I\) designa un ideal imagen en \(R/I\), sin considerar \(P\) como subanillo unital. Además, \[ \overline f\text{ inyectiva}\iff P=I,\qquad \overline f\text{ sobreyectiva}\iff S=\operatorname{im}(f)+J. \] El descenso es isomorfismo exactamente cuando valen ambas condiciones.
Demostración
Ideal preimagen. \(P\) existe por Separación y contiene \(0_R\), pues \(f(0_R)=0_S\in J\). Si \(a,b\in P\), \(f(a-b)=f(a)-f(b)\in J\), luego \(a-b\in P\). Para \(r\in R\), \(a\in P\), \[ f(ra)=f(r)f(a)\in J,\qquad f(ar)=f(a)f(r)\in J. \] Las dos absorciones usan la bilateralidad de \(J\). Así \(P\) es ideal bilateral. La condición de descenso da \(I\subseteq P\); la correspondencia de ideales certifica \(P/I\) como ideal de \(R/I\).
Núcleo. Si \(C=q_I(r)\), la fórmula del descenso da \[ C\in\ker\overline f\iff q_J(f(r))=0_{S/J} \iff f(r)\in J\iff r\in P. \] Toda clase tiene localmente un representante. Si \(C\) está en el núcleo, la equivalencia lo sitúa en \(P/I\); si \(C=q_I(p)\) con \(p\in P\), su imagen es cero. Extensionalidad da la igualdad.
Inyectividad. Si el descenso es inyectivo y \(r\in P\), \(\overline f(q_I(r))=0=\overline f(q_I(0_R))\) implica \(q_I(r)=0\), luego \(r\in I\). Con \(I\subseteq P\), resulta \(P=I\). A la inversa, supongamos \(P=I\) y \(\overline f(C)=\overline f(D)\). Tomemos localmente representantes \(r,s\) de \(C,D\). Por aditividad, \[ q_J(f(r-s))=\overline f(q_I(r)-q_I(s))=0. \] Así \(r-s\in P=I\), de donde \(q_I(r-s)=0\) y \(C-D=0\). En el grupo aditivo esto implica \(C=D\), que prueba inyectividad.
Sobreyectividad. La imagen de \(f\) es un subanillo unital por la Proposición 17.3.1, por lo que su suma con \(J\) está definida. Si el descenso es sobreyectivo, para \(s\in S\) existen localmente una clase \(C\) y un representante \(r\) con \(\overline f(C)=q_J(s)\) y \(C=q_I(r)\). Entonces \(q_J(s-f(r))=0\), luego \(j=s-f(r)\in J\). Así \(s=f(r)+j\) pertenece a \(\operatorname{im}(f)+J\). La otra inclusión en \(S\) usa cierre aditivo, y queda probada la igualdad.
Si esa igualdad vale, para \(q_J(s)\) tomemos localmente \(s=f(r)+j\), \(j\in J\). Entonces \[ q_J(s)=q_J(f(r))+q_J(j)=q_J(f(r)) =\overline f(q_I(r)). \] Cada clase tiene preimagen; el descenso es sobreyectivo. Un homomorfismo unital biyectivo es un isomorfismo, lo que concluye el criterio conjunto. \(\square\)
31.16. Transporte de subgrupos y normalidad bajo isomorfismos
Teorema 31.16.1 — Transporte de subgrupos y normalidad bajo isomorfismos
Sea \(\varphi:G\to H\) un isomorfismo de grupos. Para \(A\subseteq G\) y \(B\subseteq H\) definimos localmente \[ \varphi[A]=\{h\in H:\exists a\in A,\ h=\varphi(a)\},\qquad \varphi^{-1}[B]=\{g\in G:\varphi(g)\in B\}. \] Entonces \(A\) es subgrupo de \(G\) si y sólo si \(\varphi[A]\) es subgrupo de \(H\); \(A\) es normal en \(G\) si y sólo si \(\varphi[A]\) es normal en \(H\). Imagen y preimagen dan biyecciones mutuamente inversas entre las familias de subgrupos, y entre las de subgrupos normales. Preservan y reflejan inclusión. La restricción \(\varphi|_A:A\to\varphi[A]\) es un isomorfismo cuando \(A\) es subgrupo.
Demostración
Existencia e inversión. Las imágenes y preimágenes son subconjuntos por Separación; las familias de subgrupos son conjuntos por Potencia y Separación. La inversa funcional \(\psi:H\to G\) de \(\varphi\) existe y es homomorfismo por la infraestructura de isomorfismos. Para cualquier \(A\subseteq G\), \(g\in\varphi^{-1}[\varphi[A]]\) implica \(\varphi(g)=\varphi(a)\) para algún \(a\in A\). Inyectividad da \(g=a\in A\). Si \(g\in A\), su imagen pertenece a \(\varphi[A]\), por lo que se obtiene la igualdad inversa. Para cualquier \(B\subseteq H\), \(\varphi[\varphi^{-1}[B]]\subseteq B\) por definición; si \(b\in B\), la sobreyectividad proporciona \(g\) con \(\varphi(g)=b\), y \(g\in\varphi^{-1}[B]\). Queda probada la otra igualdad. La preimagen también es \(\psi[B]\), usando \(\varphi\psi=\operatorname{id}_H\) y \(\psi\varphi=\operatorname{id}_G\).
Subgrupos. Si \(A\) es subgrupo, \(\varphi(e_G)=e_H\) pertenece a \(\varphi[A]\). Para \(u=\varphi(a)\), \(v=\varphi(b)\) con \(a,b\in A\), \[ uv^{-1}=\varphi(a)\varphi(b^{-1})=\varphi(ab^{-1})\in\varphi[A]. \] El criterio de subgrupo habitado certifica \(\varphi[A]\). Si \(\varphi[A]\) es subgrupo, la misma verificación aplicada al homomorfismo \(\psi\) da que \(\psi[\varphi[A]]=A\) es subgrupo: contiene \(\psi(e_H)=e_G\), y la diferencia multiplicativa de dos imágenes es la imagen de la diferencia multiplicativa de sus preimágenes. Así se prueba la reflexión sin presuponerla.
Normalidad. Si \(A\trianglelefteq G\), para \(h\in H\), \(u=\varphi(a)\in\varphi[A]\) tomemos localmente \(g\) con \(\varphi(g)=h\). Entonces \[ huh^{-1}=\varphi(gag^{-1})\in\varphi[A], \] porque \(gag^{-1}\in A\). Así la imagen es normal. Recíprocamente, supongamos \(\varphi[A]\trianglelefteq H\). Para \(g\in G\), \(a\in A\), la normalidad da \[ \varphi(gag^{-1})=\varphi(g)\varphi(a)\varphi(g)^{-1}\in\varphi[A]. \] La identidad de saturación ya probada implica \(gag^{-1}\in A\), y \(A\) es normal.
Biyecciones e inclusión. Las asignaciones restringidas a las familias indicadas están bien tipadas por los pasos anteriores. Sus grafos existen por Separación en los productos de esas familias; las dos identidades de inversión prueban que son mutuamente inversas. Si \(A_1\subseteq A_2\), todo testigo de pertenencia a \(\varphi[A_1]\) sirve para \(\varphi[A_2]\). Si \(\varphi[A_1]\subseteq\varphi[A_2]\) y \(a\in A_1\), la saturación de \(A_2\) implica \(a\in A_2\). Así se preserva y refleja la inclusión.
Finalmente, la restricción conserva la operación porque \(\varphi\) la conserva, es inyectiva por restricción y sobreyectiva sobre su imagen por definición. Es un isomorfismo entre las estructuras restringidas. \(\square\)
31.17. Transporte de subanillos unitarios e ideales bilaterales
Teorema 31.17.1 — Transporte de subanillos unitarios e ideales bilaterales
Sea \(\varphi:R\to S\) un isomorfismo de anillos unitarios. Las asignaciones \[ A\longmapsto\varphi[A]=\{s\in S:\exists a\in A,\ s=\varphi(a)\}, \qquad B\longmapsto\varphi^{-1}[B]=\{r\in R:\varphi(r)\in B\} \] son mutuamente inversas en los subconjuntos y restringen a biyecciones entre los subanillos unitarios de \(R,S\), y entre sus ideales bilaterales. En cada familia se preserva y refleja la inclusión. La restricción a un subanillo es un isomorfismo unital sobre su imagen. Un ideal se transporta como ideal; no se afirma que sea subanillo unital.
Demostración
Subconjuntos. Las asignaciones y las familias existen por Separación y Potencia. Si \(r\in\varphi^{-1}[\varphi[A]]\), hay \(a\in A\) con \(\varphi(r)=\varphi(a)\); inyectividad da \(r=a\). La otra inclusión es inmediata por el testigo \(a=r\). Si \(s\in\varphi[\varphi^{-1}[B]]\), su representante \(r\) satisface \(\varphi(r)\in B\), de donde \(s\in B\). Para \(s\in B\), la sobreyectividad da localmente \(r\) con \(\varphi(r)=s\), luego \(s\) está en aquella imagen. Así ambas composiciones son identidades. La inversa \(\psi:S\to R\) es homomorfismo unital y \(\varphi^{-1}[B]=\psi[B]\).
Subanillos. Si \(A\) es subanillo unital, \(1_S=\varphi(1_R)\in\varphi[A]\). Si \(u=\varphi(a)\), \(v=\varphi(b)\), con \(a,b\in A\), entonces \[ u-v=\varphi(a-b)\in\varphi[A],\qquad uv=\varphi(ab)\in\varphi[A]. \] El criterio de subanillo unital certifica la imagen. Aplicando el mismo criterio explícitamente a \(\psi\), para un subanillo \(B\) su imagen contiene \(\psi(1_S)=1_R\), contiene \(\psi(b)-\psi(c)=\psi(b-c)\) y \(\psi(b)\psi(c)=\psi(bc)\) para \(b,c\in B\); por tanto la preimagen es subanillo. Las identidades de inversión prueban la reflexión.
Ideales. Si \(A\) es ideal bilateral, la imagen contiene \(\varphi(0_R)=0_S\) y está cerrada por diferencias. Para \(s\in S\), \(u=\varphi(a)\) con \(a\in A\), tomemos localmente \(r\in R\) con \(\varphi(r)=s\). Entonces \[ su=\varphi(ra)\in\varphi[A],\qquad us=\varphi(ar)\in\varphi[A]. \] Así la imagen es ideal bilateral. Si \(B\) es ideal de \(S\), su preimagen contiene \(0_R\); para \(a,b\) en la preimagen, \(\varphi(a-b)=\varphi(a)-\varphi(b)\in B\). Para \(r\in R\), \(a\) en la preimagen, \[ \varphi(ra)=\varphi(r)\varphi(a)\in B,\qquad \varphi(ar)=\varphi(a)\varphi(r)\in B. \] La preimagen es ideal bilateral. Usando la saturación de subconjuntos, esto también refleja la idealidad de \(A\) a partir de la de su imagen.
Inclusión y restricciones. Si \(A_1\subseteq A_2\), todo representante de un elemento de \(\varphi[A_1]\) pertenece a \(A_2\), luego las imágenes están incluidas. Si las imágenes están incluidas, para \(a\in A_1\) tenemos \(\varphi(a)\in\varphi[A_2]\), y la identidad de saturación implica \(a\in A_2\). Las dos asignaciones son funciones en las familias indicadas y sus identidades de inversión prueban las biyecciones.
Para un subanillo \(A\), la restricción es inyectiva y sobreyectiva sobre la imagen; conserva suma, producto y la unidad común porque \(\varphi\) los conserva. Es por tanto isomorfismo unital. En el caso ideal, sólo se utilizan cierre aditivo y absorciones; no se presupone \(1_R\in A\). \(\square\)
31.18. Síntesis estructural
El descenso exige compatibilidad con las relaciones que definen las clases. La propiedad universal construye el morfismo y garantiza buena definición y unicidad. Identidad y composición se conservan porque sus valores coinciden sobre las proyecciones sobreyectivas. La inyectividad mide la ausencia de nuevas identificaciones; la sobreyectividad mide si cada clase del codominio posee un representante procedente de la imagen. El transporte bajo isomorfismos conserva las subestructuras y permite recuperarlas mediante la inversa.
La Parte VII utiliza a continuación los grupos aditivos y los principios funcionales y de cocientes como base de la construcción de espacios vectoriales. Cada nuevo objeto requiere definir la acción escalar y comprobar su buena definición.
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