Capítulo 11 — Ejercicios de síntesis

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Los treinta problemas recorren las cinco convergencias conceptuales del libro y exigen demostrar, no sólo recordar fórmulas. Los problemas EDC-C11-EXR-001--030 corresponden uno por uno a EDC-C11-SOLUCIONES.

A. Qué constituye una prueba en cálculo

Ejercicio 11.1 (EDC-C11-EXR-001). Exponga la diferencia entre una expresión finita, una sucesión convergente y una aproximación certificada. Pruebe que \(A_n=2-2^{-n}\) certifica el valor \(2\), indicando una cota de error.

Ejercicio 11.2 (EDC-C11-EXR-002). Señale el límite o cuantificador que falta en cada frase: (a) «los términos de una serie tienden a cero; luego hay suma»; (b) «una función tiene derivadas de todo orden; luego coincide con Taylor»; (c) «Euler tiene un error local \(O(h^2)\); luego su error global es \(O(h^2)\)». Ofrezca para (a) y (b) contraejemplos de C08–C09.

Ejercicio 11.3 (EDC-C11-EXR-003). Sean \(f,g\) continuas en \([0,2]\) y derivables en \((0,2)\), con \(f'=g'\) allí y \(f(0)=g(0)+3\). Demuestre \(f(x)=g(x)+3\) para todo \(x\in[0,2]\).

Ejercicio 11.4 (EDC-C11-EXR-004). Para \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=0\), compruebe \(f'(0)=g'(0)\) y demuestre que ello no permite concluir \(f-g\) constante en ningún intervalo abierto alrededor de cero.

Ejercicio 11.5 (EDC-C11-EXR-005). Distinga una condición de continuidad de una de derivabilidad usando \(|x|\), y explique dónde falla exactamente aplicar Rolle a \(|x|\) en \([-1,1]\).

B. Reconstruir mediante integral y cotas de error

Ejercicio 11.6 (EDC-C11-EXR-006). Desde C06, pruebe \(f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t)dt\) para \(f\in C^1([0,1])\). Identifique cuál parte del Teorema Fundamental se usa.

Ejercicio 11.7 (EDC-C11-EXR-007). Sea \(g(t)=3t^2\) en \([0,2]\). Construya la única solución continua hasta los extremos de \(y'=g\), \(y(0)=4\), y compruebe la fórmula sin dividir por \(y\).

Ejercicio 11.8 (EDC-C11-EXR-008). Sea \(f\) cero en \([0,1]\) salvo \(f(1/2)=7\). Pruebe su integrabilidad de Darboux y el valor de su integral mediante particiones, no mediante un principio de medida no demostrado.

Ejercicio 11.9 (EDC-C11-EXR-009). Para la función de Dirichlet \(d(x)=1\) si \(x\in\mathbb Q\) y \(0\) en otro caso, sobre \([0,1]\), halle \(L(d,P)\) y \(U(d,P)\) para toda partición \(P\) y determine la integrabilidad.

Ejercicio 11.10 (EDC-C11-EXR-010). Para \(f(x)=x^2\) en \([0,1]\), obtenga la cota del Teorema 11.3 para cualquier suma de \(n\) rectángulos de igual ancho, y determine un \(n\) que garantice error menor que \(10^{-3}\).

Ejercicio 11.11 (EDC-C11-EXR-011). Considere \(f(x)=2x\) en \([0,1]\). Calcule la suma de extremos derechos de \(n\) rectángulos, su error exacto frente a la integral, y compárelo con la cota universal del Teorema 11.3.

Ejercicio 11.12 (EDC-C11-EXR-012). Si \(f\in C^1([0,1])\), \(f(0)=3\) y \(|f'|\le4\), pruebe \(\left|\int_0^h f(t)dt-3h\right|\le2h^2\) para \(0\le h\le1\). Explique qué papel cumple el valor medio.

C. La frontera de las series y los desarrollos locales

Ejercicio 11.13 (EDC-C11-EXR-013). Justifique la divergencia de \(\sum_{n=1}^{\infty}1/n\) aun cuando su término general tienda a cero, utilizando bloques diádicos.

Ejercicio 11.14 (EDC-C11-EXR-014). Para \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\), determine radio y comportamiento en \(x=-1\) y \(x=1\); explique por qué la igualdad con \(1/(1-x)\) no autoriza sustituir esos puntos.

Ejercicio 11.15 (EDC-C11-EXR-015). Explique por qué C08 permite derivar término a término \(\sum x^n\) para \(|x|<1\) y pruebe \(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=1/(1-x)^2\) allí. ¿Puede asegurarse la igualdad en \(x=-1\)?

Ejercicio 11.16 (EDC-C11-EXR-016). Construya \(T_{2,0}e^x\), y mediante Taylor–Lagrange demuestre para \(0\le x\le1/2\) la cota \(|e^x-T_{2,0}e^x|\le e^{1/2}x^3/6\).

Ejercicio 11.17 (EDC-C11-EXR-017). Dé una función \(C^\infty\) que no sea analítica en cero, pruebe que su Taylor converge para todo \(x\), y que no la representa para \(x\ne0\).

Ejercicio 11.18 (EDC-C11-EXR-018). Formule con cuantificadores la distinción entre (i) \(f(x)=T_{n,a}f(x)+o(|x-a|^n)\) al acercarse \(x\) a \(a\) con \(n\) fijo y (ii) \(R_n(x)\to0\) con \(x\) fijo y \(n\to\infty\).

D. De las leyes diferenciales a las trayectorias

Ejercicio 11.19 (EDC-C11-EXR-019). Resuelva \(y'+2y=4\), \(y(0)=1\) y pruebe existencia y unicidad sobre \(\mathbb R\), identificando qué teorema del libro se utiliza.

Ejercicio 11.20 (EDC-C11-EXR-020). Exhiba para \(y'=\sqrt{|y|}\), \(y(0)=0\), dos soluciones globales distintas; verifique su unión \(C^1\) y por qué no contradicen el Teorema 10.6.

Ejercicio 11.21 (EDC-C11-EXR-021). Resuelva \(y'=y^2\), \(y(0)=1\) sobre la rama positiva y demuestre que no admite prolongación real continua a través de \(t=1\).

Ejercicio 11.22 (EDC-C11-EXR-022). Para \(y'=y\), \(y(0)=1\), obtenga el paso de Euler de longitud \(h>0\) y el error local exacto. Demuestre \(0\le e^h-(1+h)\le e^h h^2/2\) y explique qué falta para controlar los pasos sucesivos.

Ejercicio 11.23 (EDC-C11-EXR-023). Aplique el Teorema 10.3 para construir la solución de \(y'+y=t\), \(y(0)=0\). Compruebe por derivación y distinga la fórmula explícita de una presunción de existencia general de EDO.

E. Reconstruir la historia sin anacronismos

Ejercicio 11.24 (EDC-C11-EXR-024). Compare el agotamiento geométrico de Arquímedes y los comentarios de Liu Hui: identifique un parecido matemático y una atribución anacrónica que deba evitarse, según las fuentes consultadas.

Ejercicio 11.25 (EDC-C11-EXR-025). Explique qué significa decir que la escuela de Kerala trabajó con identidades equivalentes a ciertas series de trigonometría y \(\pi\). Distinga reconstrucción moderna, transmisión textual indirecta y prueba de una teoría \(\varepsilon\)–\(N\).

Ejercicio 11.26 (EDC-C11-EXR-026). Distinga la genealogía de fluxiones de Newton y la notación operatoria de Leibniz. ¿Por qué una prueba actual del Teorema Fundamental no puede atribuirse literalmente a uno de ellos sin cotejo?

Ejercicio 11.27 (EDC-C11-EXR-027). Coloque en orden cronológico la publicación de Cours d’analyse de Cauchy (1821), el artículo de Darboux sobre funciones discontinuas (1875) y Methodus incrementorum de Brook Taylor (1715). Indique cuáles de esas fechas están respaldadas documentalmente en las notas.

F. Un examen de cierre matemático e histórico

Ejercicio 11.28 (EDC-C11-EXR-028). Dé cinco implicaciones matemáticas falsas, cada una de capítulos distintos, y un contraejemplo válido. Añada una hipótesis suficiente cuando se haya demostrado en EDC, sin inventar un teorema general.

Ejercicio 11.29 (EDC-C11-EXR-029). Una sucesión de funciones continuas \(f_n(x)=x^n\) en \([0,1]\) converge puntualmente a \(f\). Halle \(f\) y pruebe que no existe una sucesión \(\varepsilon_n\to0\) con \(|f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon_n\) para todo \(x\in[0,1]\). Relaciónelo con la cota interior de C08.

Ejercicio 11.30 (EDC-C11-EXR-030). Síntesis final. Sea \(y(t)=e^{-t}\), \(t\in[0,1]\), y \(A(x)=\int_0^x y(t)dt\). (a) Determine \(A\) mediante C06 y compruebe \(A'=y\). (b) Obtenga una cota de error para cualquier suma de \(n\) rectángulos uniformes de \(\int_0^1y\). (c) Demuestre \(|A(x)-x|\le x^2/2\) para \(0\le x\le1\). (d) Verifique que \(y\) es la única solución del PVI \(y'=-y\), \(y(0)=1\). (e) Explique el significado y los límites de las cuatro pruebas; no confunda ninguna de ellas con evidencia empírica de un modelo de decaimiento.