Soluciones razonadas del laboratorio de investigación

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Cada solución responde al problema INV-Cxx-nn con el mismo código en el laboratorio. Se conservan las hipótesis y fronteras lógicas de los capítulos originales.

SOL-INV-C00-01 — Herón sin derivadas

Sea \(s=\sqrt2\) y \(x>s>0\). Por álgebra,

\[ \frac{x+2/x}{2}-s=\frac{x^2-2sx+s^2}{2x}=\frac{(x-s)^2}{2x}\ge0. \]

Asimismo \(\frac12(x+2/x)-x=(2-x^2)/(2x)<0\). El dato \(x_0=2>s\) inicia la inducción. Si \(x_n>s\), el error exacto de la primera identidad es estrictamente positivo y asegura \(x_{n+1}>s\); la segunda identidad, cuyo numerador es negativo, da \(x_{n+1}<x_n\). De este modo obtenemos \(s<x_{n+1}<x_n\) en cada paso, que incluye la cota \(s\le x_{n+1}\). La sucesión es monótona, acotada inferiormente y, por C00, converge a algún \(\ell\ge s>0\). Pasar al límite en la identidad recursiva (denominadores no nulos) da \(\ell=(\ell+2/\ell)/2\), de donde \(\ell^2=2\) y \(\ell=s\). La igualdad exacta del error demuestra además

\[ 0\le x_{n+1}-s\le\frac{(x_n-s)^2}{2s}. \]

Ésta no es sólo una convergencia: informa del modo en que se amplifica la precisión cuando el error ya es pequeño. No se han invocado derivadas ni el teorema de Newton.

SOL-INV-C01-01 — Tangentes a la cúbica

Por el cociente incremental de C01, \(f'(a)=3a^2\). La tangente en \((a,a^3)\) es

\[ y=a^3+3a^2(x-a)=3a^2x-2a^3. \]

Pasa por \((0,b)\) si y sólo si \(-2a^3=b\). El cubo es continuo y estrictamente creciente: para \(u<v\), la diferencia \(v^3-u^3=(v-u)(v^2+uv+u^2)\) es positiva. Para cualquier valor \(-b/2\) podemos elegir un \(M>0\) con \(M^3>|b|/2\); los valores del cubo en \(-M\) y \(M\) encierran ese número. El valor intermedio de C00 da una raíz y la monotonía la hace única. Así \(a=\sqrt[3]{-b/2}\) determina una sola tangente diferencial por cada punto del eje vertical. En cambio, el problema análogo para \(y=x^2\) conduce a una ecuación cuadrática y puede tener 0, 1 o 2 tangentes según la posición del punto. Contar intersecciones globales no determina una tangente: en la propia cúbica, la horizontal en cero atraviesa su curva.

SOL-INV-C02-01 — Identidad de arcotangentes

Sean \(\alpha=\arctan x\) y \(\beta=\arctan(1/x)\) para \(x>0\). Se cumplen \(0<\alpha,\beta<\pi/2\), \(\tan\alpha=x\) y \(\tan\beta=1/x\). La identidad trigonométrica da

\[ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta =\cos\alpha\cos\beta(1-\tan\alpha\tan\beta)=0. \]

Como \(0<\alpha+\beta<\pi\), necesariamente \(\alpha+\beta=\pi/2\). Por las reglas de C02, la derivada de la suma es

\[ \frac1{1+x^2}-\frac1{x^2(1+x^{-2})}=0. \]

Que una derivada nula implique constancia sobre un intervalo se probará en C03 mediante el teorema del valor medio; usar esa conclusión aquí sería anticiparla. La demostración geométrica anterior no la necesita.

SOL-INV-C03-01 — AM–GM ponderada

La función \(\ln\) es estrictamente cóncava en \((0,\infty)\) por C03, y \(\exp\) es estrictamente creciente por C02. Demostraremos por inducción la desigualdad de Jensen finita

\[ \sum_{i=1}^n w_i\ln x_i\le \ln\left(\sum_{i=1}^n w_ix_i\right). \]

Para un término es igualdad. Si \(0\le w_n<1\), sea \(\lambda=1-w_n>0\) y \(A=\sum_{i=1}^{n-1}(w_i/\lambda)x_i\). Por inducción, \(\sum_{i<n}(w_i/\lambda)\ln x_i\le\ln A\). Multiplicamos por \(\lambda\) y añadimos \(w_n\ln x_n\); la concavidad da \(\lambda\ln A+w_n\ln x_n\le\ln(\lambda A+w_nx_n)\). Si \(w_n=1\), la conclusión es trivial. Esto cierra la inducción. Aplicando la exponencial (que preserva desigualdades) obtenemos \(\prod x_i^{w_i}\le\sum w_ix_i\). Por concavidad estricta, hay igualdad exactamente cuando todos los \(x_i\) con peso estrictamente positivo son iguales. Los pesos nulos son irrelevantes.

SOL-INV-C04-01 — Error de generaciones

Por el valor compatible que construye C04, \(A=4T/3\) y \(P_n=A(1-4^{-n})\), de modo que \((A-P_n)/A=4^{-n}\). Para \(n=9\) la fracción es \(1/262144>10^{-6}\); para \(n=10\) es \(1/1048576<10^{-6}\). Así, \(n=10\) es el menor entero positivo que cumple la tolerancia. Los \(P_n\) son áreas poligonales finitas; la identificación del área parabólica requiere también demostrar el encerramiento exterior y que su holgura desaparece.

SOL-INV-C05-01 — La función de Thomae

La función \(\tau\) está acotada entre cero y uno. Cada subintervalo no degenerado contiene irracionales, así que todas las sumas inferiores son cero. Dado \(\varepsilon>0\), elegimos un entero \(N\) tal que \(1/(N+1)<\varepsilon/2\). El conjunto \(F_N\) de racionales de \([0,1]\) cuya fracción irreducible tiene denominador \(\le N\) es finito: por cada \(1\le q\le N\) sólo hay un número finito de numeradores \(0\le p\le q\).

Rodeamos cada punto de \(F_N\) mediante intervalos muy cortos, eligiendo una partición que tenga como cortes sus extremos, con longitud total afectada menor que \(\varepsilon/2\). En los subintervalos que no contienen puntos de \(F_N\), todo valor racional de \(\tau\) es \(\le1/(N+1)\) y en los irracionales vale cero; en los afectados, la oscilación no supera uno. Elegimos los cortes interiores fuera de \(F_N\), para que un punto excepcional no quede compartido por un intervalo considerado libre de ellos. Los extremos cero y uno pertenecen a \(F_N\) y se encierran mediante un intervalo corto junto a cada borde; los demás puntos se rodean con cortes próximos. Como \(F_N\) es finito, las longitudes pueden elegirse con suma menor que \(\varepsilon/2\), incluso si algunos intervalos se unen al refinar la partición. Por tanto

\[ U(\tau,P)-L(\tau,P)<\varepsilon/2+(b-a)\frac1{N+1}<\varepsilon, \qquad [a,b]=[0,1]. \]

El criterio de Darboux prueba integrabilidad; como \(L(\tau,P)=0\) en todas las particiones, su integral es cero. No se ha usado un criterio de discontinuidades de medida nula.

SOL-INV-C06-01 — Igualdad de valores finales, diferencia de trayectorias

Por C06, \(\int_0^1x\,dx=\int_0^1(1-x)\,dx=1/2\). Sus acumuladoras son

\[ F(t)=t^2/2,\qquad G(t)=t-t^2/2. \]

Para \(0<t<1\), \(G(t)-F(t)=t(1-t)>0\), así que no coinciden interiormente, pese a que sus valores iniciales y finales sí coinciden. Además \(F'=f\) y \(G'=g\) por la primera parte del Teorema Fundamental: el dato de una integral final no determina la evolución de toda la acumulación.

SOL-INV-C07-01 — Un logaritmo, dos caminos

La función \(\ln(1+x)\) es continua en \([0,1]\), porque \(1+x\ge1>0\). Por partes, \(u=\ln(1+x)\) y \(dv=dx\) dan

\[ I=[x\ln(1+x)]_0^1-\int_0^1\frac{x}{1+x}\,dx =\ln2-\int_0^1\left(1-\frac1{1+x}\right)dx =2\ln2-1. \]

Por la vía alternativa, ponemos \(t=1+x\) y comprobamos por derivación que \(H(t)=t\ln t-t\) tiene derivada \(\ln t\) para \(t>0\). Entonces \(I=H(2)-H(1)=2\ln2-1\). Ambas vías son válidas sin singularidades, pero destacan reglas distintas: producto/integración por partes frente a composición/sustitución.

SOL-INV-C07-02 — Trayectoria no monótona

Como \(\phi(-1)=\phi(1)=1\), la sustitución orientada de C07 con \(f(u)=u\) produce

\[ \int_{-1}^1\phi(t)\phi'(t)\,dt =\int_1^1u\,du=0. \]

Directamente, \(\phi(t)\phi'(t)=t^2(2t)=2t^3\), impar, y las contribuciones de \([-1,0]\) y \([0,1]\) se cancelan (o se evalúan usando \(t^4/2\)). La función \(\phi\) decrece y luego crece: la orientación, no una supuesta monotonía, explica la cancelación.

SOL-INV-C08-01 — Producto, derivación y cota

Para \(|x|<1\), la serie geométrica converge absolutamente. El producto de Cauchy de dos copias tiene coeficiente \(c_n=\sum_{j=0}^n1=n+1\) y suma \((1-x)^{-2}\). Por otro lado, el Teorema 8.9 autoriza derivar \(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=x/(1-x)\), lo que da exactamente \(\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=(1-x)^{-2}\). Para \(|x|\le r<1\),

\[ \left|\sum_{n=N+1}^{\infty}(n+1)x^n\right|\le\sum_{n=N+1}^{\infty}(n+1)r^n =\frac{r^{N+1}((N+2)-(N+1)r)}{(1-r)^2}. \]

La última igualdad resulta al derivar dentro de \(0\le r<1\) la identidad geométrica de cola \(\sum_{n=N+1}^{\infty}r^{n+1}=r^{N+2}/(1-r)\), o por manipulación de sumas finitas y paso al límite. La cota vale simultáneamente en \([-r,r]\).

SOL-INV-C09-01 — Newton y Herón

Para \(f(x)=x^2-2\), el método de Newton de C09 da \(N_f(x)=x-(x^2-2)/(2x)=(x+2/x)/2\), siempre que \(x>0\). Es exactamente Herón. Si \(s=\sqrt2\), álgebra elemental proporciona

\[ N_f(x)-s=\frac{(x-s)^2}{2x}. \]

Para \(x\ge s\), se obtiene \(0\le e_{n+1}\le e_n^2/(2s)\), y la convergencia desde \(x_0=2\) ya fue probada en INV-C00-01. El Teorema 9.10 generaliza el control cuadrático a raíces simples de funciones \(C^2\) con \(|f'|\) acotada inferiormente y \(|f''|\) superiormente, aunque ya no exista una identidad exacta tan sencilla.

SOL-INV-C10-01 — Mitad de la capacidad

Por el Teorema 10.7, \(y(t)=K/(1+A e^{-r(t-t_0)})\) con \(A=K/y_0-1\). La hipótesis \(0<y_0<K/2\) implica \(A>1\) y la solución es creciente. La ecuación \(y(t)=K/2\) equivale a \(A e^{-r(t-t_0)}=1\), de donde

\[ t_{1/2}=t_0+\frac1r\ln\left(\frac K{y_0}-1\right). \]

Es futuro porque el logaritmo es positivo; la monotonía estricta garantiza unicidad. Si \(y_0=K/2\), el instante es el inicial; si \(y_0>K/2\), la trayectoria positiva tiende a \(K\) desde arriba o desde abajo según el dato, pero no alcanza \(K/2\) en un instante posterior. El factor \(r\) tiene unidades inversas del tiempo, de modo que \(1/r\) es una duración.

SOL-INV-C10-02 — Unicidad por energía

Sea \(w=x_1-x_2\). Satisface \(w''+\omega^2w=0\). La cantidad

\[ E(t)=(w'(t))^2+\omega^2(w(t))^2\ge0 \]

es derivable y \(E'(t)=2w'(t)(w''(t)+\omega^2w(t))=0\). Por el teorema del valor medio, es constante. Si las posiciones y velocidades coinciden en \(t_0\), \(E(t_0)=0\). De \(E\equiv0\) y la positividad de los cuadrados concluimos \(w'=w=0\) en todo el intervalo. Verificar una fórmula explícita es una prueba de existencia; la energía elimina todas las demás soluciones con los mismos dos datos.

SOL-INV-C11-01 — Certificados cruzados

El Teorema Fundamental da \(I=1-e^{-1}\). Como \(|y'(t)|=e^{-t}\le1\) en \([0,1]\), el Teorema 11.3 certifica para cualquier suma etiquetada de \(n\) intervalos iguales \(|S_n-I|\le1/(2n)\). Taylor–Lagrange en torno a cero, aplicado a \(e^x\) en \(x=-1\), tiene resto para grado \(N\) acotado por \(1/(N+1)!\): en el segmento \([-1,0]\), \(e^t\le1\). Por tanto \(|e^{-1}-T_N|\le1/(N+1)!\). Con \(A_N=1-T_N\) se sigue la segunda cota; la tercera procede de la desigualdad triangular:

\[ |S_n-A_N|\le|S_n-I|+|I-A_N|\le\frac1{2n}+\frac1{(N+1)!}. \]

La comparación no utiliza evaluaciones decimales ni supone que dos aproximaciones convergen sólo porque visualmente parecen acercarse.