Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 37: Cocientes y dualidad elemental
37.0. Propósito y posición deductiva
El cociente aditivo ya existe. La tarea nueva es demostrar que la acción escalar desciende y, después, añadir factorización lineal e isomorfía.
El dual algebraico reúne las aplicaciones lineales al cuerpo \(F\) y permite construir el mapa dual y la evaluación canónica. La base dual, la biyectividad de la evaluación y la recuperación por aniquiladores se prueban en dimensión finita. Se mantiene la distinción entre \(V\) y \(V^{**}\).
El marco fundacional es ZF con lógica clásica. Los representantes de clases y las bases finitas se utilizan como testigos locales. La acción escalar se define después de probar independencia de representantes; la estructura del dual se certifica después de construir su conjunto. Ninguna demostración invoca Zorn.
37.1. Cociente aditivo de un espacio por un subespacio
Definición 37.1.1 — Cociente aditivo de un espacio por un subespacio
Para \(U\le V\), el grupo aditivo de \(U\) es subgrupo normal del grupo abeliano de \(V\). El conjunto cociente aditivo \(V/U\) y su proyección \(q_U:V\to V/U\) están disponibles por la construcción de cocientes de grupos. Escribimos \([v]_U=v+U\), con \[ [v]_U=[w]_U\iff v-w\in U,\qquad [v]_U+[w]_U=[v+w]_U. \] La regla candidata para escalares será \(a[v]_U=[av]_U\). Todavía no se utiliza como una función sobre clases: la siguiente proposición probará su independencia de representantes y certificará la estructura vectorial. El conjunto y la suma preceden así a la acción escalar.
37.2. Estructura vectorial del cociente y proyección lineal
Proposición 37.2.1 — Estructura vectorial del cociente y proyección lineal
La regla \(a[v]_U=[av]_U\) está bien definida y hace de \(V/U\) un espacio vectorial sobre \(F\). La proyección \(q_U(v)=[v]_U\) es lineal y sobreyectiva, con \(\ker q_U=U\). Se incluyen \(U=0\) y \(U=V\).
Demostración
Si \([v]_U=[v']_U\), el criterio de clases aditivas da \(v-v'\in U\). Por cierre escalar de \(U\), \(a(v-v')\in U\). Las identidades vectoriales dan \(av-av'=a(v-v')\), luego \([av]_U=[av']_U\). Cada entrada \((a,C)\) posee un representante local de \(C\) y un valor único; Separación en \((F\times V/U)\times V/U\) produce el grafo de la acción, sin una sección elegida de la proyección.
El grupo aditivo cociente ya existe. Es abeliano porque \[ [v]_U+[w]_U=[v+w]_U=[w+v]_U=[w]_U+[v]_U. \] Las cuatro leyes escalares se verifican sobre representantes: \[ \begin{aligned} a([v]_U+[w]_U)&=[a(v+w)]_U=[av+aw]_U=a[v]_U+a[w]_U,\\ (a+b)[v]_U&=[(a+b)v]_U=[av+bv]_U=a[v]_U+b[v]_U,\\ (ab)[v]_U&=[(ab)v]_U=[a(bv)]_U=a(b[v]_U),\\ 1_F[v]_U&=[v]_U. \end{aligned} \] Como toda clase tiene un representante local y la acción es bien definida, estas son leyes en todo el cociente.
La proyección conserva suma por la estructura de grupo cociente y conserva escalares porque \(q_U(av)=[av]_U=a[v]_U=a q_U(v)\). Su sobreyectividad y núcleo \(U\) ya estaban probados para la proyección aditiva y permanecen iguales al añadir la acción escalar.
Si \(U=V\), todas las clases coinciden con la clase cero y se obtiene el espacio cero. Si \(U=0\), de \(q_U(v)=q_U(w)\) se obtiene \(v-w\in\{0\}\) y por tanto \(v=w\). La proyección es así inyectiva, además de lineal y sobreyectiva, y es un isomorfismo vectorial por definición. Esta conclusión es isomorfía, sin identificación literal del conjunto de clases con \(V\). \(\square\)
37.3. Factorización, isomorfía y dimensión del cociente
Teorema 37.3.1 — Factorización, isomorfía y dimensión del cociente
Para \(U\le V\) y \(T:V\to W\) lineal, \(U\subseteq\ker T\) equivale a la existencia de una única aplicación lineal \[ \overline T:V/U\to W,\qquad \overline T\circ q_U=T. \] Está dada por \(\overline T([v]_U)=T(v)\). En particular, \[ V/\ker T\cong\operatorname{im}T. \] Si \(V\) es de dimensión finita, también lo es \(V/U\) y \[ \dim U+\dim(V/U)=\dim V. \] Si \(T(U)\subseteq Z\le W\), existe el descenso lineal \(V/U\to W/Z\) dado por \([v]_U\mapsto[T(v)]_Z\).
Demostración
Si \(U\subseteq\ker T\) y \([v]_U=[w]_U\), \(v-w\in U\) implica \(T(v)-T(w)=T(v-w)=0\). Por tanto \(T(v)=T(w)\) y la regla sobre clases tiene valor único. Su grafo existe por Separación y cada clase posee localmente un representante. Preserva suma porque \(T(v+w)=T(v)+T(w)\) y preserva escalares porque \(T(av)=aT(v)\); ambas operaciones cociente ya están bien definidas. Así produce una aplicación lineal con la identidad conmutativa. Si otra aplicación \(S\) la satisface, sobre cada clase \([v]_U\) vale \(S([v]_U)=T(v)\); la sobreyectividad de \(q_U\) y Extensionalidad dan unicidad.
Recíprocamente, para \(u\in U\), \(q_U(u)=0\), luego \(T(u)=\overline T(0)=0\) por preservación del cero. Así \(U\subseteq\ker T\).
Para la isomorfía, tomemos \(U=\ker T\) y codominio \(\operatorname{im}T\) con operaciones restringidas. La aplicación inducida es sobreyectiva por la definición de imagen. Si sus valores en \([v]\) y \([w]\) coinciden, \(T(v-w)=0\) implica \(v-w\in\ker T\), y las clases coinciden. Es por tanto un homomorfismo lineal biyectivo, es decir, un isomorfismo vectorial.
Para dimensión, sea \((u_i)_{i<r}\) una base de \(U\) y extendámosla a una base \((u_i,v_j)\) de \(V\), con \(s\) vectores adicionales. Las clases \([v_j]_U\) generan el cociente, porque para una expresión de \(x\) en esa base los términos de \(U\) se proyectan a cero. Si \(\sum_j a_j[v_j]_U=0\), entonces \(\sum_j a_jv_j\in U\). Expresándolo en la base de \(U\) se obtiene una relación en la base completa de \(V\); independencia fuerza todos los \(a_j\) a cero. Las clases forman base del cociente, luego su dimensión es \(s\) y la de \(V\) es \(r+s\). Esto prueba la fórmula, incluyendo las listas vacías.
Finalmente, si \(T(U)\subseteq Z\), el compuesto \(q_Z\circ T\) es lineal. Para \(u\in U\), su valor es \([T(u)]_Z=0\), luego \(U\) está en su núcleo. La factorización ya probada produce el descenso lineal anunciado y su fórmula al evaluar representantes. \(\square\)
37.4. Espacio de aplicaciones lineales y dual algebraico
Definición 37.4.1 — Espacio de aplicaciones lineales y dual algebraico
Definimos \[ \mathcal L_F(V,W)=\{T:V\to W:T\text{ lineal}\}, \qquad V^*=\mathcal L_F(V,F). \] El cuerpo \(F\) se considera como espacio vectorial sobre sí mismo, ya construido. Los conjuntos de funciones existen por Potencia y Separación y la condición lineal selecciona subconjuntos de ellos.
Para las funciones lineales proponemos las operaciones puntuales \((S+T)(v)=S(v)+T(v)\) y \((aT)(v)=aT(v)\). La siguiente proposición probará que permanecen en \(\mathcal L_F(V,W)\) y certificará su estructura vectorial. El dual es algebraico: su definición incluye todas las funciones lineales al cuerpo y no contiene una condición de continuidad.
37.5. Estructura del dual, mapa dual y evaluación
Proposición 37.5.1 — Estructura del dual, mapa dual y evaluación
\(\mathcal L_F(V,W)\) es espacio vectorial con operaciones puntuales; en particular \(V^*\) lo es. Para \(T:V\to W\) lineal, la función \[ T^*:W^*\to V^*,\qquad T^*(\ell)=\ell\circ T \] es lineal. Se cumple \((S\circ T)^*=T^*\circ S^*\) e \(\operatorname{id}_V^*=\operatorname{id}_{V^*}\) con los dominios adecuados. El doble dual \(V^{**}=(V^*)^*\) existe, y \[ J_V:V\to V^{**},\qquad J_V(v)(\ell)=\ell(v) \] es una aplicación lineal canónica. Todavía no se afirma su biyectividad.
Demostración
La función cero es lineal y pertenece a \(\mathcal L_F(V,W)\). Para \(A,B\) lineales, \[ (A+B)(u+v)=A(u)+A(v)+B(u)+B(v) =(A+B)(u)+(A+B)(v) \] por conmutatividad aditiva, y \((A+B)(au)=aA(u)+aB(u)=a(A+B)(u)\). Para \(\lambda\in F\), \((\lambda A)(u+v)=\lambda A(u)+\lambda A(v)\); además \[ (\lambda A)(au)=\lambda aA(u)=a\lambda A(u)=a(\lambda A)(u). \] El paso central usa conmutatividad del cuerpo. Así las operaciones puntuales están cerradas en el conjunto.
Los grafos de esas operaciones existen por Separación y determinación única de cada valor. La asociatividad, conmutatividad, cero y opuestos del grupo se verifican en cada \(v\) mediante las leyes del grupo aditivo de \(W\). Las cuatro leyes escalares se verifican asimismo punto a punto: \((a+b)A(v)=aA(v)+bA(v)\), \(a(A(v)+B(v))=aA(v)+aB(v)\), \((ab)A(v)=a(bA(v))\) y \(1_FA(v)=A(v)\). Extensionalidad funcional prueba la estructura vectorial.
La composición \(\ell\circ T\) es lineal por la composición ya cerrada, por lo que \(T^*\) está bien tipada. Evaluando en \(v\), \[ T^*(\ell_1+\ell_2)(v)=\ell_1(Tv)+\ell_2(Tv),\qquad T^*(a\ell)(v)=a\ell(Tv). \] Son exactamente los valores de \(T^*\ell_1+T^*\ell_2\) y \(aT^*\ell\). Así \(T^*\) es lineal. Si \(S:W\to X\) es lineal y \(\eta\in X^*\), \[ (S\circ T)^*(\eta)(v)=\eta(S(T(v)))=(T^*(S^*(\eta)))(v). \] Extensionalidad primero en \(v\) y luego en \(\eta\) da la identidad de composición. La identidad dual se prueba por \(\ell\circ\operatorname{id}_V=\ell\).
Como \(V^*\) ya está certificado vectorialmente, la definición del dual se aplica a él y produce \(V^{**}\). Para \(v\in V\), la función \(\ell\mapsto\ell(v)\) es lineal por las operaciones puntuales del dual, luego pertenece a \(V^{**}\). Su grafo y el de \(J_V\) existen por Separación; el valor es único para cada entrada. Finalmente, para cualquier \(\ell\in V^*\), \[ J_V(u+v)(\ell)=\ell(u)+\ell(v),\qquad J_V(au)(\ell)=a\ell(u). \] Estas igualdades prueban linealidad de \(J_V\). La construcción es canónica y no presupone que los funcionales separen puntos en espacios arbitrarios. \(\square\)
37.6. Base dual y evaluación en dimensión finita
Teorema 37.6.1 — Base dual y evaluación en dimensión finita
Sea \((v_i)_{i<n}\) una lista base de \(V\). Existen únicos funcionales \(\ell_i\in V^*\) con \(\ell_i(v_j)=1_F\) si \(i=j\) y cero si \(i\ne j\). Constituyen una lista base dual y \[ v=\sum_{i<n}\ell_i(v)v_i,\qquad \ell=\sum_{i<n}\ell(v_i)\ell_i. \] Por tanto \(\dim V^*=\dim V\). Si \(V\) es de dimensión finita, la evaluación canónica \(J_V:V\to V^{**}\) es un isomorfismo. Es una isomorfía canónica, no igualdad literal de conjuntos.
Demostración
El teorema de especificación por una base produce cada \(\ell_i\) y su unicidad a partir de los valores indicados. Para \(v=\sum_ja_jv_j\), la preservación de combinaciones da \(\ell_i(v)=a_i\), por lo que la primera fórmula reproduce la representación de \(v\).
Para independencia de los \(\ell_i\), si \(\sum_i b_i\ell_i=0\), evaluar en \(v_j\) da \(b_j=0\) para cada \(j\). Para generación del dual, fijemos \(\ell\in V^*\) y consideremos \(L=\sum_i\ell(v_i)\ell_i\). En cada vector de base, \(L(v_j)=\ell(v_j)\). Por unicidad del mapa lineal con valores dados en la base, \(L=\ell\). Así la lista dual es base de longitud \(n\) y la dimensión es la misma.
La evaluación \(J_V\) es lineal por la proposición anterior. Si \(J_V(v)=0\), entonces \(\ell_i(v)=J_V(v)(\ell_i)=0\) para todos los índices. La primera fórmula da \(v=0\), y el criterio de núcleo trivial prueba inyectividad.
Para sobreyectividad, sea \(\Lambda\in V^{**}\) y definamos explícitamente \[ v_\Lambda=\sum_{i<n}\Lambda(\ell_i)v_i. \] Para cualquier \(\ell\in V^*\), \[ \begin{aligned} J_V(v_\Lambda)(\ell) &=\ell(v_\Lambda) =\sum_i\Lambda(\ell_i)\ell(v_i)\\ &=\sum_i\ell(v_i)\Lambda(\ell_i) =\Lambda\left(\sum_i\ell(v_i)\ell_i\right) =\Lambda(\ell). \end{aligned} \] Se usó conmutatividad del cuerpo en el intercambio de los coeficientes y linealidad de \(\Lambda\) en la penúltima igualdad. Extensionalidad funcional da \(J_V(v_\Lambda)=\Lambda\). Así \(J_V\) es sobreyectiva y, junto con inyectividad, isomorfismo.
Si \(n=0\), \(V\) es cero, el único funcional es la función cero, y los spans vacíos son los espacios cero tanto del dual como del doble dual; las dos fórmulas son sumas vacías y la evaluación sigue siendo isomorfismo. La existencia local de una base finita utiliza la teoría finita ya cerrada, sin Zorn. \(\square\)
37.7. Aniquiladores, dual del cociente y recuperación finita
Proposición 37.7.1 — Aniquiladores, dual del cociente y recuperación finita
Para \(U\le V\), definimos su aniquilador \[ U^0=\{\ell\in V^*:\forall u\in U,\ \ell(u)=0_F\}. \] Es subespacio y el mapa \(\ell\mapsto\ell\circ q_U\) identifica mediante isomorfismo \((V/U)^*\) con \(U^0\).
Si \(V\) es de dimensión finita, \[ \dim U+\dim U^0=\dim V,\qquad U=\{v\in V:\forall\ell\in U^0,\ \ell(v)=0_F\}. \] La última igualdad se formula en \(V\); la relación con el doble dual se interpreta mediante \(J_V\), sin identificación literal.
Demostración
El aniquilador existe por Separación en \(V^*\). Contiene el funcional cero; si \(\alpha,\beta\) se anulan en \(U\), también \((\alpha+\beta)(u)=0+0=0\) y \((a\alpha)(u)=a0=0\). El criterio de subespacio lo certifica.
Para \(\ell\in(V/U)^*\), la composición \(\ell\circ q_U\) se anula en \(U\), porque \(q_U(u)=0\) y \(\ell(0)=0\). El mapa de composición es lineal por la proposición de mapa dual, ahora con codominio restringido al aniquilador. Es inyectivo: si \(\ell_1\circ q_U=\ell_2\circ q_U\), para una clase \(C\) tomemos localmente \(v\) con \(C=q_U(v)\); entonces \(\ell_1(C)=\ell_2(C)\). Extensionalidad da igualdad de funcionales. Es sobreyectivo: para \(\alpha\in U^0\), la factorización lineal del cociente produce el único funcional \(\ell:V/U\to F\) con \(\ell\circ q_U=\alpha\). Así es isomorfismo.
Si \(V\) es de dimensión finita, el cociente también es de dimensión finita. La igualdad dimensional del dual y la invariancia bajo isomorfismos dan \(\dim U^0=\dim(V/U)\). La fórmula de dimensión del cociente concluye \(\dim U+\dim U^0=\dim V\).
Para recuperación, una inclusión sigue de la definición: todo \(u\in U\) es anulado por cada miembro de \(U^0\). A la inversa, fijemos una base finita de \(U\) y extendámosla a una base de \(V\) con vectores adicionales \(w_0,\ldots,w_{s-1}\). Los funcionales de la base dual correspondientes a estos vectores adicionales se anulan en todos los vectores de la base de \(U\) y, por linealidad, en todo \(U\); pertenecen a \(U^0\). Si \(v\) es anulado por todos los miembros de \(U^0\), sus coeficientes en los \(w_j\) son cero, por la fórmula de coordenadas de la base dual. Su expresión en la base completa sólo contiene vectores de \(U\), luego \(v\in U\). Esto prueba la inclusión recíproca.
Cuando \(U=0\) o \(U=V\), los bloques de base correspondientes pueden ser vacíos; la argumentación cubre esos casos y el espacio cero. No se afirma recuperación para un espacio arbitrario sin hipótesis adicionales que garanticen suficientes funcionales. \(\square\)
37.99. Síntesis
El cociente vectorial reutiliza el cociente aditivo y añade una acción escalar bien definida. Su propiedad universal produce factorizaciones lineales e isomorfías. La dualidad algebraica se construyó como conjunto de mapas lineales, y su evaluación se certificó canónicamente. Los resultados dimensionales y de recuperación por aniquiladores permanecen explícitamente finitos. La parte de álgebra multilineal puede utilizar mapas lineales, espacios libres y cocientes sin nuevas hipótesis de elección.
← Capítulo 36 — Aplicaciones lineales · Capítulo 38 — Aplicaciones bilineales → · Tratado moderno de Álgebra