Capítulo 6 — Ejercicios
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El propósito es utilizar el Teorema Fundamental como una afirmación demostrada y condicionada, no como una regla de cancelación formal. En cada cálculo, indique continuidad, intervalo y primitiva empleada cuando corresponda. Los ejercicios dependen de C00–C06; ninguno requiere técnicas de sustitución o integración por partes del capítulo 7.
A. Interpretación y control de hipótesis
Ejercicio 6.1 (EDC-C06-EXR-001). Enuncie separadamente las dos partes del Teorema Fundamental para \(f\) continua en \([a,b]\). Indique qué objeto se construye en cada parte y qué resultados previos necesita cada demostración.
Ejercicio 6.2 (EDC-C06-EXR-002). Sea \(f(t)=t^2\) en \([0,2]\) y \(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\). Calcule \(F'_+(0)\) y \(F'_-(2)\) y explique por qué ninguna de estas dos expresiones constituye por sí misma una derivada bilateral en los extremos del dominio.
Ejercicio 6.3 (EDC-C06-EXR-003). Demuestre, sin derivar \(F\), que si \(f\) es integrable y no negativa en \([a,b]\), entonces \(F(x)=\int_a^x f\) es no decreciente; determine cuándo la conclusión «estrictamente creciente» está justificada si, además, \(f\) es continua y positiva en cada punto del intervalo.
Ejercicio 6.4 (EDC-C06-EXR-004). Un móvil tiene velocidad \(v(t)=3t^2\) para \(0\le t\le2\). Calcule su desplazamiento. Si \(t\) se mide en segundos y \(v\) en metros por segundo, especifique las unidades físicas del coeficiente numérico \(3\).
Ejercicio 6.5 (EDC-C06-EXR-005). Para \(f\) integrable en \([a,b]\) y \(c\in[a,b]\), pruebe que \(F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) y \(F_c(x)=\int_c^x f(u)\,du\) difieren en una constante. ¿Qué papel desempeña que \(t\) y \(u\) sean variables mudas?
B. Acumulaciones construidas desde la integral
Ejercicio 6.6 (EDC-C06-EXR-006). Para \(0\le x\le2\), obtenga una expresión para \(F(x)=\int_0^x t^2\,dt\). Compruebe por derivación en el interior y por la condición inicial \(F(0)=0\).
Ejercicio 6.7 (EDC-C06-EXR-007). En \([-1,4]\) defina \(F(x)=\int_1^x(t-3)\,dt\). Determine \(F(x)\), sus intervalos de crecimiento/decrecimiento y los valores \(F(1)\) y \(F(4)\).
Ejercicio 6.8 (EDC-C06-EXR-008). Para \(-1\le x\le2\), calcule \(F(x)=\int_{-1}^x|t|\,dt\) mediante una fórmula por tramos. Compruebe expresamente la derivabilidad de \(F\) en \(x=0\) y halle \(F(2)\).
Ejercicio 6.9 (EDC-C06-EXR-009). Para \(0\le x\le1\), encuentre \(F(x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}\) y demuestre que \(F'(x)>0\) para \(0<x<1\). ¿Cuál es \(F(1)\)?
Ejercicio 6.10 (EDC-C06-EXR-010). Sea \(F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt\), con \(0\le x\le1\). Sin recurrir a una fórmula elemental de primitiva, pruebe que \(F'(x)=e^{-x^2}\) en \((0,1)\), que \(F\) es creciente y que \(0\le F(x)\le x\).
Ejercicio 6.11 (EDC-C06-EXR-011). En \([-1,1]\), sea \(s(t)=0\) si \(t<0\) y \(s(t)=1\) si \(t\ge0\). Calcule \(S(x)=\int_{-1}^x s(t)\,dt\), sus derivadas laterales en \(0\) y \(S(1)\). Distinga integrabilidad de derivabilidad de la acumulación.
C. Evaluación de integrales definidas
Ejercicio 6.12 (EDC-C06-EXR-012). Calcule \(\int_{-1}^{2}(3t^2-2t+1)\,dt\) e identifique una primitiva válida sobre el intervalo completo.
Ejercicio 6.13 (EDC-C06-EXR-013). Calcule \(\int_0^\pi\sin t\,dt\) y explique por qué el resultado coincide aquí con un área geométrica no negativa.
Ejercicio 6.14 (EDC-C06-EXR-014). Calcule \(\int_1^e\frac{dt}{t}\), justificando el dominio del logaritmo.
Ejercicio 6.15 (EDC-C06-EXR-015). Calcule \(\int_0^1 e^{2t}\,dt\) mostrando directamente que \(\frac12 e^{2t}\) es una primitiva en \([0,1]\).
Ejercicio 6.16 (EDC-C06-EXR-016). Calcule \(\int_0^{\pi/4}\frac{dt}{\cos^2 t}\) e indique por qué el denominador es no nulo en el intervalo.
Ejercicio 6.17 (EDC-C06-EXR-017). Demuestre que \(\int_{-2}^{2}t^3\,dt=0\) de dos maneras: por una primitiva y por simetría de la función impar con la aditividad de C05.
Ejercicio 6.18 (EDC-C06-EXR-018). Calcule \(\int_{-1}^{1}|t|\,dt\) y explique por qué la función \(|t|\) sí tiene una primitiva en todo el intervalo aunque no sea derivable en \(t=0\).
Ejercicio 6.19 (EDC-C06-EXR-019). Calcule la integral orientada \(\int_2^0(2t+1)\,dt\). ¿Qué signo obtiene y por qué?
D. Extremos variables
Ejercicio 6.20 (EDC-C06-EXR-020). Para \(-1<x<1\), derive \(H(x)=\int_0^{x^2}e^{t^2}\,dt\) sin hallar ninguna primitiva elemental de \(e^{t^2}\).
Ejercicio 6.21 (EDC-C06-EXR-021). Para \(-1<x<1\), derive \(K(x)=\int_{\sin x}^{x^2+1}\ln(1+t^2)\,dt\). Compruebe que los dos límites de integración pertenecen a un intervalo compacto fijo sobre el que el integrando es continuo.
Ejercicio 6.22 (EDC-C06-EXR-022). Para \(-1<x<2\), derive \(L(x)=\int_x^2(t^2+1)\,dt\) y calcule \(L(2)\) por continuidad de la fórmula.
Ejercicio 6.23 (EDC-C06-EXR-023). Para \(-1<x<1\), derive \(M(x)=\int_0^{x^3}\cos(t^2)\,dt\). Explique la diferencia entre derivar el extremo variable y realizar una sustitución integral general.
Ejercicio 6.24 (EDC-C06-EXR-024). Sea \(N(x)=\int_{-1}^x(t^2+1)\,dt+\int_x^1(t^2+1)\,dt\) para \(-1\le x\le1\). Demuestre mediante aditividad que \(N\) es constante, calcule su valor y compruebe que \(N'(x)=0\) en el interior.
E. Diagnóstico de afirmaciones inválidas
Ejercicio 6.25 (EDC-C06-EXR-025). Sea \(r(t)=1\) si \(t\ne0\) y \(r(0)=0\) sobre \([-1,1]\). Demuestre que \(r\) es integrable, calcule \(R(x)=\int_{-1}^x r(t)\,dt\) y compare \(R'(0)\) con \(r(0)\). Identifique exactamente qué hipótesis de la primera parte del Teorema Fundamental falla en ese punto.
Ejercicio 6.26 (EDC-C06-EXR-026). La función \(G(x)=\sqrt{x}\) es continua en \([0,1]\) y derivable en \((0,1)\). ¿Por qué no se puede aplicar directamente la versión de la segunda parte para derivadas Riemann-integrables a \(G'(x)=1/(2\sqrt{x})\) sobre \([0,1]\)? Distinga la existencia de \(G(1)-G(0)\) de la definición de una integral propia de Darboux.
Ejercicio 6.27 (EDC-C06-EXR-027). Sea \(f(x)=x\) en \([0,1]\) y defina \(G(x)=x^2/2\) cuando \(x>0\), pero \(G(0)=100\). Aunque \(G'(x)=f(x)\) para todo \(x\in(0,1)\), ¿es lícito concluir que \(\int_0^1 f=G(1)-G(0)\)? Explique el papel de la continuidad de \(G\) en el extremo.
F. Pruebas y síntesis
Ejercicio 6.28 (EDC-C06-EXR-028). Sean \(G,H\) continuas en \([a,b]\), derivables en \((a,b)\) y tales que \(G'=H'\) en ese intervalo. Pruebe por el teorema del valor medio que \(G-H\) es constante. Indique por qué no basta conocer una igualdad de derivadas en dos intervalos separados para obtener una única constante global.
Ejercicio 6.29 (EDC-C06-EXR-029). Reconstruya la prueba directa por sumas de la fórmula \(\int_a^b f=G(b)-G(a)\) bajo las hipótesis: \(G\) continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\); \(f\) integrable en \([a,b]\) y \(f=G'\) en el interior. Identifique el papel distinto del valor medio y de la equivalencia Riemann–Darboux.
Ejercicio 6.30 (EDC-C06-EXR-030). Desafío: si \(s\in C^1([a,b])\) (es decir, \(s\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(s'\) se prolonga continuamente a \([a,b]\)), defina la variación total de \(s\) como el supremo de \(\sum_i|s(t_i)-s(t_{i-1})|\) sobre particiones finitas. Pruebe que ese supremo es exactamente \(\int_a^b|s'(t)|\,dt\). Utilice la segunda parte del Teorema Fundamental, la desigualdad triangular y el valor medio para obtener ambas desigualdades.
Cada EDC-C06-EXR-nnn tiene una única solución razonada EDC-C06-SOL-nnn en el archivo independiente de soluciones.