Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 38: Aplicaciones bilineales
38.0. Propósito y posición deductiva
La bilinealidad exige linealidad en cada entrada por separado. El objetivo es controlar combinaciones en ambas variables, construir ejemplos y demostrar que los valores sobre parejas de vectores de bases dadas determinan toda la aplicación. No se usa bilineal como sinónimo de lineal en el producto.
El marco fundacional es ZF. La lógica clásica se declara al comparar índices de soportes finitos; no se presupone igualdad decidible. Las coordenadas únicas y las sumas finitas permiten construir la aplicación a partir de dos bases dadas, que pueden ser infinitas. No se invoca Zorn ni se afirma la existencia de bases arbitrarias.
38.1. Aplicación y forma bilineales
Definición 38.1.1 — Aplicación y forma bilineales
Para espacios \(U,V,W\) sobre el mismo cuerpo \(F\), una función \(\beta:U\times V\to W\) es bilineal si, para cada \(v\), \(u\mapsto\beta(u,v)\) es lineal y, para cada \(u\), \(v\mapsto\beta(u,v)\) es lineal. Es decir, conserva suma y acción escalar en cada variable mientras la otra permanece fija. Si \(W=F\), se llama forma bilineal.
Escribimos \(\operatorname{Bil}_F(U,V;W)\) para el conjunto de tales funciones, existente por Separación en el conjunto de funciones \(U\times V\to W\). La linealidad conjunta sobre el espacio producto no forma parte de la definición. La forma cero es bilineal porque sus dos restricciones son funciones lineales cero.
38.2. Operaciones, expansión finita y ejemplos bilineales
Proposición 38.2.1 — Operaciones, expansión finita y ejemplos bilineales
Sean \(U,V,W\) espacios sobre el mismo cuerpo conmutativo \(F\). Si \(\beta:U\times V\to W\) es bilineal, entonces \[ \beta(0,v)=\beta(u,0)=0,\qquad \beta(-u,v)=\beta(u,-v)=-\beta(u,v), \] y para combinaciones finitas, incluidas las vacías, \[ \beta\!\left(\sum_i a_i u_i,\sum_j b_j v_j\right) =\sum_i\sum_j a_i b_j\,\beta(u_i,v_j). \] El conjunto \(\operatorname{Bil}_F(U,V;W)\), con suma y multiplicación escalar puntuales, es un espacio vectorial. Son bilineales la multiplicación \(F\times F\to F\), la pareja coordenada \((x,y)\mapsto\sum_{i<n}x_i y_i\) sobre \(F^n\), y la evaluación \((T,v)\mapsto T(v)\) sobre \(\mathcal L_F(V,W)\times V\).
Demostración
Con una variable fijada, las identidades de cero, opuesto y sumas finitas son las de una aplicación lineal. Aplicarlas primero a la primera variable y luego a la segunda da la expansión; la conmutatividad del cuerpo permite escribir \(a_i b_j\). Si un índice es vacío, la suma es cero y la identidad sigue siendo válida.
Para \(\beta,\gamma\) bilineales, cada sección de \(\beta+\gamma\) es suma de secciones lineales, y cada sección de \(a\beta\) es un múltiplo de una sección lineal. El mapa cero es bilineal. Las leyes del espacio se verifican en cada pareja \((u,v)\) mediante las leyes de \(W\); la extensionalidad de funciones cierra cada igualdad.
La distributividad y la compatibilidad escalar del cuerpo prueban la bilinealidad de la multiplicación. La suma finita de los productos coordenados conserva esas dos propiedades en cada variable; para \(n=0\) es el mapa cero. Para la evaluación, \[ (T+S)(v)=T(v)+S(v),\quad (aT)(v)=aT(v), \] mientras que \(T(v+v')=T(v)+T(v')\) y \(T(av)=aT(v)\). Estas cuatro igualdades prueban la afirmación.
38.3. Especificación bilineal sobre dos bases dadas
Teorema 38.3.1 — Especificación bilineal sobre dos bases dadas
Sean \(B\subseteq U\) y \(C\subseteq V\) bases dadas, y sea \(h:B\times C\to W\) una función dada. Existe una única aplicación bilineal \(\beta:U\times V\to W\) tal que \(\beta(b,c)=h(b,c)\) para \(b\in B,c\in C\).
Si \(u=\sum_{b\in B}a_u(b)b\) y \(v=\sum_{c\in C}a_v(c)c\) son sus coordenadas de soporte finito, entonces \[ \beta(u,v)=\sum_{b\in\operatorname{supp}(a_u)} \sum_{c\in\operatorname{supp}(a_v)} a_u(b)a_v(c)h(b,c). \] Las bases pueden ser infinitas. No se afirma aquí su existencia.
Demostración
Las coordenadas de cada vector existen y son únicas por la propiedad de base. Por tanto, definen funciones \(u\mapsto a_u\), \(v\mapsto a_v\) mediante sus valores únicos; no se selecciona una representación entre varias. Los soportes son finitos y sus productos son finitos. Las sumas no dependen de la enumeración, por permutación y reagrupamiento de sumas finitas; agregar índices con coeficiente cero tampoco altera el resultado.
Las coordenadas satisfacen \(a_{u+u'}=a_u+a_{u'}\) y \(a_{\lambda u}=\lambda a_u\), pues los lados derechos representan los vectores respectivos y la representación es única. Al calcular sobre la unión finita de los soportes, la distributividad demuestra aditividad y compatibilidad escalar en la primera variable. El mismo argumento en la segunda variable prueba la bilinealidad. Para \(b\in B\), sus coordenadas son uno en \(b\) y cero en los demás índices; análogamente para \(c\in C\). La fórmula da \(h(b,c)\).
Toda aplicación bilineal con esos valores debe satisfacer la expansión finita de la proposición anterior. Al expandir las coordenadas de \(u,v\), se obtiene exactamente la fórmula construida. Esto prueba unicidad, también cuando una base es vacía y su espacio es cero.
38.99. Síntesis
La bilinealidad se comprueba por secciones lineales y se calcula por expansión finita. Los valores sobre parejas de bases dadas permiten construir una única aplicación; no se añade ningún principio de existencia de bases. La multilinealidad extiende este procedimiento a un número positivo y finito de entradas.
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