Capítulo 9 — Ejercicios

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Exposición · Ejercicios · Soluciones

El propósito de los ejercicios no es memorizar desarrollos: se debe distinguir una identidad polinómica, un polinomio local, una estimación finita y una serie infinita. Justifique en cada caso el intervalo, las hipótesis de derivabilidad y, si corresponde, el paso al límite. Las soluciones independientes aparecen en el archivo correspondiente. Sólo se utilizan C00–C09.

A. El binomio de Newton y las series binomiales

Ejercicio 9.1 (EDC-C09-EXR-001). Demuestre por inducción \((1+x)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom mkx^k\) para \(m\in\mathbb N_0\). Indique dónde interviene la identidad de Pascal y por qué la igualdad no requiere ninguna consideración sobre convergencia.

Ejercicio 9.2 (EDC-C09-EXR-002). Calcule los coeficientes \(\binom{1/2}{k}\), \(0\le k\le4\), y escriba el polinomio de orden cuatro de la expansión binomial de \(\sqrt{1+x}\). Indique su intervalo interior de representación probado.

Ejercicio 9.3 (EDC-C09-EXR-003). Para \(\alpha=-3/2\) demuestre que \(\sum_{n\ge0}\binom\alpha n x^n\) tiene radio exactamente uno y representa \((1+x)^{-3/2}\) para \(|x|<1\). ¿Autoriza el radio afirmar convergencia en \(x=-1\)?

Ejercicio 9.4 (EDC-C09-EXR-004). Deduzca con el Teorema 9.2 la identidad \((1+x)^{-2}=\sum_{n\ge0}(-1)^n(n+1)x^n\) para \(|x|<1\). Verifique la recurrencia de coeficientes y explique la conexión con la serie geométrica derivada en C08.

Ejercicio 9.5 (EDC-C09-EXR-005). Compare la serie binomial para \(\alpha=3\) y para \(\alpha=1/2\). Identifique cuál termina, el radio de la otra, y por qué un resultado demostrado sólo para \(|x|<1\) no permite evaluar automáticamente el extremo \(x=-1\).

Ejercicio 9.6 (EDC-C09-EXR-006). Sea \(F(x)=\sum_{n\ge0}\binom\alpha n x^n\). Demuestre, dentro de su radio positivo, que \((1+x)F'=\alpha F\) y \(F(0)=1\); explique por qué estas condiciones identifican \(F\) como \((1+x)^\alpha\) en \((-1,1)\) sin utilizar el capítulo 10.

B. Reconstrucción polinómica desde datos de derivadas

Ejercicio 9.7 (EDC-C09-EXR-007). Halle \(T_{2,0}(e^x)\) y compruebe sus valores de derivadas de órdenes \(0,1,2\) en cero.

Ejercicio 9.8 (EDC-C09-EXR-008). Calcule \(T_{4,0}(\sin x)\) y explique por qué carece de término de grado cuatro. Encuentre las derivadas que justifican sus coeficientes.

Ejercicio 9.9 (EDC-C09-EXR-009). Obtenga \(T_{3,1}(\ln x)\) y especifique el dominio real de \(\ln x\) y las hipótesis del resto de Lagrange para \(x\) en un compacto positivo.

Ejercicio 9.10 (EDC-C09-EXR-010). Halle \(T_{2,1}(\sqrt{x})\) y explique por qué el polinomio no puede utilizarse sin estimación para aproximar \(\sqrt{x}\) arbitrariamente lejos de \(x=1\).

Ejercicio 9.11 (EDC-C09-EXR-011). Calcule \(T_{3,0}(1/(1-x))\) y el error exacto en \(x=1/2\); distinga el error exacto de una cota de Lagrange.

Ejercicio 9.12 (EDC-C09-EXR-012). Determine el único polinomio de grado a lo sumo tres con \(P(a)=2\), \(P'(a)=-1\), \(P''(a)=4\) y \(P'''(a)=0\). Pruebe su unicidad, no sólo la fórmula.

C. Restos, cotas y tolerancias

Ejercicio 9.13 (EDC-C09-EXR-013). Aproxime \(\cos(1/5)\) por \(T_{3,0}(\cos x)\) y obtenga una cota explícita con el Teorema 9.4. No use una identidad de series sin justificar el error.

Ejercicio 9.14 (EDC-C09-EXR-014). Aproxime \(e^{1/10}\) por \(T_{3,0}(e^x)\) y pruebe un error menor que \(1/80000\), utilizando \(e<3\) y una cota de Lagrange.

Ejercicio 9.15 (EDC-C09-EXR-015). Para \(f(x)=1/(1+x)\) en \([0,1/2]\), compare el resto exacto del polinomio \(T_{2,0}f=1-x+x^2\) con la cota de Lagrange obtenida de \(|f'''|\le6\). Evalúe ambas cotas en \(x=1/2\).

Ejercicio 9.16 (EDC-C09-EXR-016). A partir de Taylor–Peano, pruebe \(\sin x=x-x^3/6+o(|x|^3)\) cuando \(x\to0\). Explique por qué el símbolo \(o\) no permite concluir por sí solo una identidad de series para todo \(x\).

Ejercicio 9.17 (EDC-C09-EXR-017). Demuestre con el resto integral \(e^x-1-x=\int_0^x e^t(x-t)\,dt\), también para \(x<0\). Compruebe la orientación y el signo del resto.

Ejercicio 9.18 (EDC-C09-EXR-018). Si \(f\in C^{n+1}([a,b])\) y \(|f^{(n+1)}|\le M\), deduzca desde la fórmula integral que \(|f(x)-T_{n,a}f(x)|\le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!\) para cualquier \(x\in[a,b]\).

D. Series representativas, radio y no analiticidad

Ejercicio 9.19 (EDC-C09-EXR-019). Deduzca los desarrollos de \(\sin x\) y \(\cos x\) desde las cotas finitas del capítulo. Aclare por qué la representación es válida para todo \(x\in\mathbb R\).

Ejercicio 9.20 (EDC-C09-EXR-020). Use \(T_{4,0}(e^x)\) para aproximar \(e^{-1}\) y demuestre que el error absoluto es a lo sumo \(1/120\). Escriba el valor racional aproximante.

Ejercicio 9.21 (EDC-C09-EXR-021). Identifique los coeficientes de Maclaurin de \(\ln(1+x)\) para \(|x|<1\). Dé una cota de error al sumar los primeros \(N\) términos en \(x=1/2\), sin invocar un teorema de Taylor de borde.

Ejercicio 9.22 (EDC-C09-EXR-022). Compare el radio de Taylor en \(0\) de \((1+x)^{-1}\) y el de \((1+x)^3\). Demuestre por qué un exponente entero no negativo produce una excepción al radio uno.

Ejercicio 9.23 (EDC-C09-EXR-023). Para \(g(0)=0\) y \(g(x)=e^{-1/x^2}\) si \(x\ne0\), demuestre que \(g'(0)=g''(0)=0\) y explique la inducción general que produce \(g^{(k)}(0)=0\) para todo \(k\).

Ejercicio 9.24 (EDC-C09-EXR-024). Muestre que la serie de Maclaurin de \(g\) del problema anterior converge en todo punto, pero no representa a \(g\) fuera de cero. Explique con cuantificadores por qué ello no contradice el resto de Peano.

E. Algoritmos de aproximación y control de inferencias

Ejercicio 9.25 (EDC-C09-EXR-025). Aplique dos iteraciones de Newton a \(f(x)=x^2-2\) empezando por \(x_0=3/2\). Obtenga \(x_1,x_2\) exactamente y deduzca una cota local del error hacia \(r=\sqrt2\) bajo las hipótesis de \([r-2/5,r+2/5]\).

Ejercicio 9.26 (EDC-C09-EXR-026). Estudie por qué la fórmula de Newton no puede iniciarse en \(x_0=0\) para \(f(x)=x^3-1\). Señale qué hipótesis del Teorema 9.10 falla y qué conclusión no se puede extraer sobre todas las semillas posibles.

Ejercicio 9.27 (EDC-C09-EXR-027). Refute cada afirmación: (a) «si \(f\in C^\infty\), la serie de Taylor coincide con \(f\)»; (b) «si \(f\) está definida en \(x\), su serie de Taylor en cero converge en \(x\)»; (c) «el polinomio de Taylor de orden \(n\) siempre tiene grado exactamente \(n\)».

Ejercicio 9.28 (EDC-C09-EXR-028). Demuestre la unicidad de los coeficientes de una representación \(f(x)=\sum_{n\ge0}a_n(x-c)^n\) de radio positivo y explique por qué este resultado es una implicación condicionada y no una prueba de que toda función suave admite serie convergente.

F. Desafíos de síntesis

Ejercicio 9.29 (EDC-C09-EXR-029). Para \(f(x)=\sqrt{1+x}\), calcule \(T_{2,0}f(1/4)\), pruebe con Lagrange que el error es a lo sumo \(1/1024\) y explique cómo la igualdad binomial de Newton garantiza también representación por la serie completa en ese punto.

Ejercicio 9.30 (EDC-C09-EXR-030). Síntesis: sea \(f(x)=e^x\cos x\). (a) Calcule \(T_{3,0}f\). (b) Demuestre para \(0\le x\le1/2\) que \(|f(x)-T_{3,0}f(x)|\le e^{1/2}x^4/6\). (c) Explique por qué esta cota finita no afirma automáticamente que la serie de Taylor de una función arbitraria converja a ella; indique cuál de los teoremas de C09 aporta el paso lógico faltante.