Capítulo 3 — Ejercicios

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Los ejercicios se resuelven a partir de C00–C03. En cada caso se deben justificar dominios, hipótesis y resultados, no limitarse a una fórmula. Las referencias EDC-C03-EXR-nnn corresponden uno a uno a las soluciones del archivo independiente.

A. Reconocimiento de hipótesis y conceptos

Ejercicio 3.1 (EDC-C03-EXR-001). Para \(f(x)=x^2\) sobre el dominio \([0,2]\), determine sus extremos absolutos. ¿Puede aplicarse sin modificación el principio de Fermat al extremo en \(0\)? Discuta su derivada derecha.

Ejercicio 3.2 (EDC-C03-EXR-002). Explique por qué el principio de Fermat no afirma que \(f'(c)=0\) sea suficiente para un extremo. Compruébelo con \(f(x)=x^3\) en \(c=0\).

Ejercicio 3.3 (EDC-C03-EXR-003). Compruebe todas las hipótesis del teorema de Rolle para \(f(x)=|x|\) sobre \([-1,1]\) y diga cuál falla. ¿Existe allí un punto interior con derivada cero?

Ejercicio 3.4 (EDC-C03-EXR-004). Aplique Rolle a \(f(x)=\sin x\) sobre \([0,\pi]\) e identifique al menos un punto \(c\) que satisfaga su conclusión.

B. Valor medio, extremos e incrementos

Ejercicio 3.5 (EDC-C03-EXR-005). Para \(f(x)=x^2\) en \([-1,2]\), calcule la pendiente secante e identifique el punto \(c\) del teorema del valor medio.

Ejercicio 3.6 (EDC-C03-EXR-006). Para \(f(x)=\ln x\) sobre \([1,e]\), encuentre un valor de \(c\) que satisfaga el teorema del valor medio y justifique que pertenece a \((1,e)\).

Ejercicio 3.7 (EDC-C03-EXR-007). Determine el máximo y mínimo absolutos de \(f(x)=x^2-4x+1\) en \([-1,5]\). Compare todos los candidatos, incluidos los extremos del intervalo.

Ejercicio 3.8 (EDC-C03-EXR-008). Demuestre para todos \(a,b\in\mathbb R\) que \(|\sin b-\sin a|\le|b-a|\), indicando qué hipótesis del valor medio se utilizan.

Ejercicio 3.9 (EDC-C03-EXR-009). Halle los extremos absolutos de \(f(x)=x^3-3x\) en \([-2,2]\) y determine los intervalos de monotonía interiores.

Ejercicio 3.10 (EDC-C03-EXR-010). Aplicando el valor medio a \(f(x)=e^x\) en \([0,1]\), pruebe que \(1<e-1<e\) sin sustituir la conclusión por una aproximación decimal.

C. Criterios globales y convexidad

Ejercicio 3.11 (EDC-C03-EXR-011). Sea \(I\subseteq\mathbb R\) un intervalo no vacío, de cualquier tipo, y sea \(f:I\to\mathbb R\) continua en todo \(I\) en el sentido relativo al dominio, incluidos los extremos que pertenezcan a \(I\), y derivable en su interior \(I^\circ\). Si \(f'(x)=0\) para todo \(x\in I^\circ\), demuestre que \(f\) es constante en todo \(I\). Explique dónde se utiliza la condición de intervalo y por qué se necesita la continuidad en los bordes incluidos.

Ejercicio 3.12 (EDC-C03-EXR-012). Si \(f'(x)>0\) sobre un intervalo abierto \(I\), demuestre que \(f\) es estrictamente creciente. ¿Es necesario que la derivada tenga límite o sea continua?

Ejercicio 3.13 (EDC-C03-EXR-013). Sea \(f\) dos veces derivable sobre un intervalo \(I\) con \(f''\ge0\). Demuestre que toda recta tangente está por debajo de su gráfica y precise el dominio donde vale la desigualdad.

Ejercicio 3.14 (EDC-C03-EXR-014). Pruebe que \(\ln x\le x-1\) para \(x>0\), con igualdad sólo en \(x=1\), empleando el criterio de concavidad.

Ejercicio 3.15 (EDC-C03-EXR-015). Sea \(f:I\to\mathbb R\) derivable en un intervalo abierto con \(f'(x)\ge m>0\). Demuestre que su inversa sobre \(f(I)\) satisface \(|f^{-1}(v)-f^{-1}(u)|\le|v-u|/m\).

D. Contraejemplos y diagnóstico de errores

Ejercicio 3.16 (EDC-C03-EXR-016). Refute «Si \(f'(c)=0\), entonces \(c\) es un extremo local» usando una función polinómica concreta.

Ejercicio 3.17 (EDC-C03-EXR-017). Refute «Si una función continua toma valores iguales en los extremos de un intervalo, tiene derivada cero en un punto interior» sin omitir el análisis de derivabilidad.

Ejercicio 3.18 (EDC-C03-EXR-018). Construya una función derivable en \(\mathbb R\) con \(f'\ge0\) en todas partes que, sin embargo, no sea estrictamente creciente. Justifique el empalme donde corresponda.

Ejercicio 3.19 (EDC-C03-EXR-019). Una persona deduce de \(f'(0)>0\) que \(f\) es creciente en toda \(\mathbb R\). Dé un contraejemplo polinómico y explique qué información local sí permite la derivada positiva.

Ejercicio 3.20 (EDC-C03-EXR-020). Estudie \(f(x)=|x|^{2/3}\) en \([-1,1]\). ¿Dónde alcanza su mínimo? ¿Es derivable en ese punto? ¿Por qué esto no contradice Fermat?

E. Demostraciones estructurales

Ejercicio 3.21 (EDC-C03-EXR-021). Demuestre el valor medio de Cauchy: si \(f,g\) son continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\), existe \(c\in(a,b)\) tal que

\[ (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c). \]

No divida por \(g'\) sin hipótesis de que sea diferente de cero.

Ejercicio 3.22 (EDC-C03-EXR-022). Demuestre que si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(|f'|\le K\) en \((a,b)\), entonces \(f\) es \(K\)-Lipschitz en \([a,b]\).

Ejercicio 3.23 (EDC-C03-EXR-023). Sea \(f\) derivable en un intervalo abierto y suponga \(f'(x)\le -m<0\) en todo él. Demuestre que \(f\) es estrictamente decreciente y que su inversa, definida sobre la imagen, tiene variaciones acotadas por \(|u-v|/m\).

Ejercicio 3.24 (EDC-C03-EXR-024). Suponga que \(f'\) es no decreciente sobre un intervalo abierto. Demuestre, mediante el valor medio, que \(f(y)\ge f(x)+f'(x)(y-x)\) para cualesquiera \(x,y\) del intervalo y deduzca la convexidad de \(f\).

Ejercicio 3.25 (EDC-C03-EXR-025). Sea \(f\) continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(f'(x)\le-m<0\) allí. Si \(f(a)>0>f(b)\), pruebe que \(f\) tiene exactamente un cero en \((a,b)\).

F. Descubrimiento y optimización

Ejercicio 3.26 (EDC-C03-EXR-026). Entre los rectángulos de perímetro \(P>0\), determine cuál tiene área máxima. Justifique la existencia y el carácter global del máximo sin permitir lados negativos.

Ejercicio 3.27 (EDC-C03-EXR-027). Un cilindro circular recto cerrado tiene área total \(S>0\). Determine la relación entre altura \(h\) y radio \(r\) que maximiza el volumen. Controle el dominio y los límites en sus extremos.

Ejercicio 3.28 (EDC-C03-EXR-028). Para \(\alpha,\lambda>0\) encuentre y justifique el máximo global de \(F(x)=x^{\alpha}e^{-\lambda x}\) sobre \(x>0\). Estudie sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejercicio 3.29 (EDC-C03-EXR-029). ¿Qué puntos de la parábola \(y=x^2\) están a distancia mínima del punto \((0,1)\)? Trabaje con la distancia al cuadrado, justifique que existe un mínimo global y controle los puntos estacionarios que no son mínimos.

G. Desafío de síntesis

Ejercicio 3.30 (EDC-C03-EXR-030). Suponga \(f\) dos veces derivable sobre un intervalo abierto que contiene el segmento entre \(a\) y \(b\), con \(|f''(x)|\le M\). Demuestre, mediante dos aplicaciones del teorema del valor medio y sin usar Taylor, que

\[ |f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)|\le M(b-a)^2. \]

Indique si la cota tiene que ser la mejor posible y proporcione un ejemplo donde no sea óptima.