Límite de una función en un punto
El concepto de límite permite describir el comportamiento de una función cerca de un punto sin exigir que la función esté definida en ese punto ni que su valor allí coincida con el valor límite.
Si
\[ f:D\to\mathbb R, \qquad D\subseteq\mathbb R, \]
queremos dar sentido preciso a una afirmación como
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L. \]
La idea informal es sencilla: podemos hacer que \(f(x)\) esté tan cerca de \(L\) como queramos si obligamos a \(x\) a estar suficientemente cerca de \(a\), pero sin exigir \(x=a\).
Intuición
Un límite relaciona dos controles de proximidad:
- controlamos qué tan cerca debe estar \(f(x)\) de \(L\);
- respondemos diciendo qué tan cerca debe estar \(x\) de \(a\).
La variable \(x\) se aproxima a \(a\) y, como consecuencia, los valores \(f(x)\) quedan forzados a aproximarse a \(L\).
Acercarse no significa llegar
La expresión
\[ x\to a \]
no significa que en algún momento debamos sustituir \(x=a\).
El límite estudia lo que ocurre para puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(a\).
Por eso, en la definición aparecerá la condición
\[ 0<|x-a|. \]
El signo estricto excluye precisamente el punto \(x=a\).
Esto tendrá una consecuencia fundamental:
cambiar solamente el valor \(f(a)\) no cambia el límite de \(f\) cuando \(x\to a\).
Punto de acumulación del dominio
Antes de definir el límite necesitamos asegurar que realmente existan puntos del dominio que puedan acercarse a \(a\).
Punto de acumulación
Sea \(D\subseteq\mathbb R\). Decimos que \(a\in\mathbb R\) es un punto de acumulación de \(D\) si para todo \(\delta>0\) existe algún \(x\in D\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta. \]
Es decir, cualquier entorno de \(a\), por pequeño que sea, contiene algún punto de \(D\) distinto de \(a\).
No es necesario que
\[ a\in D. \]
Lo único necesario para hablar del límite en \(a\) es que haya puntos de \(D\) distintos de \(a\) arbitrariamente cercanos a él.
Por qué esta condición importa
Si \(a\) fuera un punto aislado del dominio, podríamos elegir un \(\delta\) tan pequeño que no hubiera ningún \(x\in D\) con
\[ 0<|x-a|<\delta. \]
Entonces la condición de la definición de límite se cumpliría vacíamente para cualquier número \(L\), y el límite dejaría de ser único.
Exigir que \(a\) sea punto de acumulación evita esta degeneración.
La notación de límite
Escribimos
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}f(x)=L } \]
para expresar que los valores de \(f(x)\) se aproximan a \(L\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\) dentro del dominio de la función.
La notación contiene tres elementos distintos:
- \(x\to a\): comportamiento de la variable de entrada;
- \(f(x)\): valores de la función;
- \(L\): valor al que queremos que se aproximen esos valores.
La definición épsilon-delta
La intuición de proximidad se vuelve rigurosa mediante dos números positivos:
- \(\varepsilon\) controla la distancia permitida entre \(f(x)\) y \(L\);
- \(\delta\) controla la distancia permitida entre \(x\) y \(a\).
Definición de límite
Sea
\[ f:D\to\mathbb R, \]
y sea \(a\) un punto de acumulación de \(D\). Decimos que
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]
si para todo \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ 0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
En símbolos,
\[ \boxed{ \forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\forall x\in D: \quad 0<|x-a|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon } \]
Ésta es la definición central.
Qué significan \(\varepsilon\) y \(\delta\)
La desigualdad
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
equivale a
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
Así, queremos que los valores de la función entren en el intervalo
\[ (L-\varepsilon,L+\varepsilon). \]
Por otra parte,
\[ |x-a|<\delta \]
equivale a
\[ a-\delta<x<a+\delta. \]
Como además exigimos \(x\ne a\), estamos considerando el entorno perforado
\[ (a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}. \]
La definición puede entonces leerse así:
dado cualquier intervalo de tolerancia alrededor de \(L\), por estrecho que sea, podemos encontrar un entorno perforado suficientemente pequeño alrededor de \(a\) cuyos puntos del dominio se envían dentro de ese intervalo alrededor de \(L\).
En forma conjuntista:
\[ x\in D\cap\big((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}\big) \quad\Longrightarrow\quad f(x)\in(L-\varepsilon,L+\varepsilon). \]
El orden de los cuantificadores
Una parte esencial de la definición es el orden
\[ \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0. \]
Primero se fija una precisión de salida \(\varepsilon\). Después debemos encontrar una precisión de entrada \(\delta\) que garantice esa exigencia.
El número \(\delta\) puede depender de \(\varepsilon\).
Lo que no puede ocurrir es escoger un \(\delta\) diferente para cada punto \(x\) una vez que \(\varepsilon\) ya ha sido fijado. El mismo \(\delta\) debe funcionar para todos los puntos del dominio que satisfagan
\[ 0<|x-a|<\delta. \]
Error frecuente
No basta demostrar la condición para un solo valor de \(\varepsilon\), como \(\varepsilon=0.1\).
La definición exige que podamos responder a todo \(\varepsilon>0\), por pequeño que sea.
Ejemplo riguroso: una función lineal
Consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=3x+1. \]
Vamos a demostrar directamente que
\[ \lim_{x\to2}(3x+1)=7. \]
Sea \(\varepsilon>0\). Queremos conseguir
\[ |f(x)-7|<\varepsilon. \]
Calculamos:
\[ |f(x)-7| =|3x+1-7| =|3x-6| =3|x-2|. \]
Por tanto, basta imponer
\[ 3|x-2|<\varepsilon, \]
o equivalentemente
\[ |x-2|<\frac{\varepsilon}{3}. \]
Elegimos entonces
\[ \boxed{\delta=\frac{\varepsilon}{3}}. \]
Si
\[ 0<|x-2|<\delta, \]
entonces
\[ |f(x)-7| =3|x-2| <3\delta =\varepsilon. \]
Así queda demostrada la afirmación.
Patrón de una demostración épsilon-delta
- Parte del objetivo \[ |f(x)-L|<\varepsilon. \]
- Relaciona esa distancia con \(|x-a|\).
- Determina una elección de \(\delta\) en función de \(\varepsilon\).
- Vuelve al comienzo y escribe la demostración en el orden lógico correcto: dado \(\varepsilon\), eliges \(\delta\) y verificas la implicación.
El valor en el punto puede no existir
Consideremos la función
\[ g:\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R, \qquad g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
La función no está definida en \(x=1\). Sin embargo, para todo \(x\ne1\),
\[ g(x) =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1. \]
Por tanto, cerca de \(1\) pero fuera de \(1\), la función se comporta exactamente como \(x+1\).
Vamos a demostrar que
\[ \boxed{ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. } \]
Sea \(\varepsilon>0\). Elegimos
\[ \delta=\varepsilon. \]
Si
\[ 0<|x-1|<\delta, \]
entonces \(x\ne1\) y
\[ \left| \frac{x^2-1}{x-1}-2 \right| =|x+1-2| =|x-1| <\delta =\varepsilon. \]
El límite existe aunque \(g(1)\) no exista.
El límite no es el valor de la función
Las expresiones
\[ \lim_{x\to a}f(x) \]
y
\[ f(a) \]
son conceptualmente distintas.
Puede ocurrir que:
- ambas existan y sean iguales;
- ambas existan pero sean diferentes;
- el límite exista aunque \(f(a)\) no esté definido;
- \(f(a)\) exista pero el límite no exista.
La coincidencia entre límite y valor de la función será precisamente una parte central de la noción de continuidad.
El límite es una propiedad local
Para determinar el límite en \(a\) sólo importa lo que una función hace suficientemente cerca de \(a\).
Principio de localidad
Sean
\[ f:D\to\mathbb R, \qquad g:E\to\mathbb R, \]
y supongamos que \(a\) es punto de acumulación de ambos dominios. Si existe un \(r>0\) tal que, para todo \(x\) con
\[ 0<|x-a|<r, \]
se cumple
\[ x\in D\iff x\in E \]
y, para esos puntos del dominio,
\[ f(x)=g(x), \]
entonces \(f\) y \(g\) tienen exactamente el mismo comportamiento límite en \(a\): si una tiene límite \(L\), la otra también tiene límite \(L\).
En otras palabras, dentro de algún entorno perforado de \(a\) deben coincidir tanto los puntos relevantes de los dominios como los valores de las funciones. Cualquier control épsilon-delta válido para una sirve entonces para la otra tras reemplazar \(\delta\) por
\[ \min\{\delta,r\}, \]
si es necesario.
El ejemplo anterior usa justamente este principio. La función
\[ g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\ne1, \]
y la función
\[ h(x)=x+1 \]
tienen los mismos puntos de dominio y los mismos valores en todo entorno perforado de \(1\), aunque \(h\) sí esté definida en \(1\) y \(g\) no.
El límite, si existe, es único
Una misma función no puede aproximarse a dos números distintos en el sentido de la definición épsilon-delta.
Teorema de unicidad del límite
Sea \(a\) un punto de acumulación del dominio de \(f\). Si
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]
y también
\[ \lim_{x\to a}f(x)=M, \]
entonces
\[ \boxed{L=M}. \]
Demostración
Supongamos, buscando una contradicción, que
\[ L\ne M. \]
Entonces
\[ d=|L-M|>0. \]
Tomemos
\[ \varepsilon=\frac d3. \]
Como \(f(x)\to L\), existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac d3. \]
Como también \(f(x)\to M\), existe \(\delta_2>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-M|<\frac d3. \]
Sea
\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]
Como \(a\) es punto de acumulación del dominio, existe algún \(x\) del dominio tal que
\[ 0<|x-a|<\delta. \]
Para ese \(x\), por la desigualdad triangular,
\[ |L-M| \le |L-f(x)|+|f(x)-M| <\frac d3+\frac d3 =\frac{2d}{3}. \]
Pero \(|L-M|=d\), así que obtendríamos
\[ d<\frac{2d}{3}, \]
lo cual es imposible porque \(d>0\).
Por tanto,
\[ L=M. \]
Un ejemplo donde el límite no existe
Definamos
\[ s:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R \]
por
\[ s(x)= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases} \]
Intuitivamente, al acercarnos a \(0\) por valores negativos obtenemos siempre \(-1\), mientras que al acercarnos por valores positivos obtenemos siempre \(1\).
Podemos demostrar directamente que no existe un número \(L\) tal que
\[ \lim_{x\to0}s(x)=L. \]
Supongamos que sí existiera. Tomemos
\[ \varepsilon=\frac12. \]
Entonces existiría un \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |s(x)-L|<\frac12. \]
Consideremos los dos puntos
\[ x_+=\frac\delta2, \qquad x_-=-\frac\delta2. \]
Ambos satisfacen
\[ 0<|x_\pm|<\delta. \]
Por tanto,
\[ |1-L|<\frac12 \]
y
\[ |-1-L|<\frac12. \]
Pero entonces, usando la desigualdad triangular,
\[ 2 =|1-(-1)| \le |1-L|+|L+1| <1, \]
una contradicción.
Luego el límite bilateral en \(0\) no existe.
Este ejemplo prepara la necesidad de distinguir posteriormente entre aproximación por la izquierda y aproximación por la derecha.
Sustituir no es la definición de límite
En ejemplos sencillos puede parecer que basta reemplazar \(x\) por \(a\) en la fórmula de la función.
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to2}(3x+1)=7 \]
coincide con
\[ f(2)=7. \]
Pero el ejemplo
\[ \frac{x^2-1}{x-1} \]
muestra que un límite puede existir incluso cuando no podemos sustituir directamente \(x=a\).
Más adelante demostraremos reglas que permiten calcular muchos límites sin repetir una prueba épsilon-delta desde cero. Esas reglas serán consecuencias de la teoría, no sustitutos de la definición.
Errores frecuentes
Al trabajar con límites conviene evitar estas confusiones:
- identificar automáticamente \(\lim_{x\to a}f(x)\) con \(f(a)\);
- olvidar que la condición usa \(0<|x-a|\), no sólo \(|x-a|\);
- elegir \(\delta\) dependiendo del punto \(x\) en vez de hacerlo depender de \(\varepsilon\);
- verificar un único valor de \(\varepsilon\);
- creer que una gráfica aproximada constituye por sí sola una demostración rigurosa;
- olvidar que \(a\) debe ser un punto de acumulación del dominio para la definición estándar usada aquí.
Comprobación conceptual
Cómo leer una afirmación de límite
Ante
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \]
comprueba mentalmente:
- ¿hay puntos del dominio distintos de \(a\) arbitrariamente cerca de \(a\)?
- ¿qué significa \(|f(x)-L|<\varepsilon\) en términos de proximidad?
- ¿qué condición sobre \(|x-a|\) garantiza esa proximidad?
- ¿la elección de \(\delta\) funciona para todos los puntos pertinentes del dominio?
- ¿estoy usando accidentalmente el valor \(f(a)\), que la definición no necesita?
La estructura esencial puede condensarse así:
\[ \boxed{ \text{tolerancia en la salida} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \text{elección de }\delta \xrightarrow{} \text{control de la entrada} \Longrightarrow \text{control de }f(x) } \]
Relaciones
- Prerrequisitos: Valor absoluto y desigualdades básicas (
MA-CON-0002); Intervalos e intersección de conjuntos reales (MA-CON-0004); Propiedades del orden en ℝ y manipulación de desigualdades (MA-CON-0005); Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen (MA-CON-0007). - Contenidos relacionados: Dominio de funciones reales con radicales (
MA-CON-0003); Funciones inversas (MA-CON-0010). - Siguiente paso natural: límites laterales y criterio para la existencia del límite bilateral.