Ejercicios — Capítulo 22
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Las soluciones completas están en ANM-C22_SOLUCIONES.md. Declara intervalo, lista de nodos y familia de etiquetas; justifica el orden, cada denominador y el alcance universal de una cota. Usa sólo sumas finitas, no antiderivadas, Darboux o teorema fundamental.
22.1. Lista o dibujo
Decide cuáles de \((0,1/2,1)\), \((0,1/2,1/2,1)\) y \((0,3/4,1/4,1)\) son particiones de \([0,1]\).
22.2. Longitudes que telescopan
Calcula anchuras de \(P=(-1,-1/4,1/2,2)\) y demuestra la suma general por inducción.
22.3. Una entrada en su pieza
Para la partición del ejercicio anterior localiza \(t=0\) y \(t=2\); demuestra la cobertura general.
22.4. Cerrar no es separar
Explica el solapamiento de piezas cerradas y construye una cobertura disjunta para \((0,1/3,2/3,1)\).
22.5. El tipo de los objetos
Describe una codificación de todas las particiones como conjunto y exhibe un elemento.
22.6. Insertar sin repetir
Inserta \(t=2/5\) en \((0,1/4,3/4,1)\); identifica las dos anchuras nuevas.
22.7. La unión que compara
Construye el menor refinamiento común de \((0,1/2,1)\) y \((0,1/3,2/3,1)\) y justifica minimalidad.
22.8. Un nodo antiguo
Explica por qué insertar \(1/2\) en \((0,1/2,1)\) no añade una pieza válida.
22.9. Orden de resolución
Demuestra reflexividad, transitividad y antisimetría de \(\preceq\).
22.10. Mover no es añadir
Compara \((0,1/2,1)\) y \((0,1/3,2/3,1)\) bajo refinamiento; explica cómo corregir la comparación.
22.11. Máximo o promedio
Calcula malla y anchura media de \((0,1/4,1)\); demuestra \((b-a)/n\le\|P\|\).
22.12. Cada hija tiene padre
Demuestra que \(P\preceq Q\) implica \(\|Q\|\le\|P\|\).
22.13. Más piezas, mismo defecto
Construye una cadena de refinamientos de \([0,1]\) con número de piezas creciente y malla1/2.
22.14. Resolución prescrita
Construye una partición de \([-1,2]\) con malla estrictamente menor que1/10.
22.15. Conservar y mejorar
Dada \(P\) y \(\delta>0\), prueba que hay un refinamiento de \(P\) de malla menor que \(\delta\).
22.16. Lineal con tres etiquetas
Para \(f(x)=x\) y \((0,1/2,1)\) calcula sumas izquierda, media y derecha.
22.17. Acumular con signo
Para \(f(x)=2x-1\) y la misma partición calcula las tres sumas y explica la cancelación media.
22.18. Álgebra de una suma
Demuestra linealidad y preservación de orden con partición y etiquetas fijas.
22.19. Compartir una etiqueta
En \((0,1/2,1)\) usa la etiqueta1/2 para ambas piezas. ¿Es válida? Calcula la suma de \(x^2\).
22.20. Cota sin máximo
Si \(-2\le f\le3\) en \([-1,2]\), acota todas las sumas y su valor absoluto.
22.21. Etiquetas que cambian
Demuestra la cota de diferencia de etiquetas y aplícala a \(f(x)=x\) en una partición de \([0,1]\).
22.22. De muestras a todas las entradas
Explica por qué dos alturas casi iguales no proporcionan una cota local universal.
22.23. Comparar con hijas
Prueba la cota \(L\|P\|(b-a)\) entre una suma sobre \(P\) y otra sobre un refinamiento bajo Lipschitz.
22.24. Una suma puede ir a ambos lados
Da dos sumas de un mismo refinamiento que estén a ambos lados de la suma media1/2 de \(x\) en la partición trivial.
22.25. Dos resoluciones distintas
Si \(f\) es Lipschitz3 en \([0,2]\) y las mallas de \(P,Q\) son≤1/10 y≤1/20, acota cualquier diferencia de sus sumas.
22.26. Un escalón firmado
Sea \(s=2\) en \((0,1/3)\) y \(s=-1\) en \((1/3,1)\) con valores nodales arbitrarios. Calcula \(A\) y prueba invariancia por una inserción.
22.27. Una etiqueta excepcional
Para la función cero salvo \(s(1/2)=10\), toma \((0,1/2,1)\) con ambas etiquetas en1/2. Compara \(S\) y \(A\).
22.28. Dos piezas por punto
Prueba la cota \(2kD\|P\|\) para funciones que sólo difieren en \(k\) puntos y \(|f-g|\le D\).
22.29. Sin alinear los cortes
Demuestra el certificado \(4B(m+1)\|P\|\) para un escalón con \(m\) piezas y \(|s|\le B\).
22.30. Representación duplicada
Representa la constante3 en \([0,2]\) con una pieza y con cortes1/2 y3/2; demuestra que ambas acumulaciones valen6.
22.31. El orden de los cuantificadores
Escribe el contrato de integral y explica qué falla si el radio se permite depender de una partición ya elegida.
22.32. Un valor único
Demuestra unicidad del valor integral incluyendo una partición que satisfaga los dos radios.
22.33. Un radio efectivo
Si todas las sumas cumplen \(|S-I|\le5\|P\|\) en \([0,1]\), produce radio para tolerancia1/100 y número uniforme suficiente.
22.34. Cambiar finitos valores
Si \(f\) es integrable y \(g\) difiere sólo en \(k\) puntos por diferencias≤\(D\), demuestra misma integral.
22.35. De universal a una sucesión
Sea \(\|P_r\|\to0\) con etiquetas dadas. Demuestra convergencia de las sumas si \(f\) es integrable y distingue la recíproca no demostrada.
22.36. Una integral sin antiderivada
Demuestra integral de \(x\) en \([-1,2]\) usando puntos medios y da certificado.
22.37. Afín y firmada
Calcula la integral de \(2x-1\) en \([0,1]\) mediante sumas finitas y certificado.
22.38. El cubo controla el cuadrado
Prueba el certificado universal de \(x^2\) en \([0,1]\) y su valor integral.
22.39. Cuatro piezas no son el límite
Calcula sumas izquierda, derecha y media de \(x^2\) en uniforme de cuatro piezas, justificando las identidades de sumas.
22.40. Resolución de una tolerancia
Elige una uniforme que certifique error de \(x^2\) menor que1/100 para todas sus etiquetas; compara con el error de sus puntos medios.