Capítulo 5 — Ejercicios

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Exposición · Ejercicios · Soluciones

Cada ejercicio se resuelve con los resultados de C00–C05, sin invocar el Teorema Fundamental del Cálculo, que aparecerá en C06. Es necesario distinguir particiones, etiquetas, integrabilidad, signo de la función y existencia de primitivas. Toda respuesta tiene un desarrollo independiente con ID correspondiente en el solucionario.

A. Definiciones, supremos y lenguaje

Ejercicio 5.1 (EDC-C05-EXR-001). Escriba las definiciones de \(L(f,P)\), \(U(f,P)\), \(\underline{\mathcal I}(f)\) y \(\overline{\mathcal I}(f)\). ¿Por qué la acotación de \(f\) es importante? Distinga supremo e ínfimo de máximo y mínimo.

Ejercicio 5.2 (EDC-C05-EXR-002). Sea \(f:[0,1]\to\mathbb R\) dada por \(f(0)=2\) y \(f(x)=x\) si \(0<x\le1\). Calcule el ínfimo y el supremo de \(f\) en \([0,1]\), e indique cuáles son alcanzados.

Ejercicio 5.3 (EDC-C05-EXR-003). Para \(f(x)=x^2\) en \([0,1]\) y \(P=\{0,1/2,1\}\), calcule \(L(f,P)\), \(U(f,P)\) y \(U-L\). ¿Cuál de estas cantidades cambia si se eligen otras etiquetas?

Ejercicio 5.4 (EDC-C05-EXR-004). Para \(f(x)=x\) en \([0,1]\), use \(P=\{0,1/3,2/3,1\}\) y etiquetas \(\xi=(0,1/2,1)\). Calcule \(S(f;P,\xi)\), \(L(f,P)\) y \(U(f,P)\).

B. Refinamientos y compatibilidad

Ejercicio 5.5 (EDC-C05-EXR-005). Parta de \(P=\{0,1\}\) para \(f(x)=x^2\). Inserte \(1/2\) y compruebe numéricamente las cuatro desigualdades del Lema 5.1.

Ejercicio 5.6 (EDC-C05-EXR-006). Encuentre el refinamiento común de \(P=\{0,1/2,1\}\) y \(Q=\{0,1/3,2/3,1\}\). Demuestre que \(L(f,P)\le U(f,Q)\) para una función acotada arbitraria, sin suponer monotonía.

Ejercicio 5.7 (EDC-C05-EXR-007). Para \(d=\mathbf 1_{\mathbb Q\cap[0,1]}\), encuentre \(L(d,P)\) y \(U(d,P)\) para cualquier partición y determine ambas integrales de Darboux. ¿Por qué no es integrable?

Ejercicio 5.8 (EDC-C05-EXR-008). Sea \(h(x)=5\) si \(x=1/2\) y \(h(x)=0\) en los demás puntos de \([0,1]\). Encuentre su integral y una cota explícita para \(U(h,P)-L(h,P)\) en función de \(\|P\|\).

C. Criterios de existencia y ejemplos

Ejercicio 5.9 (EDC-C05-EXR-009). Sea \(s(x)=0\) para \(x<1/3\) y \(s(x)=1\) para \(x\ge1/3\) en \([0,1]\). Pruebe su integrabilidad y determine la integral usando particiones adaptadas al salto.

Ejercicio 5.10 (EDC-C05-EXR-010). Para \(f(x)=-x\) en \([0,1]\), calcule la diferencia \(U(f,P)-L(f,P)\) para una partición arbitraria y deduzca su integrabilidad.

Ejercicio 5.11 (EDC-C05-EXR-011). Demuestre que \(f(x)=\sin x\) es integrable en \([0,\pi]\) sin calcular su integral. Indique el teorema preciso usado y por qué no hace falta una primitiva.

Ejercicio 5.12 (EDC-C05-EXR-012). Suponga que \(f:[0,2]\to\mathbb R\) es derivable, continua hasta los extremos, y \(|f'(x)|\le3\) para \(0<x<2\). Obtenga una cota de \(U(f,P)-L(f,P)\) en términos de la finura y dé una condición suficiente para que sea menor que \(10^{-3}\).

Ejercicio 5.13 (EDC-C05-EXR-013). Explique por qué la convergencia a \(0\) de las sumas de la función de Dirichlet sobre particiones uniformes con todas las muestras irracionales no demuestra que esa función sea integrable.

Ejercicio 5.14 (EDC-C05-EXR-014). Construya una sucesión de particiones con número de intervalos tendiendo a infinito pero finura constante \(1/2\). Explique qué cuantificador del Teorema 5.3 no se cumple.

D. Demostraciones y auditoría de hipótesis

Ejercicio 5.15 (EDC-C05-EXR-015). Pruebe la dirección difícil del criterio de Darboux: si \(\sup_P L(f,P)=\inf_P U(f,P)\), explique cómo obtener una única partición con \(U-L<\varepsilon\) a partir de dos particiones iniciales distintas.

Ejercicio 5.16 (EDC-C05-EXR-016). Para la función de salto \(s_c\) del §5.6, demuestre directamente que toda suma etiquetada sobre una partición de finura \(\delta\) difiere de \(b-c\) en no más de \(2\delta\). ¿Qué muestra sobre el requisito de muestras arbitrarias?

Ejercicio 5.17 (EDC-C05-EXR-017). Demuestre desde la definición por sumas etiquetadas que \(\int_a^b(f+g)=\int_a^bf+\int_a^bg\) para funciones integrables. Controle el orden de los cuantificadores de \(\varepsilon\) y \(\delta\).

Ejercicio 5.18 (EDC-C05-EXR-018). Demuestre que, aunque \(f,g\) sean integrables, la fórmula \(\int_0^1fg=(\int_0^1f)(\int_0^1g)\) no es universalmente válida; tome \(f(x)=g(x)=x\).

Ejercicio 5.19 (EDC-C05-EXR-019). Calcule \(\int_0^1|2x-1|\,dx\) sin emplear primitivas. Justifique la partición usada y el resultado geométrico/lineal necesario.

Ejercicio 5.20 (EDC-C05-EXR-020). Si \(f,g\) son integrables en \([0,4]\) y \(|f(x)-g(x)|\le0.01\) para todo \(x\), obtenga la mejor cota que se deduce inmediatamente de la Proposición 5.2 para la diferencia de sus integrales.

E. Aditividad, orientación y cálculo

Ejercicio 5.21 (EDC-C05-EXR-021). En \([0,2]\), sea \(s(x)=0\) para \(x<1\) y \(s(x)=3\) para \(x\ge1\). Calcule las integrales en \([0,1]\), \([1,2]\) y \([0,2]\), y compruebe la aditividad con cuidado del valor en el punto de salto.

Ejercicio 5.22 (EDC-C05-EXR-022). Demuestre que una función integrable en \([a,b]\) lo es en cada subintervalo \([u,v]\subset[a,b]\), controlando qué ocurre si \(u=a\) o \(v=b\).

Ejercicio 5.23 (EDC-C05-EXR-023). Evalúe \(\int_3^1 2x\,dx\) sin usar el Teorema Fundamental. Construya la integral de la función afín en \([1,3]\) mediante sumas o geometría elemental y aplique la convención de orientación.

Ejercicio 5.24 (EDC-C05-EXR-024). Calcule \(\int_0^1(1-x)^2\,dx\) mediante expansión polinómica y las cuadraturas ya demostradas en C04 y C05.

F. Valor medio, contraejemplos y estabilidad

Ejercicio 5.25 (EDC-C05-EXR-025). Para \(f(x)=x^2\) en \([0,1]\), encuentre un punto \(c\) que cumpla el teorema del valor medio integral y justifique su existencia sin resolver una ecuación integral por primitivas.

Ejercicio 5.26 (EDC-C05-EXR-026). Sea \(f(x)=0\) para \(x\le1/2\) y \(f(x)=1\) para \(x>1/2\) en \([0,1]\). Demuestre su integrabilidad, calcule el promedio integral y explique por qué ningún \(c\) satisface \(f(c)\) igual a ese promedio.

Ejercicio 5.27 (EDC-C05-EXR-027). Modifique \(f(x)=x^2\) sólo en \(x=1/2\), asignando allí el valor \(100\). Pruebe que la nueva función sigue siendo integrable y tiene integral \(1/3\).

Ejercicio 5.28 (EDC-C05-EXR-028). Reconstruya el argumento del producto de funciones integrables. ¿Por qué basta la cota \(\operatorname{osc}_I(fg)\le A\operatorname{osc}_I(g)+B\operatorname{osc}_I(f)\) y para qué sirve un refinamiento común?

Ejercicio 5.29 (EDC-C05-EXR-029). Explique por qué \(\int_0^3(-2)\,dx=-6\) no contradice que toda área geométrica sea no negativa. Indique también las unidades si \(-2\) representa metros por segundo y el intervalo mide segundos.

G. Síntesis rigurosa

Ejercicio 5.30 (EDC-C05-EXR-030). Para \(\lambda\ge0\) defina en \([0,1]\) la función \(f_\lambda(x)=x^2+\lambda\mathbf1_{[1/2,1]}(x)\). Pruebe su integrabilidad, calcule su integral sin primitivas y obtenga una cota del error de una suma etiquetada que dependa de \(\lambda\) y \(\|P\|\) y tienda a cero para toda familia de particiones finas.