Capítulo 0 — Ejercicios
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Exposición · Ejercicios · Soluciones
Los problemas de Del límite a la pregunta por el cálculo permiten trabajar con las decisiones que sostienen sus argumentos: elegir una tolerancia, construir una sucesión, encontrar una cota o comprobar qué ocurre al suprimir una hipótesis. En todos los casos se pide justificar las afirmaciones; una gráfica o una aproximación decimal puede orientar la búsqueda, pero la respuesta necesita un argumento. Las respuestas desarrolladas figuran, por los mismos números, en Soluciones del capítulo 0.
A. Lenguaje y lectura conceptual
Ejercicio 0.1 — Cuantificadores de una convergencia (EDC-C00-EXR-001)
Escriba mediante cuantificadores y desigualdades la negación exacta de la afirmación «\(x_n\to L\)». Explique por qué no es suficiente decir que algún término de la sucesión está lejos de \(L\).
Ejercicio 0.2 — Continuidad en un punto aislado (EDC-C00-EXR-002)
Sea \(D=\{0\}\cup[1,2]\) y \(f:D\to\mathbb R\) una función cualquiera. Demuestre que \(f\) es continua en \(0\) con respecto a su dominio. ¿Tiene sentido, bajo nuestra Definición 0.3, la expresión \(\lim_{x\to0,\,x\in D}f(x)\)? Razone la diferencia.
Ejercicio 0.3 — La pendiente secante no es una sustitución (EDC-C00-EXR-003)
Para \(f(x)=x^2+3x\) y \(h\ne0\), calcule \([f(a+h)-f(a)]/h\) y su límite cuando \(h\to0\). Identifique el paso que dejaría de tener sentido si se sustituyera \(h=0\) antes de simplificar.
Ejercicio 0.4 — Rectángulos para una recta (EDC-C00-EXR-004)
En el intervalo \([0,1]\), tome \(f(x)=x\). Calcule, para una partición en \(n\) subintervalos iguales, la suma de rectángulos de extremos izquierdos y la de extremos derechos. Halle su diferencia y sus límites, sin emplear la notación de integral.
B. Límites, continuidad y cálculos justificados
Ejercicio 0.5 — Un umbral elegido a partir de la tolerancia (EDC-C00-EXR-005)
Dado \(\varepsilon>0\), encuentre una condición explícita suficiente sobre \(N\) para garantizar \(|3+2/n-3|<\varepsilon\) para todo \(n\ge N\). Deduzca el límite de la sucesión.
Ejercicio 0.6 — Otro número que no es racional (EDC-C00-EXR-006)
Demuestre que \(\sqrt3\notin\mathbb Q\). Puede usar que, para un entero \(m\), la divisibilidad de \(m^2\) por \(3\) implica la divisibilidad de \(m\) por \(3\), pero deberá justificar este hecho.
Ejercicio 0.7 — Monotonía y supremo (EDC-C00-EXR-007)
Considere \(x_n=1-1/n\) para \(n\ge1\). Compruebe que la sucesión es no decreciente, que su conjunto de valores tiene supremo \(1\) y que \(x_n\to1\), identificando el uso de la propiedad arquimediana.
Ejercicio 0.8 — Límite en un punto fuera del dominio (EDC-C00-EXR-008)
Defina \(g:\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R\) mediante \(g(x)=(x^3-1)/(x-1)\). Calcule \(\lim_{x\to1}g(x)\) y explique por qué el límite no obliga a que \(g(1)\) esté definido.
Ejercicio 0.9 — Persistencia local del signo (EDC-C00-EXR-009)
Sea \(f:D\to\mathbb R\) continua en \(a\in D\) y suponga \(f(a)>0\). Demuestre que existe \(\delta>0\) tal que \(f(x)>0\) para todo \(x\in D\) con \(|x-a|<\delta\). ¿Es indispensable suponer que \(a\) sea punto de acumulación?
C. Construcción y combinación
Ejercicio 0.10 — Existencia de raíces cuadradas (EDC-C00-EXR-010)
Usando sólo la estructura de cuerpo ordenado completo de \(\mathbb R\), demuestre que para cada \(c>0\) existe un único \(r>0\) con \(r^2=c\). Deberá definir un conjunto al cual aplicar el axioma del supremo, justificar que no es vacío ni está desprovisto de cota superior, y excluir los casos \(r^2<c\) y \(r^2>c\).
Ejercicio 0.11 — Dos subsucesiones incompatibles (EDC-C00-EXR-011)
Sea \(x_n=(-1)^n+1/n\). Demuestre que está acotada, determine los límites de las subsucesiones de índices pares e impares y concluya que \((x_n)\) no es convergente.
Ejercicio 0.12 — Continuidad que no depende del punto (EDC-C00-EXR-012)
Pruebe directamente a partir de \(||x|-|y||\le|x-y|\) que \(f(x)=|x|\) es continua en todo \(\mathbb R\). Demuestre además que es uniformemente continua en toda la recta, aunque ésta no sea un intervalo acotado.
Ejercicio 0.13 — Existencia y unicidad sin derivadas (EDC-C00-EXR-013)
Demuestre que la ecuación \(x^3+x-1=0\) tiene exactamente una solución en \((0,1)\), usando el teorema del valor intermedio y propiedades algebraicas de la función \(x\mapsto x^3+x\). No invoque la derivada.
D. Hipótesis y contraejemplos
Ejercicio 0.14 — Dos hipótesis que no se deben borrar (EDC-C00-EXR-014)
- Dé un ejemplo de función continua y acotada en \((0,1)\) que no alcance ni su supremo ni su ínfimo. (b) Defina una función sobre \([0,1]\) que tome los valores \(0\) y \(1\), pero no tome el valor \(1/2\). Indique con exactitud qué hipótesis del teorema del valor intermedio no se cumple.
Ejercicio 0.15 — Una suma, dos elecciones de muestras (EDC-C00-EXR-015)
Sea \(d(x)=1\) si \(x\in\mathbb Q\) y \(d(x)=0\) si \(x\notin\mathbb Q\), para \(x\in[0,1]\). Dada una partición cualquiera \(0=x_0<\cdots<x_n=1\), elija un punto \(t_k\in(x_{k-1},x_k)\) en cada subintervalo y considere \(S=\sum_{k=1}^n d(t_k)(x_k-x_{k-1})\). Muestre que se puede obtener tanto \(S=0\) como \(S=1\), sin modificar la partición.
Ejercicio 0.16 — Una sucesión testigo no basta (EDC-C00-EXR-016)
Construya una función \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) y una sucesión \(x_n\to0\) tales que \(f(x_n)\to f(0)\), aunque \(f\) no sea continua en \(0\). Explique qué palabra de la Proposición 0.2 impide inferir continuidad a partir de su ejemplo.
E. Demostraciones y descubrimiento
Ejercicio 0.17 — Bisección, existencia y control del error (EDC-C00-EXR-017)
Parta de \(I_0=[1,2]\), cuya imagen por \(p(x)=x^2-2\) cambia de signo. Construya por bisección una sucesión de intervalos cerrados \(I_n=[a_n,b_n]\) tales que \(p(a_n)\le0\le p(b_n)\) y \(|I_n|=2^{-n}\). Demuestre que sus extremos convergen a un mismo número \(r\) que satisface \(r^2=2\) y que \(|a_n-r|,|b_n-r|\le2^{-n}\). No dé por demostrada la convergencia por el mero hecho de dibujar intervalos cada vez menores.
Ejercicio 0.18 — La misma potencia desde dos problemas (EDC-C00-EXR-018)
Para \(r>0\), en \([0,r]\) y con \(f(x)=x^2\), calcule las sumas izquierda y derecha de rectángulos correspondientes a \(n\) subintervalos iguales, y demuestre que ambas convergen a \(r^3/3\). Compruebe además que el cociente incremental de \(F(x)=x^3/3\) tiende a \(x^2\) cuando el incremento tiende a cero. Explique por qué estas igualdades particulares no constituyen todavía una demostración del Teorema Fundamental del Cálculo.
Trazabilidad: 18 enunciados propios, EDC-C00-EXR-001 a EDC-C00-EXR-018; 18 soluciones correspondientes, en EDC-C00-SOLUCIONES. Los ejercicios no suman nuevas unidades al indicador global de capítulos.