Capítulo 8 — Ejercicios

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Exposición · Ejercicios · Soluciones

Se utilizarán únicamente C00–C08. No se invocará un desarrollo de Taylor aún no probado (C09), ni se extrapolarán identidades válidas para \(|x|<R\) a los puntos fronterizos sin una prueba adicional. Cada ejercicio posee una solución razonada independiente con idéntico número.

A. El significado de sumar infinitamente

Ejercicio 8.1 (EDC-C08-EXR-001). Para \(a_n=(-1)^n\), determine \(S_0,S_1,S_2,S_3\) y explique por qué \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) no converge, aunque se pueda escribir la identidad geométrica finita para \(q=-1\).

Ejercicio 8.2 (EDC-C08-EXR-002). Reformule el criterio de Cauchy para la serie \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\). ¿Por qué controlar un solo sumando \(a_n\) no equivale a controlar todas las colas \(\sum_{k=p}^{q}a_k\)?

Ejercicio 8.3 (EDC-C08-EXR-003). Demuestre que \(a_n\to0\) es condición necesaria pero no suficiente para que \(\sum a_n\) converja. Elija un ejemplo y pruebe la divergencia de su serie.

Ejercicio 8.4 (EDC-C08-EXR-004). Calcule \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1/2)^n\) y el error absoluto al detenerse en \(n=N\). Indique qué hipótesis hace legítimo usar el Teorema 8.2.

Ejercicio 8.5 (EDC-C08-EXR-005). Refute el uso de la fórmula \(\sum_{n\ge0}q^n=1/(1-q)\) para \(q=1\) y \(q=-1\). En cada caso exhiba las sumas parciales.

Ejercicio 8.6 (EDC-C08-EXR-006). Para \(\sum_{n=0}^{\infty}3^{-n}=3/2\), determine el menor entero \(N\ge0\) para el cual la suma hasta \(n=N\) tiene error menor que \(1/1000\).

B. Comparación y convergencia de series numéricas

Ejercicio 8.7 (EDC-C08-EXR-007). Pruebe mediante bloques diádicos que \(\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2\) converge. Obtenga además una cota sencilla para el bloque de índices \(2^k\le n<2^{k+1}\).

Ejercicio 8.8 (EDC-C08-EXR-008). Determine si \(\sum_{n=1}^{\infty}n^{-3/4}\) converge y justifique por comparación con una serie estudiada.

Ejercicio 8.9 (EDC-C08-EXR-009). Calcule exactamente \(\sum_{n=1}^{\infty}1/[n(n+1)]\) por sumas telescópicas y justifique el paso al límite.

Ejercicio 8.10 (EDC-C08-EXR-010). Pruebe que \(\sum_{n=1}^{\infty}1/(n^2+1)\) converge sin hallar su suma. Señale explícitamente la serie de comparación.

Ejercicio 8.11 (EDC-C08-EXR-011). Estudie la convergencia absoluta de \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n^2\) y explique por qué ello permite reordenar sus términos.

Ejercicio 8.12 (EDC-C08-EXR-012). Para la serie armónica alternante \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n\), demuestre convergencia condicional y encuentre una cota numérica del error tras sumar los primeros cien términos.

Ejercicio 8.13 (EDC-C08-EXR-013). Pruebe \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n/(2n+1)=\pi/4\) integrando una identidad geométrica finita, y estime el error del procedimiento con \(N+1\) términos.

Ejercicio 8.14 (EDC-C08-EXR-014). Explique por qué una reordenación de la serie armónica alternante puede cambiar su suma. Diseñe el procedimiento de sobrepasos que permita aproximar el valor objetivo \(L=1\) y justifique que consume todos los términos.

C. Tests de razón y raíz

Ejercicio 8.15 (EDC-C08-EXR-015). Estudie \(\sum_{n=1}^{\infty}n/2^n\) mediante el criterio de razón. Después calcule su suma a partir de una función racional obtenida por derivación de una serie de potencias.

Ejercicio 8.16 (EDC-C08-EXR-016). Determine la convergencia de \(\sum_{n=1}^{\infty}n!/3^n\) usando los cocientes consecutivos; compruebe también la condición necesaria sobre sus términos.

Ejercicio 8.17 (EDC-C08-EXR-017). Muestre que tanto \(1/n\) como \(1/n^2\) producen límite de razón igual a \(1\), pero que sus series tienen comportamientos diferentes. ¿Qué informa realmente un resultado \(L=1\)?

D. Radios y fronteras

Ejercicio 8.18 (EDC-C08-EXR-018). Encuentre radio, intervalo completo de convergencia y función suma de \(\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n\).

Ejercicio 8.19 (EDC-C08-EXR-019). Determine el radio de \(\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n\) y analice qué sucede en su centro.

Ejercicio 8.20 (EDC-C08-EXR-020). Demuestre que \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!\) converge absolutamente para todo \(x\in\mathbb R\) y determine su radio. No utilice C09 para demostrar la respuesta.

Ejercicio 8.21 (EDC-C08-EXR-021). Determine con prueba independiente la convergencia de \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n\) en \(|x|<1\), en \(x=1\) y en \(x=-1\).

Ejercicio 8.22 (EDC-C08-EXR-022). Determine la convergencia absoluta de \(\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2\) en \([-1,1]\) y la divergencia para \(|x|>1\). Explique qué permite concluir sobre las fronteras.

E. Operar correctamente dentro del radio

Ejercicio 8.23 (EDC-C08-EXR-023). Para \(F(x)=\sum_{n\ge0}x^n\) sobre \(|x|<1\), use la cota del Teorema 8.8 con \(r=1/2\), \(s=3/4\) para dar un límite explícito al error de truncamiento en \(|x|\le1/2\). Compárelo con el error geométrico exacto.

Ejercicio 8.24 (EDC-C08-EXR-024). Justifique desde el Teorema 8.9, no por manipulación formal, la igualdad \(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=1/(1-x)^2\) para \(|x|<1\).

Ejercicio 8.25 (EDC-C08-EXR-025). Integre término a término la serie geométrica de razón \(-x\) para demostrar \(\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^n/n\) en \(|x|<1\). ¿Por qué esta prueba no decide por sí sola la igualdad en \(x=1\)?

Ejercicio 8.26 (EDC-C08-EXR-026). Obtenga la serie de \(\arctan x\) en \(|x|<1\), y luego pruebe el valor especial en \(x=1\) controlando el resto integrado de la fórmula geométrica finita.

Ejercicio 8.27 (EDC-C08-EXR-027). Multiplique dos veces la serie geométrica \(\sum_{n\ge0}x^n\) usando el producto de Cauchy y demuestre \(\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k=(1-x)^{-2}\), especificando el dominio.

Ejercicio 8.28 (EDC-C08-EXR-028). Una serie de potencias centrada en cero tiene radio positivo y representa \(F(x)=x/(1-x)\) cerca de cero. Determine todos sus coeficientes y justifique su unicidad.

Ejercicio 8.29 (EDC-C08-EXR-029). Integre la serie geométrica en \([0,1/2]\) y pruebe \(\sum_{n=1}^{\infty}1/(n2^n)=\ln 2\). Indique por qué el intervalo de integración está estrictamente dentro del radio.

F. Problema de síntesis

Ejercicio 8.30 (EDC-C08-EXR-030). Defina \(H(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^n/n\) para \(|x|<1\). (a) Demuestre que \(H'(x)=1/(1+x)\) y \(H(0)=0\). (b) Identifique \(H\) sin acudir a un desarrollo de Taylor de una función previamente dada. (c) Justifique que

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)2^{n+1}} =\frac32\ln\frac32-\frac12. \]

Indique qué estimación asegura la legalidad de integrar el desarrollo en el intervalo \([0,1/2]\).