Funciones reales: estructura, composición, inversas y gráficas
Funciones reales
En la matemática escolar una función suele aparecer junto a una fórmula:
\[ f(x)=x^2, \qquad f(x)=\frac1x, \qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
Para calcular valores, esa asociación puede resultar suficiente. Para hacer análisis, no lo es. Una función no queda determinada por una expresión aislada: necesitamos saber qué entradas admite, en qué conjunto declaramos sus salidas y qué regla asigna una única salida a cada entrada.
La pregunta rectora de este capítulo será
\[ \boxed{\text{¿qué información necesitamos para saber realmente qué función tenemos delante?}} \]
El recorrido irá desde la definición completa de función hasta imágenes, preimágenes, composición, inversas, gráficas y monotonía. El objetivo no es acumular vocabulario, sino aprender a reconocer la estructura funcional que más adelante sostendrá sucesiones, límites, continuidad y derivación.
Idea rectora
Antes de manipular una fórmula, conviene separar cuatro preguntas:
- ¿cuál es el dominio de la función?;
- ¿cuál es su codominio?;
- ¿qué valores alcanza realmente?;
- ¿qué propiedades dependen de esos datos y no solamente de la fórmula?
La misma expresión algebraica puede definir funciones matemáticamente distintas.
1. Una fórmula no es todavía una función
Consideremos la regla \(x\mapsto x^2\) en cuatro declaraciones:
\[ f\colon\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2, \]
\[ g\colon[0,\infty)\to[0,\infty), \qquad g(x)=x^2, \]
\[ h\colon\mathbb R\to[0,\infty), \qquad h(x)=x^2, \]
y
\[ k\colon[0,\infty)\to\mathbb R, \qquad k(x)=x^2. \]
La fórmula es la misma, pero dominio y codominio cambian. Por ejemplo, \(f(-2)\) está definido, mientras que \(g(-2)\) y \(k(-2)\) no lo están. Del mismo modo, \(f\) declara como posibles salidas todos los reales, aunque ningún número negativo sea un cuadrado.
Definición — función, dominio, codominio e imagen
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Una función
\[ f\colon A\to B \]
asigna a cada \(x\in A\) exactamente un elemento \(f(x)\in B\).
El conjunto \(A\) es el dominio y \(B\) el codominio. La imagen o recorrido de \(f\) es
\[ \operatorname{Im}(f) = \{f(x):x\in A\}. \]
Siempre se cumple
\[ \operatorname{Im}(f)\subseteq B. \]
Las palabras «cada» y «exactamente uno» expresan dos exigencias distintas:
\[ \forall x\in A\;\exists!y\in B \quad\text{tal que}\quad y=f(x). \]
Una regla puede fallar porque alguna entrada no tenga salida. Por ejemplo,
\[ r\colon\mathbb R\to\mathbb R, \qquad r(x)=\frac1x \]
no define una función sobre todo \(\mathbb R\), porque la expresión no tiene valor real en \(x=0\).
También puede fallar la unicidad. La instrucción «a cada \(x\ge0\) asígnele un real \(y\) con \(y^2=x\)» no define una función hacia \(\mathbb R\), pues para \(x=4\) sirven \(2\) y \(-2\). En cambio, el teorema de existencia y unicidad de raíces positivas del capítulo anterior permite definir
\[ s\colon[0,\infty)\to[0,\infty), \qquad s(x)=\sqrt{x}. \]
Error frecuente — Confundir unicidad de la salida con inyectividad
Ser función significa que una entrada no puede tener dos salidas.
Ser inyectiva significará algo diferente: dos entradas distintas no pueden compartir una salida.
Dominio, codominio e imagen
Para
\[ f\colon\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2, \]
tenemos
\[ \operatorname{Dom}(f)=\mathbb R, \qquad \operatorname{Cod}(f)=\mathbb R, \qquad \operatorname{Im}(f)=[0,\infty). \]
El codominio forma parte de la declaración de la función; la imagen registra las salidas que se alcanzan efectivamente.
En esta obra adoptaremos la convención de que dominio, codominio y regla de asignación forman parte de los datos de una función. Por tanto, las cuatro funciones \(f,g,h,k\) anteriores son objetos diferentes.
Si \(E\subseteq A\), la restricción de \(f\colon A\to B\) a \(E\) es
\[ f|_E\colon E\to B, \qquad f|_E(x)=f(x). \]
Restringir el dominio puede cambiar propiedades de la función aun cuando los valores conservados sigan siendo los mismos.
El desarrollo autónomo de estas distinciones está en Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen (MA-CON-0007).
2. Imágenes y preimágenes de conjuntos
Una función actúa sobre puntos, pero también induce operaciones naturales entre subconjuntos.
Sea
\[ f\colon A\to B. \]
Si \(E\subseteq A\), su imagen directa es
\[ \boxed{f(E)=\{f(x):x\in E\}.} \]
Si \(F\subseteq B\), su preimagen es
\[ \boxed{f^{-1}(F)=\{x\in A:f(x)\in F\}.} \]
La imagen avanza desde entradas hacia salidas; la preimagen parte de una condición sobre las salidas y recupera todas las entradas que la satisfacen.
Por ejemplo, para
\[ f\colon\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2, \]
tenemos
\[ f([-2,1])=[0,4] \]
y
\[ f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2]. \]
En el segundo cálculo no hemos «invertido» la función \(x^2\). Hemos resuelto la condición
\[ 1\le x^2\le4. \]
La preimagen no exige una función inversa
La notación \(f^{-1}(F)\) para un conjunto \(F\subseteq B\) está definida para toda función \(f\colon A\to B\).
Una verdadera función inversa \(f^{-1}\colon B\to A\) solo existirá bajo hipótesis adicionales. El contexto distingue ambos usos de la notación.
Dos identidades elementales ayudan a controlar los tipos:
\[ f(A)=\operatorname{Im}(f), \qquad f^{-1}(B)=A. \]
Resolver una ecuación puede reinterpretarse como calcular una preimagen. Si \(y\in B\), entonces
\[ f(x)=y \]
equivale a preguntar por los elementos de
\[ f^{-1}(\{y\}). \]
Esta perspectiva prepara directamente las nociones de inyectividad y sobreyectividad.
3. Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad
Sea \(f\colon A\to B\).
Definición — tres propiedades fundamentales
La función \(f\) es inyectiva si
\[ f(x_1)=f(x_2) \Longrightarrow x_1=x_2 \]
para cualesquiera \(x_1,x_2\in A\).
Es sobreyectiva si
\[ \forall y\in B\;\exists x\in A \quad\text{tal que}\quad f(x)=y. \]
Equivalentemente,
\[ f(A)=B. \]
Es biyectiva si es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva.
Las arquitecturas de prueba son distintas:
- para demostrar inyectividad, solemos comenzar suponiendo \(f(x_1)=f(x_2)\) y tratamos de deducir \(x_1=x_2\);
- para demostrar sobreyectividad, fijamos un \(y\in B\) arbitrario y construimos un antecedente \(x\in A\) con \(f(x)=y\).
Para refutar inyectividad basta exhibir dos entradas distintas con la misma salida. Para refutar sobreyectividad basta exhibir un elemento del codominio que no se alcance.
La misma fórmula y cuatro clasificaciones
Volvamos a \(x^2\):
| Función | Inyectiva | Sobreyectiva | Biyectiva |
|---|---|---|---|
| \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\) | no | no | no |
| \(g\colon[0,\infty)\to[0,\infty)\) | sí | sí | sí |
| \(h\colon\mathbb R\to[0,\infty)\) | no | sí | no |
| \(k\colon[0,\infty)\to\mathbb R\) | sí | no | no |
La sobreyectividad de \(g\) y \(h\) usa una herramienta del capítulo anterior: para todo \(y\ge0\) existe \(\sqrt y\ge0\) con
\[ (\sqrt y)^2=y. \]
La inyectividad de \(g\) y \(k\) se obtiene porque, para \(x_1,x_2\ge0\),
\[ x_1^2=x_2^2 \Longrightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)=0. \]
Por el producto nulo, o bien \(x_1=x_2\), o bien \(x_1=-x_2\). En el segundo caso, como \(x_1,x_2\ge0\), necesariamente
\[ x_1=x_2=0. \]
En ambos casos \(x_1=x_2\).
Dos sensibilidades diferentes
La inyectividad detecta colisiones entre entradas y depende de manera decisiva del dominio.
La sobreyectividad pregunta si se alcanza todo el codominio y depende de manera decisiva de cuál sea ese codominio.
Consulta también Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad (MA-CON-0009).
4. Composición e identidad
Muchas operaciones del cálculo se realizan por etapas. Si
\[ f\colon A\to B, \qquad g\colon B\to C, \]
podemos aplicar primero \(f\) y después \(g\).
Definición — composición
La composición de \(g\) con \(f\) es la función
\[ g\circ f\colon A\to C \]
dada por
\[ \boxed{(g\circ f)(x)=g(f(x)).} \]
El orden de lectura es de derecha a izquierda: primero actúa \(f\), después \(g\).
Cuando las funciones se presentan mediante fórmulas con dominios que no coinciden automáticamente, la auditoría de tipos es indispensable. El dominio máximo de la expresión compuesta es
\[ \{x\in\operatorname{Dom}(f):f(x)\in\operatorname{Dom}(g)\}. \]
Por ejemplo, si
\[ f(x)=x^2-1, \qquad g(t)=\sqrt t, \]
entonces
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{x^2-1} \]
solo está definida para
\[ |x|\ge1. \]
La composición no es conmutativa
Aun cuando ambas composiciones existan, en general
\[ g\circ f\ne f\circ g. \]
Por ejemplo, para
\[ f(x)=x+1, \qquad g(x)=x^2, \]
tenemos
\[ (g\circ f)(x)=(x+1)^2, \]
mientras que
\[ (f\circ g)(x)=x^2+1. \]
Asociatividad
Si
\[ f\colon A\to B, \qquad g\colon B\to C, \qquad h\colon C\to D, \]
entonces
\[ \boxed{h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f.} \]
En efecto, para todo \(x\in A\),
\[ [h\circ(g\circ f)](x) =h(g(f(x))) =[(h\circ g)\circ f](x). \]
Las dos funciones tienen el mismo dominio, el mismo codominio y los mismos valores; por tanto son iguales.
Identidad
Para todo conjunto \(A\), la función identidad es
\[ \operatorname{id}_A\colon A\to A, \qquad \operatorname{id}_A(x)=x. \]
Si \(f\colon A\to B\), entonces
\[ \boxed{ \operatorname{id}_B\circ f=f =f\circ\operatorname{id}_A. } \]
La posición de cada identidad está determinada por los tipos.
Proposición — propiedades que se conservan al componer
Sean
\[ f\colon A\to B, \qquad g\colon B\to C. \]
- Si \(f\) y \(g\) son inyectivas, entonces \(g\circ f\) es inyectiva.
- Si \(f\) y \(g\) son sobreyectivas, entonces \(g\circ f\) es sobreyectiva.
- Si \(f\) y \(g\) son biyectivas, entonces \(g\circ f\) es biyectiva.
Demostración
Para la primera afirmación, supongamos
\[ (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2). \]
Entonces
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
La inyectividad de \(g\) implica \(f(x_1)=f(x_2)\) y la de \(f\) implica \(x_1=x_2\).
Para la segunda, sea \(z\in C\). Como \(g\) es sobreyectiva, existe \(y\in B\) con \(g(y)=z\). Como \(f\) es sobreyectiva, existe \(x\in A\) con \(f(x)=y\). Entonces
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z. \]
La tercera afirmación combina las dos anteriores. \(\square\)
El tratamiento modular de esta operación está en Composición de funciones e identidad (MA-CON-0008).
5. Funciones inversas
Invertir una función significa poder deshacerla mediante composición.
Definición — función inversa
Sea \(f\colon A\to B\). Una función
\[ g\colon B\to A \]
es una inversa de \(f\) si
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ g=\operatorname{id}_B. \]
Cuando existe, se denota por \(f^{-1}\).
La existencia de una inversa exige exactamente dos cosas: que cada salida de \(B\) tenga antecedente y que ese antecedente sea único.
Teorema — una función es invertible si y solo si es biyectiva
Sea \(f\colon A\to B\). Existe una función inversa
\[ f^{-1}\colon B\to A \]
si y solo si \(f\) es biyectiva.
Demostración
Supongamos primero que existe \(f^{-1}\). Si
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
aplicamos \(f^{-1}\) a ambos lados:
\[ f^{-1}(f(x_1))=f^{-1}(f(x_2)), \]
y obtenemos \(x_1=x_2\). Luego \(f\) es inyectiva.
Ahora sea \(y\in B\). Tomemos
\[ x=f^{-1}(y). \]
Entonces
\[ f(x)=f(f^{-1}(y))=y, \]
por lo que \(f\) es sobreyectiva. Así, \(f\) es biyectiva.
Recíprocamente, supongamos que \(f\) es biyectiva. Para cada \(y\in B\), la sobreyectividad garantiza que existe al menos un \(x\in A\) con \(f(x)=y\), y la inyectividad garantiza que ese \(x\) es único. Definimos
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Por construcción,
\[ f^{-1}(f(x))=x \]
para todo \(x\in A\), y
\[ f(f^{-1}(y))=y \]
para todo \(y\in B\). Por tanto, \(f^{-1}\) es una inversa de \(f\). \(\square\)
La prueba también muestra que la inversa es única.
Inversa de una composición
Si
\[ f\colon A\to B, \qquad g\colon B\to C \]
son biyectivas, entonces
\[ \boxed{(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.} \]
El orden se invierte porque, para deshacer la cadena
\[ A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C, \]
primero debemos deshacer \(g\) y después \(f\).
Cuadrado y raíz cuadrada
La función
\[ f\colon\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2 \]
no tiene inversa: no es inyectiva ni sobreyectiva. Pero su restricción
\[ g\colon[0,\infty)\to[0,\infty), \qquad g(x)=x^2 \]
sí es biyectiva. Su inversa es
\[ g^{-1}(y)=\sqrt y. \]
La identidad
\[ \sqrt{x^2}=|x| \]
explica por qué la raíz cuadrada no puede deshacer globalmente a \(x^2\) sobre todo \(\mathbb R\).
Consulta también Funciones inversas (MA-CON-0010).
6. Álgebra de imágenes y preimágenes
Las operaciones de conjuntos estudiadas en el primer capítulo interactúan de manera distinta con imágenes y preimágenes.
Sean \(E,F\subseteq A\) y \(S,T\subseteq B\).
Para las imágenes directas siempre tenemos
\[ \boxed{f(E\cup F)=f(E)\cup f(F)} \]
y
\[ \boxed{f(E\cap F)\subseteq f(E)\cap f(F).} \]
La segunda inclusión puede ser estricta. Para
\[ f(x)=x^2, \qquad E=\{-1\}, \qquad F=\{1\}, \]
tenemos
\[ E\cap F=\varnothing, \]
de modo que
\[ f(E\cap F)=\varnothing, \]
pero
\[ f(E)\cap f(F)=\{1\}. \]
La razón lógica es importante: un elemento de \(f(E)\cap f(F)\) puede provenir de dos antecedentes distintos, uno en \(E\) y otro en \(F\).
Si \(f\) es inyectiva, esos dos antecedentes deben coincidir y recuperamos la igualdad:
\[ \boxed{ f\text{ inyectiva} \Longrightarrow f(E\cap F)=f(E)\cap f(F). } \]
Las preimágenes se comportan de manera más exacta. Siempre se cumple
\[ \boxed{f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T),} \]
\[ \boxed{f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T),} \]
\[ \boxed{f^{-1}(B\setminus S)=A\setminus f^{-1}(S),} \]
y, por tanto,
\[ \boxed{f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T).} \]
Por ejemplo, para la intersección,
\[ \begin{aligned} x\in f^{-1}(S\cap T) &\iff f(x)\in S\cap T\\ &\iff f(x)\in S\ \text{y}\ f(x)\in T\\ &\iff x\in f^{-1}(S)\ \text{y}\ x\in f^{-1}(T)\\ &\iff x\in f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T). \end{aligned} \]
Aquí no aparecen dos testigos que deban identificarse: toda la argumentación sigue al mismo elemento \(x\).
Estas leyes conectan naturalmente con Operaciones con conjuntos reales: unión, intersección, complemento y diferencia (MA-CON-0006).
7. Gráficas: representación y estructura
Si \(A,B\subseteq\mathbb R\) y \(f\colon A\to B\), la gráfica de \(f\) es
\[ \Gamma_f = \{(x,f(x)):x\in A\} \subseteq A\times B. \]
La primera coordenada registra una entrada y la segunda su salida.
Un subconjunto
\[ R\subseteq A\times B \]
es la gráfica de una función \(A\to B\) exactamente cuando
\[ \forall x\in A\;\exists!y\in B \quad\text{tal que}\quad (x,y)\in R. \]
Éste es el contenido preciso del llamado criterio de la recta vertical: cada vertical correspondiente a una entrada del dominio debe encontrar exactamente un punto de la gráfica.
Qué puede leerse de la gráfica
Las primeras coordenadas de \(\Gamma_f\) recuperan el dominio:
\[ A=\{x:\exists y\ ((x,y)\in\Gamma_f)\}. \]
Las segundas coordenadas recuperan la imagen:
\[ \operatorname{Im}(f) =\{y:\exists x\ ((x,y)\in\Gamma_f)\}. \]
La gráfica, sin información adicional, no determina un codominio mayor que la imagen. Dos funciones con la misma regla, el mismo dominio y codominios distintos pueden tener exactamente el mismo conjunto de puntos como gráfica.
Horizontales, inyectividad y sobreyectividad
Una horizontal \(y=b\) pregunta por las soluciones de
\[ f(x)=b. \]
Por tanto:
- \(f\) es inyectiva si cada horizontal corta la gráfica a lo sumo una vez;
- \(f\) es sobreyectiva sobre el codominio \(B\) si, para cada \(b\in B\), la horizontal \(y=b\) corta la gráfica al menos una vez.
La segunda afirmación no puede decidirse sin conocer el codominio declarado.
Gráfica de la inversa
Si \(f\colon A\to B\) es biyectiva, entonces
\[ (x,y)\in\Gamma_f \iff y=f(x) \iff x=f^{-1}(y) \iff (y,x)\in\Gamma_{f^{-1}}. \]
Así, intercambiar las coordenadas transforma la gráfica de \(f\) en la de \(f^{-1}\). Geométricamente, esto corresponde a reflejar respecto de la diagonal \(y=x\).
La gráfica no sustituye la definición completa
Fórmula, tabla, algoritmo y gráfica son representaciones de una función. Ninguna de ellas debe hacer olvidar los datos de dominio y codominio.
8. Funciones por tramos y transformaciones de gráficas
Una función puede utilizar reglas distintas en distintas partes de su dominio. Supongamos
\[ f(x)= \begin{cases} f_1(x),&x\in A_1,\\ \vdots&\\ f_n(x),&x\in A_n. \end{cases} \]
Para que esta receta defina una función sobre \(A\), deben cumplirse dos condiciones:
- cobertura: \[ A=A_1\cup\cdots\cup A_n; \]
- compatibilidad: si \(x\in A_i\cap A_j\), entonces \[ f_i(x)=f_j(x). \]
No es obligatorio que los tramos sean disjuntos; lo obligatorio es que ningún punto quede sin salida y que ningún punto reciba dos salidas incompatibles.
El valor absoluto es el ejemplo básico:
\[ |x|= \begin{cases} x,&x\ge0,\\ -x,&x<0. \end{cases} \]
Transformar una gráfica siguiendo sus puntos
Sea \(f\colon D\to\mathbb R\) y supongamos que \((u,y)\) pertenece a su gráfica, es decir, \(y=f(u)\).
Las transformaciones elementales pueden deducirse sin memorizar reglas aisladas:
\[ \begin{array}{ccl} f(x)+c&:&(u,y)\mapsto(u,y+c),\\[4pt] f(x-c)&:&(u,y)\mapsto(u+c,y),\\[4pt] -f(x)&:&(u,y)\mapsto(u,-y),\\[4pt] f(-x)&:&(u,y)\mapsto(-u,y). \end{array} \]
Si \(a,b\ne0\), para
\[ g(x)=a f(bx) \]
un punto \((u,y)\) de la gráfica de \(f\) produce el punto
\[ \boxed{\left(\frac{u}{b},ay\right)} \]
de la gráfica de \(g\).
Pero la geometría no debe ocultar el dominio. Para \(g(x)=a f(bx)\),
\[ \operatorname{Dom}(g) = \{x\in\mathbb R:bx\in D\}. \]
Error frecuente — Transformar el dibujo antes de auditar la función
Las modificaciones «dentro» de la fórmula pueden cambiar el dominio. El orden seguro es:
- escribir la nueva función;
- determinar su dominio;
- calcular cómo cambian los puntos;
- interpretar la geometría.
9. Monotonía e inversas
La estructura de orden de \(\mathbb R\) permite comparar entradas y salidas.
Sea \(D\subseteq\mathbb R\) y \(f\colon D\to\mathbb R\).
Decimos que \(f\) es:
- no decreciente si \(x_1<x_2\) implica \(f(x_1)\le f(x_2)\);
- no creciente si \(x_1<x_2\) implica \(f(x_1)\ge f(x_2)\);
- estrictamente creciente si \(x_1<x_2\) implica \(f(x_1)<f(x_2)\);
- estrictamente decreciente si \(x_1<x_2\) implica \(f(x_1)>f(x_2)\).
Teorema — la monotonía estricta implica inyectividad
Toda función estrictamente creciente o estrictamente decreciente es inyectiva.
Demostración
Supongamos primero que \(f\) es estrictamente creciente. Sean \(x_1,x_2\in D\) y supongamos
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Si \(x_1<x_2\), la monotonía estricta daría
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
contradicción. Si \(x_2<x_1\), obtendríamos análogamente
\[ f(x_2)<f(x_1), \]
otra contradicción. Por tricotomía, sólo queda \(x_1=x_2\).
El caso estrictamente decreciente es idéntico con las desigualdades invertidas. \(\square\)
La palabra «estrictamente» es esencial: una función constante es no decreciente y no creciente, pero no es inyectiva si su dominio contiene más de un punto.
Invertir sobre la imagen
Si \(f\colon D\to\mathbb R\) es estrictamente monótona, el teorema anterior muestra que es inyectiva. Definamos
\[ J=f(D) \]
y consideremos la misma regla con codominio ajustado:
\[ \widetilde f\colon D\to J, \qquad \widetilde f(x)=f(x). \]
Por definición de \(J\), \(\widetilde f\) es sobreyectiva; por monotonía estricta, es inyectiva. Por tanto es biyectiva y posee inversa
\[ \widetilde f^{-1}\colon J\to D. \]
Además, el orden de la inversa queda controlado.
Proposición — monotonía de la inversa
Si \(f\colon D\to J\) es biyectiva y estrictamente creciente, entonces \(f^{-1}\) es estrictamente creciente.
Si \(f\) es estrictamente decreciente, entonces \(f^{-1}\) es estrictamente decreciente.
Demostración
Supongamos que \(f\) es estrictamente creciente y tomemos \(y_1<y_2\) en \(J\). Escribamos
\[ x_1=f^{-1}(y_1), \qquad x_2=f^{-1}(y_2). \]
Si fuera \(x_2<x_1\), la monotonía de \(f\) implicaría
\[ y_2=f(x_2)<f(x_1)=y_1, \]
contradicción. Tampoco puede ocurrir \(x_1=x_2\), pues entonces \(y_1=y_2\). Luego
\[ x_1<x_2, \]
y \(f^{-1}\) es estrictamente creciente. El caso decreciente se demuestra del mismo modo. \(\square\)
Una frontera importante: monotonía no es continuidad
No debemos adelantar resultados del capítulo de continuidad. Una función estrictamente creciente definida en un intervalo puede tener una imagen que no sea un intervalo.
Consideremos
\[ f\colon\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)= \begin{cases} x,&x<0,\\ x+1,&x\ge0. \end{cases} \]
Esta función es estrictamente creciente. Si \(x_1<x_2\) y ambos están a un mismo lado de \(0\), la desigualdad se conserva inmediatamente; si \(x_1<0\le x_2\), entonces
\[ f(x_1)=x_1<0<1\le x_2+1=f(x_2). \]
Sin embargo,
\[ f(\mathbb R)=(-\infty,0)\cup[1,\infty), \]
que no es un intervalo.
Qué hemos demostrado y qué todavía no
La monotonía estricta basta para obtener inyectividad y, al ajustar el codominio a la imagen, una función inversa.
No basta para garantizar que la función tome todos los valores intermedios entre dos salidas. Esa propiedad requerirá herramientas posteriores.
10. Mapa de dependencias del capítulo
Las ideas construidas aquí no aparecen aisladas. Dependen directamente de los dos capítulos anteriores.
Del lenguaje lógico y de conjuntos necesitamos:
- cuantificadores;
- existencia y unicidad;
- igualdad de conjuntos por doble inclusión;
- producto cartesiano;
- técnicas de prueba y contraejemplo.
De la estructura de \(\mathbb R\) necesitamos:
- orden y tricotomía;
- manipulación rigurosa de desigualdades;
- intervalos;
- existencia y unicidad de raíces no negativas.
Con esas herramientas obtenemos la cadena
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{función completa}\\ \downarrow\\ \text{imagen y preimagen}\\ \downarrow\\ \text{inyectividad / sobreyectividad / biyectividad}\\ \downarrow\\ \text{composición e identidad}\\ \downarrow\\ \text{función inversa}\\ \downarrow\\ \text{gráfica y transformaciones}\\ \downarrow\\ \text{monotonía e invertibilidad sobre la imagen}. \end{array}} \]
Esta arquitectura será reutilizada inmediatamente. Una sucesión será, antes que nada, una función cuyo dominio es \(\mathbb N\). El capítulo siguiente añadirá una pregunta nueva: qué significa que los valores de esa función se aproximen a un número cuando el índice crece.
11. Páginas reutilizables asociadas
Para consultar partes del capítulo de forma independiente:
- Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen —
MA-CON-0007. - Composición de funciones e identidad —
MA-CON-0008. - Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad —
MA-CON-0009. - Funciones inversas —
MA-CON-0010. - Operaciones con conjuntos reales: unión, intersección, complemento y diferencia —
MA-CON-0006.
El recorrido completo pertenece a Cálculo para matemáticos (MA-BOK-0001).
Cierre
El paso esencial de este capítulo puede resumirse así:
\[ \boxed{ \text{una función no es una fórmula: es una estructura de asignación con dominio y codominio.} } \]
Una vez fijada esa estructura, imágenes, preimágenes, composición, inyectividad, inversas, gráficas y monotonía dejan de ser temas separados y se convierten en diferentes maneras de interrogar al mismo objeto matemático.
Con este lenguaje ya disponible, el siguiente paso del libro será estudiar sucesiones como funciones y construir sobre ellas la primera noción rigurosa de límite.