Laboratorio de problemas de investigación — Elementos del cálculo
Índice del libro · Prefacio · Itinerarios
Estos problemas complementan, sin sustituir ni renumerar, los 338 ejercicios y soluciones del cuerpo del libro. La pregunta se plantea antes de ofrecer un procedimiento, y exige demostrar por qué funciona. Cada solución se encuentra por el mismo identificador en el solucionario independiente. Los problemas se proponen con las herramientas disponibles hasta el capítulo indicado; ninguno presupone Lebesgue, espacios métricos abstractos o Picard–Lindelöf general.
Variación y fundamentos
INV-C00-01 — La iteración de Herón desde la completitud
Sea \(s=\sqrt2\), cuya existencia y unicidad se demostraron en C00. Comenzando con \(x_0=2\), defina \(x_{n+1}=\frac12(x_n+2/x_n)\). Demuestre directamente, sin derivadas, que \(x_n\ge s\), que \(x_n\) es decreciente, que converge a \(s\) y que el error verifica
\[ 0\le x_{n+1}-s=\frac{(x_n-s)^2}{2x_n}\le\frac{(x_n-s)^2}{2s}. \]
¿Por qué resulta más informativo el error exacto que observar sólo valores decimales?
INV-C01-01 — Todas las tangentes a una cúbica por un punto dado
Para \(f(x)=x^3\), use sólo el cociente incremental y la definición de tangente de C01. Dado \(P=(0,b)\), \(b\in\mathbb R\), determine todas las tangentes diferenciales a la gráfica que pasan por \(P\). Compare el número de tangentes con el caso de la parábola \(y=x^2\) del ejercicio 1.22. Explique por qué una intersección única no caracteriza una tangente general.
INV-C02-01 — Una identidad trigonométrica que no depende de derivar
Para \(x>0\), pruebe que \(\arctan x+\arctan(1/x)=\pi/2\) utilizando identidades de suma y los intervalos de las funciones inversas. Compruebe también que la derivada de la suma es cero donde está definida. ¿Por qué esa última comprobación, por sí sola y antes de demostrar el teorema del valor medio, no constituye la demostración solicitada?
INV-C03-01 — De la concavidad del logaritmo a AM–GM ponderada
Sean \(x_1,\ldots,x_n>0\) y \(w_1,\ldots,w_n\ge0\) con \(\sum w_i=1\). A partir de la concavidad estricta de \(\ln\) demostrada en C03, deduzca por inducción
\[ \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\le\sum_{i=1}^n w_i x_i. \]
Determine cuándo hay igualdad, excluyendo los pesos nulos. Explique el papel del orden real y de la monotonía de la exponencial.
Cuadraturas e integración
INV-C04-01 — ¿Cuántas generaciones bastan?
En la construcción parabólica de C04, las generaciones \(0\) a \(n-1\) poseen área poligonal \(P_n=\frac{4T}{3}(1-4^{-n})\). Sin usar integrales, pruebe que el error relativo respecto del valor compatible \(A=4T/3\) es exactamente \(4^{-n}\). Determine el menor entero \(n\) que garantiza error relativo menor que \(10^{-6}\) y explique por qué una suma finita no debe confundirse con el área de la región curva.
INV-C05-01 — Una función con infinitas discontinuidades pero integrable
Defina \(\tau:[0,1]\to\mathbb R\) por \(\tau(x)=0\) si \(x\) es irracional, y \(\tau(p/q)=1/q\) si \(p/q\) es racional en forma irreducible con \(q\ge1\). Pruebe que \(\tau\) es Riemann–Darboux integrable y que \(\int_0^1\tau=0\). Debe construir una partición con diferencia superior–inferior arbitrariamente pequeña, usando la finitud de los racionales con denominador \(q\le N\). No puede apelar a criterios de medida de conjuntos de discontinuidad.
INV-C06-01 — Igual integral no significa igual acumulación
Sea \(f(x)=x\) y \(g(x)=1-x\) sobre \([0,1]\). Verifique que las integrales en todo el intervalo son iguales, pero que sus funciones acumuladoras \(F(t)=\int_0^t f\) y \(G(t)=\int_0^t g\) son distintas para cada \(0<t<1\). Interprete el resultado por la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.
INV-C07-01 — Un área logarítmica por dos caminos
Calcule \(I=\int_0^1\ln(1+x)\,dx\) mediante (a) integración por partes y (b) un cambio de variable seguido de la verificación directa de una primitiva. Compare los dos razonamientos y justifique que no existe una singularidad en \([0,1]\).
INV-C07-02 — Sustitución con una trayectoria que retrocede
Sea \(\phi(t)=t^2\) en \([-1,1]\). Compruebe, sin exigir monotonía,
\[ \int_{-1}^{1}\phi(t)\phi'(t)\,dt=0 \]
por la sustitución orientada de C07 y, de forma independiente, por la paridad de un polinomio. Explique por qué sustituir arbitrariamente por una integral no orientada con límites ordenados perdería información.
Series, aproximación y dinámica
INV-C08-01 — La misma identidad obtenida dos veces
Para \(|x|<1\), pruebe \(\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=(1-x)^{-2}\) de dos formas: producto de Cauchy de series geométricas y derivación término a término. Luego, para \(0\le r<1\) y \(|x|\le r\), demuestre la cota de cola
\[ \left|\sum_{n=N+1}^{\infty}(n+1)x^n\right|\le\frac{r^{N+1}[(N+2)-(N+1)r]}{(1-r)^2}. \]
INV-C09-01 — De Herón a la convergencia cuadrática de Newton
Reexamine la iteración de INV-C00-01 como método de Newton para \(f(x)=x^2-2\). Demuestre que la fórmula de Newton coincide exactamente con la de Herón y que el error satisface la relación cuadrática obtenida antes de disponer del cálculo. Identifique qué aporta adicionalmente el teorema local general de C09.
INV-C10-01 — El tiempo para alcanzar la mitad de la capacidad
En la ecuación logística \(y'=r y(1-y/K)\) con \(r,K>0\), suponga \(0<y_0<K/2\) en el instante \(t_0\). Determine el único instante futuro en que \(y(t)=K/2\), expresando la respuesta en términos de \(r,K,y_0\). Justifique signo, dominio y unidades; discuta por qué la fórmula de tiempo no daría un evento futuro si \(y_0>K/2\).
INV-C10-02 — Una identidad de energía sin resolver una EDO nueva
Sean \(x_1,x_2\) dos soluciones \(C^2\) de \(x''+\omega^2x=0\) en un intervalo, con \(\omega>0\). Construya una magnitud no negativa, en términos de la diferencia \(w=x_1-x_2\), cuya derivada sea idénticamente cero. Deduzca unicidad para posición y velocidad iniciales coincidentes, y explique por qué el procedimiento constituye una prueba distinta de la verificación explícita de las fórmulas trigonométricas.
INV-C11-01 — Dos certificados independientes para una acumulación
Para \(y(t)=e^{-t}\) en \([0,1]\), llamemos \(I=\int_0^1y(t)\,dt\). Por un lado, tome cualquier suma etiquetada \(S_n\) sobre \(n\) intervalos iguales; por otro, defina \(T_N=\sum_{k=0}^N(-1)^k/k!\) y \(A_N=1-T_N\). Demuestre, con los teoremas de C06, C09 y C11,
\[ |S_n-I|\le\frac1{2n},\qquad |A_N-I|\le\frac1{(N+1)!},\qquad |S_n-A_N|\le\frac1{2n}+\frac1{(N+1)!}. \]
¿Por qué las dos cotas pueden contrastarse sin depender de observaciones decimales?