Soluciones — Capítulo 22
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22.1. Lista o dibujo
La lista \((0,1/2,1)\) cumple \(0<1/2<1\) y conserva los dos extremos, así es una partición. En \((0,1/2,1/2,1)\) aparece una comparación de igualdad y la anchura correspondiente es cero. La tercera lista tiene \(3/4>1/4\), por lo que deja de crecer y produce una anchura negativa. Sólo la primera satisface todas las condiciones del contrato.
22.2. Longitudes que telescopan
Las anchuras son \(-1/4-(-1)=3/4\), \(1/2-(-1/4)=3/4\) y \(2-1/2=3/2\). Su suma vale \(3=2-(-1)\). Para una pieza, la suma general es \(x_1-x_0\). Si hasta la pieza \(r\) vale \(x_r-x_0\), añadir \(x_{r+1}-x_r\) deja \(x_{r+1}-x_0\). La inducción finita prueba la identidad de longitudes para cualquier partición.
Retorno visual. Véase C22-F01, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
22.3. Una entrada en su pieza
Cero queda en \([-1/4,1/2]\), la segunda pieza, y dos en \([1/2,2]\), la última. Para una entrada \(t<b\), el conjunto de índices con \(t<x_j\) es no vacío porque contiene a \(n\). Su mínimo \(j\) es positivo y la minimalidad da \(x_{j-1}\le t<x_j\). Para \(t=b\) se usa directamente la última pieza, existente porque \(n\ge1\). Así todo el segmento queda cubierto.
22.4. Cerrar no es separar
Las piezas cerradas comparten sus nodos interiores: un tercio está en las dos primeras y dos tercios en las dos últimas. Una cobertura disjunta es \([0,1/3]\), \((1/3,2/3]\) y \((2/3,1]\). Los nodos compartidos se asignan ahora a una sola pieza y las demás entradas conservan su ubicación. La unión sigue siendo \([0,1]\) y las longitudes son las mismas.
22.5. El tipo de los objetos
Una partición puede codificarse por \((n,p)\), donde \(n\in\mathbb N\), \(n\ge1\) y \(p:\{0,\ldots,n\}\to[a,b]\). Los grafos de esas funciones pertenecen al conjunto \(\mathcal P(\mathbb N\times[a,b])\), así un ambiente para los códigos es \(\mathbb N\times\mathcal P(\mathbb N\times[a,b])\). Separar los códigos con extremos \(p(0)=a\), \(p(n)=b\) y crecimiento estricto define el conjunto de particiones. El código con \(n=1\) y valores \(a,b\) pertenece a él porque \(a<b\).
22.6. Insertar sin repetir
Las desigualdades \(1/4<2/5<3/4\) localizan la inserción en la segunda pieza. La nueva lista es \((0,1/4,2/5,3/4,1)\). Sus dos anchuras nuevas son \(2/5-1/4=3/20\) y \(3/4-2/5=7/20\), ambas positivas y con suma \(1/2\). Las otras dos anchuras siguen siendo \(1/4\). Se conserva cada corte antiguo y se añade una pieza.
22.7. La unión que compara
La unión de nodos ordenada es \((0,1/3,1/2,2/3,1)\). Contiene ambas listas originales, por lo que las refina. Cualquier refinamiento común debe contener cada nodo de una u otra y por tanto esta unión; de ahí que sea el menor. Las anchuras son \(1/3,1/6,1/6,1/3\), todas positivas y con suma uno.
Retorno visual. Véase C22-F02, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
22.8. Un nodo antiguo
El punto medio ya pertenece al conjunto de nodos. Insertar una segunda copia produciría dos coordenadas consecutivas iguales y anchura cero. La inserción válida deja la lista \((0,1/2,1)\) como estaba. Su conjunto ordenado de nodos no contiene una nueva pieza.
22.9. Orden de resolución
Reflexividad y transitividad proceden de las mismas propiedades de inclusión de conjuntos de nodos. Para antisimetría, \(P\preceq Q\) y \(Q\preceq P\) implican \(V(P)=V(Q)\). Un conjunto finito de reales tiene una única lista estrictamente creciente: su primera entrada es el mínimo y, al retirarla, la inducción determina las restantes. Así las listas y sus longitudes coinciden y \(P=Q\).
22.10. Mover no es añadir
La segunda lista no contiene el nodo \(1/2\) y la primera no contiene \(1/3\) ni \(2/3\). Ninguna conserva todos los nodos de la otra, así son incomparables bajo refinamiento. Su unión ordenada sí da un refinamiento común. Mover un corte o comparar sólo el número de piezas no sustituye la inclusión requerida.
22.11. Máximo o promedio
Las anchuras son \(1/4\) y \(3/4\), por lo que la malla es \(3/4\) y el promedio \(1/2\). En general, cada \(\Delta_i\le\|P\|\). Sumar las \(n\) desigualdades y usar telescopía da \(b-a\le n\|P\|\). La copia real de \(n\ge1\) es positiva, y dividir entrega \((b-a)/n\le\|P\|\).
22.12. Cada hija tiene padre
Sean \(u<v\) dos nodos consecutivos de \(Q\). Ningún nodo de \(P\) puede quedar estrictamente entre ellos, pues también sería nodo de \(Q\). Por ello la pieza \([u,v]\) está contenida en algún padre de \(P\). Su anchura no supera la del padre, que a su vez no supera \(\|P\|\). Tomar el máximo de todas las anchuras nuevas da \(\|Q\|\le\|P\|\).
Retorno visual. Véase C22-F03, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
22.13. Más piezas, mismo defecto
Para \(k\ge0\) tomamos los nodos cero, un medio y \(1/2+j/2^{k+1}\) para \(1\le j\le2^k\). Los nuevos cortes sólo subdividen la mitad derecha y los cortes anteriores se conservan. La mitad izquierda sigue siendo una pieza de anchura \(1/2\), mientras todas las derechas miden \(1/2^{k+1}\le1/2\). La malla es siempre \(1/2\), aunque el número de piezas \(2^k+1\) crece sin cota.
22.14. Resolución prescrita
El segmento tiene longitud tres. Una uniforme de treinta y una piezas tiene nodos \(x_i=-1+3i/31\) y anchura \(3/31<1/10\). Su lista es estrictamente creciente y va de menos uno a dos. Con treinta piezas se obtendría malla exactamente \(1/10\), insuficiente para el pedido estricto.
22.15. Conservar y mejorar
Arquimedianidad da un natural \(n>(b-a)/\delta\), y la uniforme \(U_n\) cumple \(\|U_n\|<\delta\). Formamos el refinamiento común \(R\) con los nodos de \(P\) y \(U_n\). Conserva todos los cortes de \(P\) y su malla no supera la de \(U_n\). Por tanto \(P\preceq R\) y \(\|R\|<\delta\).
22.16. Lineal con tres etiquetas
Las dos anchuras son \(1/2\). Las etiquetas izquierdas \((0,1/2)\) dan \(0\cdot1/2+(1/2)\cdot1/2=1/4\). Las medias \((1/4,3/4)\) dan \(1/2\), y las derechas \((1/2,1)\) dan \(3/4\). La función y partición son las mismas; sólo cambia la familia de alturas. Estas sumas finitas todavía no son iguales entre sí.
22.17. Acumular con signo
Para \(2x-1\), las alturas izquierdas son menos uno y cero, las medias menos un medio y un medio, y las derechas cero y uno. Ponderar cada pareja por las anchuras \(1/2\) produce sumas \(-1/2\), cero y \(1/2\). En la media se cancelan contribuciones \(-1/4\) y \(1/4\). El resultado describe acumulación firmada; las magnitudes geométricas de ambas regiones no se cancelarían.
Retorno visual. Véase C22-F04, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
22.18. Álgebra de una suma
Con partición y etiquetas fijas, sustituimos \((\alpha f+\beta g)(\xi_i)=\alpha f(\xi_i)+\beta g(\xi_i)\). La distributividad de sumas finitas da \(S(\alpha f+\beta g)=\alpha S(f)+\beta S(g)\). Si \(f\le g\), cada término \((g(\xi_i)-f(\xi_i))\Delta_i\) es no negativo porque la anchura es positiva. Sumar prueba \(S(f)\le S(g)\).
22.19. Compartir una etiqueta
La etiqueta \(1/2\) pertenece tanto a \([0,1/2]\) como a \([1/2,1]\), así es válida en ambas. Para el cuadrado, ambas alturas valen \(1/4\). La suma es \((1/4)(1/2)+(1/4)(1/2)=1/4\). Las etiquetas siguen siendo dos datos indexados aunque coincida su coordenada.
22.20. Cota sin máximo
La longitud de \([-1,2]\) es tres. Comparar las alturas con constantes da \(-2\cdot3\le S\le3\cdot3\), es decir \(-6\le S\le9\). La triangular y \(|f|\le3\) dan además \(|S|\le9\). Las barreras protegen todas las entradas sin exigir que exista un argumento de máximo o mínimo.
22.21. Etiquetas que cambian
Restar sumas con las mismas anchuras da \(S_\xi-S_\eta=\sum_i(f(\xi_i)-f(\eta_i))\Delta_i\). Por triangular, su magnitud no supera \(\sum_i|f(\xi_i)-f(\eta_i)|\Delta_i\). Para la identidad, cada diferencia es \(|\xi_i-\eta_i|\le\Delta_i\). En \([0,1]\) resulta \(|S_\xi-S_\eta|\le\sum_i\Delta_i^2\le\|P\|\), porque las anchuras suman uno.
22.22. De muestras a todas las entradas
En una pieza de longitud positiva tomamos dos entradas muestreadas y una tercera distinta. Una función puede valer cero en las dos primeras y una altura \(H\) arbitrariamente grande en la tercera. Las muestras coinciden exactamente, pero usar la tercera como etiqueta cambia su contribución en \(H\) por la anchura. La cota local que protege cualquier etiqueta debe limitar todas las parejas de entradas de la pieza.
22.23. Comparar con hijas
En cada padre \(I_i\), las anchuras de sus hijas suman \(\Delta_i\). Reescribimos la contribución antigua como \(\sum_{J\subseteq I_i}f(\xi_i)|J|\). La etiqueta de cada hija y la antigua están en ese padre, de modo que Lipschitz limita su diferencia de alturas por \(L\Delta_i\). Ponderar por las longitudes hijas y sumar da \(L\Delta_i^2\). Finalmente, la triangular entrega \(|S_P-S_Q|\le L\sum_i\Delta_i^2\le L\|P\|(b-a)\).
22.24. Una suma puede ir a ambos lados
La partición trivial \((0,1)\) con etiqueta media produce suma \(1/2\) para la identidad. En el refinamiento \((0,1/2,1)\), las etiquetas izquierdas producen \(1/4\) y las derechas \(3/4\). Una queda por debajo y otra por encima de la suma antigua. Refinar conserva cortes, pero no decide un sentido de cambio para sumas etiquetadas.
Retorno visual. Véase C22-F05, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
22.25. Dos resoluciones distintas
Tomamos el refinamiento común y una familia explícita de etiquetas en él, por ejemplo las izquierdas. Cada suma original se compara con esa tercera usando su malla y la barrera Lipschitz tres. La triangular da \(|S_P-S_Q|\le3\cdot2(\|P\|+\|Q\|)\le6(1/10+1/20)=9/10\). La cota protege todas las etiquetas originales y no identifica todavía un valor integral.
22.26. Un escalón firmado
La acumulación es \(A=2(1/3)+(-1)(2/3)=0\). Insertar un corte \(t\) dentro de una región constante de altura \(c\) conserva su contribución porque \(c(t-u)+c(v-t)=c(v-u)\). Las demás regiones quedan intactas. Los valores nodales arbitrarios no aparecen en esta fórmula; su efecto sobre sumas etiquetadas se controla por otro argumento.
22.27. Una etiqueta excepcional
Las dos etiquetas iguales a un medio leen la altura excepcional diez. Con anchuras medias, \(S=10/2+10/2=10\). Las constantes interiores de ambos lados son cero y su acumulación \(A\) es cero. Esta diferencia pertenece a una suma concreta de malla \(1/2\); al reducir la malla el certificado limita cuánto pueden pesar etiquetas excepcionales.
Retorno visual. Véase C22-F06, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
22.28. Dos piezas por punto
Un término sólo cambia si su etiqueta es alguno de los \(k\) puntos modificados. Cada punto pertenece como máximo a dos piezas cerradas, así hay a lo sumo \(2k\) términos afectados. Cada uno tiene magnitud a lo sumo \(D\Delta_i\le D\|P\|\). La triangular da \(|S_f-S_g|\le2kD\|P\|\). Si \(k=0\) o \(D=0\), las sumas coinciden.
22.29. Sin alinear los cortes
Refinamos \(P\) añadiendo los \(m+1\) nodos del escalón y calculamos \(A\) con sus constantes interiores en las piezas hijas. Un padre que no toca esos nodos queda dentro de una región constante y aporta exactamente lo mismo que sus hijas. Los padres restantes son a lo sumo \(2(m+1)\) y su longitud total no supera \(2(m+1)\|P\|\). En cada uno, la diferencia entre su altura y cualquier altura hija no supera \(2B\). Ponderar y sumar produce \(|S-A|\le4B(m+1)\|P\|\), aun si el recuento repite algún padre.
22.30. Representación duplicada
Una única pieza de longitud dos y altura tres aporta seis. Con cortes \(1/2\) y \(3/2\), las anchuras son \(1/2\), uno y \(1/2\), y las contribuciones \(3/2\), tres y \(3/2\) suman seis. La identidad de longitudes explica esta igualdad para cualquier subdivisión de una región constante. Dos representaciones generales se comparan mediante su refinamiento común.
22.31. El orden de los cuantificadores
El contrato pide un real \(I\) tal que para cada \(\varepsilon>0\) exista \(\delta>0\) y para toda partición etiquetada con \(\|P\|<\delta\) se cumpla \(|S-I|<\varepsilon\). Si se permite elegir el radio después de una partición particular, puede tomarse \(\delta\le\|P\|\) y dejar falsa la premisa de esa implicación. Ese truco no controla las particiones realmente finas. El radio debe responder a la tolerancia antes de examinar cualquier partición o etiqueta.
22.32. Un valor único
Si \(I\ne J\), fijamos \(d=|I-J|>0\) y obtenemos radios para error \(d/3\) de ambos contratos. Arquimedianidad da una uniforme de malla menor que su mínimo. Con etiquetas izquierdas explícitas, su suma \(S\) cumple ambos errores. La triangular da \(d\le|I-S|+|S-J|<2d/3\), contradicción. La partición construida muestra que la prueba aplica a una suma existente.
22.33. Un radio efectivo
La barrera cinco pide malla estrictamente menor que \((1/100)/5=1/500\). Por ello sirve radio \(\delta=1/500\). Una uniforme de quinientas una piezas en \([0,1]\) tiene malla \(1/501<\delta\) y garantiza el desafío. Con quinientas, la cota sólo daría error menor o igual que \(1/100\), insuficiente para garantizar estrictitud.
Retorno visual. Véase C22-F07, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
22.34. Cambiar finitos valores
Con los mismos datos, \(|S_g-I|\le|S_g-S_f|+|S_f-I|\). Pedimos primero a la integrabilidad de \(f\) un radio para error \(\varepsilon/2\). Si \(kD>0\), la cota de modificación finita queda menor que \(\varepsilon/2\) al exigir además malla menor que \(\varepsilon/(4kD)\). El mínimo de ambos radios protege cualquier suma de \(g\). Si \(kD=0\), las sumas coinciden y basta el primer radio. Así \(g\) cumple el contrato con el mismo \(I\).
22.35. De universal a una sucesión
Para una tolerancia \(\varepsilon\), el contrato universal entrega \(\delta>0\). Como las mallas dadas tienden a cero, existe un índice \(N\) desde el que todas son menores que \(\delta\). Sus sumas, con las etiquetas dadas, cumplen entonces \(|S_r-I|<\varepsilon\). Esto prueba convergencia a \(I\). Una sola sucesión de datos no controla por ese argumento las otras particiones y etiquetas cuantificadas por el contrato.
22.36. Una integral sin antiderivada
En cada pieza \([u,v]\), la contribución media de la identidad vale \((u+v)(v-u)/2=(v^2-u^2)/2\). La suma telescópica en \([-1,2]\) es \((4-1)/2=3/2\). Cualquier etiqueta dista del medio a lo sumo media anchura, así su error total no supera \((1/2)\sum_i\Delta_i^2\le(3/2)\|P\|\). Para una tolerancia \(\varepsilon\) sirve radio \(2\varepsilon/3\). El contrato prueba integral \(3/2\) sin antiderivadas.
22.37. Afín y firmada
La linealidad finita da \(S(2x-1)=2S(x)-1\) en \([0,1]\). El certificado de la identidad ofrece candidato \(1/2\) y error a lo sumo \(\|P\|/2\). Por tanto el nuevo candidato es cero y \(|S(2x-1)|\le\|P\|\). El radio \(\delta=\varepsilon\) satisface el contrato para todas las etiquetas. El valor cero representa una cancelación firmada de contribuciones.
22.38. El cubo controla el cuadrado
En una pieza \([u,v]\subseteq[0,1]\), tanto \(\xi^2\) como \((u^2+uv+v^2)/3\) quedan entre \(u^2\) y \(v^2\). Su diferencia de magnitudes no supera \(v^2-u^2=(v-u)(v+u)\le2(v-u)\). Multiplicar por la anchura compara la contribución etiquetada con \((v^3-u^3)/3\) con error a lo sumo \(2\Delta_i^2\). Los incrementos cúbicos telescopan a \(1/3\) y la triangular da \(|S-1/3|\le2\|P\|\). Para \(\varepsilon>0\), el radio \(\varepsilon/2\) prueba el contrato.
22.39. Cuatro piezas no son el límite
Para cuatro piezas, las sumas de bordes son \((0+1+4+9)/64=7/32\) y \((1+4+9+16)/64=15/32\). Las medias producen \((1+9+25+49)/256=21/64\). Las identidades finitas \(\sum_{i=1}^n i=n(n+1)/2\) y \(\sum_{i=1}^n i^2=n(n+1)(2n+1)/6\) se prueban por inducción sumando el término siguiente. Sustituirlas da sumas izquierda \(1/3-1/(2n)+1/(6n^2)\), derecha \(1/3+1/(2n)+1/(6n^2)\) y media \(1/3-1/(12n^2)\). En \(n=4\) esta última difiere de \(1/3\) en \(1/192\). Las tres cuentas son sumas finitas y no el valor límite.
22.40. Resolución de una tolerancia
La uniforme de doscientas una piezas tiene malla \(1/201\). El certificado universal da error a lo sumo \(2/201<1/100\) para cualquier etiqueta. Las medias de esa misma partición tienen error exacto \(1/(12\cdot201^2)\), mucho menor. Esa mejora depende de usar las medias y no protege una familia arbitraria de etiquetas. La elección de resolución universal utiliza la barrera que sí cubre todas.
Retorno visual. Véase C22-F08, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.