Capítulo 0 — Soluciones razonadas
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Este archivo desarrolla las respuestas a los 18 ejercicios del capítulo 0. El identificador de una solución EDC-C00-SOL-nnn corresponde exactamente al del ejercicio EDC-C00-EXR-nnn. Las soluciones son elaboraciones propias; no se atribuyen a Toth ni a un manual externo.
A. Lenguaje y lectura conceptual
Solución 0.1 (EDC-C00-SOL-001)
La convergencia a \(L\) significa
\[ \forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\;\forall n\ge N: \ |x_n-L|<\varepsilon. \]
Su negación exacta es
\[ \exists\varepsilon_0>0\;\forall N\in\mathbb N\;\exists n\ge N: \ |x_n-L|\ge\varepsilon_0. \]
Para negar la convergencia, primero negamos que toda tolerancia pueda asegurarse: debe existir una tolerancia \(\varepsilon_0>0\) que falle. Después negamos que haya un índice a partir del cual todos los errores sean menores que ella: cualquiera que sea \(N\), algún \(n\ge N\) conserva un error de magnitud al menos \(\varepsilon_0\). Las desviaciones aparecen por tanto arbitrariamente tarde; uno o varios términos iniciales lejos de \(L\) no bastan, porque pueden quedar antes del índice a partir del cual se cumple la definición.
Solución 0.2 (EDC-C00-SOL-002)
Si elegimos \(\delta=1/2\), la condición \(x\in D\) y \(|x|<\delta\) fuerza \(x=0\). Por tanto, para cualquier \(\varepsilon>0\) se cumple \(|f(x)-f(0)|=0<\varepsilon\) cuando \(|x|<\delta\) y \(x\in D\). La función es continua en \(0\), cualquiera que sea \(f(0)\).
No obstante, \(0\) no es punto de acumulación de \(D\): \(( -1/2,1/2)\) no contiene ningún punto de \(D\) distinto de \(0\). Según la Definición 0.3, la expresión del límite perforado no se define en ese punto. La continuidad relativa en un punto aislado no necesita ese límite.
Solución 0.3 (EDC-C00-SOL-003)
Para \(h\neq0\),
\[ \begin{aligned} \frac{f(a+h)-f(a)}h &=\frac{(a+h)^2+3(a+h)-(a^2+3a)}h\\ &=\frac{2ah+h^2+3h}h=2a+3+h. \end{aligned} \]
El límite cuando \(h\to0\) es \(2a+3\) por las reglas elementales de límites. La cancelación del factor \(h\) sólo es legítima para \(h\neq0\); sustituir \(h=0\) en la fracción original produciría \(0/0\), que no es un número real.
Solución 0.4 (EDC-C00-SOL-004)
Cada rectángulo tiene anchura \(1/n\), y la función \(f(x)=x\) hace que su altura coincida con la coordenada de la muestra. Por eso aparecen dos factores \(1/n\) al calcular su área: uno en la anchura y otro en la altura. Para alturas izquierdas \(k/n\), \(k=0,\ldots,n-1\),
\[ L_n=\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}k =\frac{n(n-1)}{2n^2}=\frac{n-1}{2n}. \]
Para alturas derechas,
\[ R_n=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}k =\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}. \]
La fórmula de suma de enteros puede verse emparejando los términos de la lista con los de la misma lista escrita al revés: cada par suma una misma cantidad, y al sumar todos los pares hemos contado dos veces la suma buscada. Las expresiones obtenidas dan \(R_n-L_n=1/n\); además, cada suma difiere de \(1/2\) en \(1/(2n)\), de modo que ambas convergen a \(1/2\) porque \(1/n\to0\). Los rectángulos de extremos izquierdos y derechos proporcionan así el mismo límite mediante cálculos finitos.
B. Límites, continuidad y cálculos justificados
Solución 0.5 (EDC-C00-SOL-005)
Tenemos \(|(3+2/n)-3|=2/n\). Dado \(\varepsilon>0\), basta elegir un entero \(N>2/\varepsilon\): si \(n\ge N\), entonces \(2/n\le2/N<\varepsilon\). El principio arquimediano garantiza la existencia de ese \(N\). Según la definición, \(3+2/n\to3\).
Solución 0.6 (EDC-C00-SOL-006)
Todo entero es congruente con \(0\), \(1\) o \(2\) módulo \(3\). Sus cuadrados son congruentes, respectivamente, con \(0\), \(1\) o \(1\) módulo \(3\). Por tanto, \(3\mid m^2\) implica \(3\mid m\).
Si \(\sqrt3=p/q\in\mathbb Q\) fuera una fracción irreducible, con \(q\neq0\), tendríamos \(p^2=3q^2\). De lo anterior se sigue \(p=3r\) para algún entero \(r\); al sustituir, \(9r^2=3q^2\), luego \(q^2=3r^2\), de donde \(3\mid q\). El numerador y el denominador tendrían un divisor común \(3\), contradicción. Así, \(\sqrt3\) es irracional.
Solución 0.7 (EDC-C00-SOL-007)
Para \(n\ge1\),
\[ x_{n+1}-x_n=\frac1n-\frac1{n+1}=\frac1{n(n+1)}>0. \]
La sucesión es creciente y todos sus términos son menores que \(1\). Si \(s<1\), elegimos por la propiedad arquimediana \(n>1/(1-s)\); entonces \(1-1/n>s\). Por tanto, ningún \(s<1\) puede ser cota superior y \(\sup\{x_n\}=1\). Para cada \(\varepsilon>0\), escogiendo \(N>1/\varepsilon\) obtenemos, si \(n\ge N\), \(|x_n-1|=1/n<\varepsilon\). La convergencia coincide con lo que garantiza el Teorema 0.2.
Solución 0.8 (EDC-C00-SOL-008)
Para \(x\neq1\),
\[ g(x)=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1. \]
La función polinómica del último miembro es continua en \(1\), por lo que \(\lim_{x\to1}g(x)=3\). La igualdad algebraica se afirmó únicamente para \(x\) dentro del dominio de \(g\), que excluye \(1\). La existencia del límite no modifica el dominio: definir \(g(1)=3\) sería una extensión continua, una operación nueva.
Solución 0.9 (EDC-C00-SOL-009)
Para conservar el signo positivo queremos impedir que el valor de la función se aleje de \(f(a)\) tanto como para llegar a cero. Tomemos \(\varepsilon=f(a)/2>0\), dejando la mitad de ese margen. Por continuidad existe \(\delta>0\) tal que, si \(x\in D\) y \(|x-a|<\delta\), entonces \(|f(x)-f(a)|<f(a)/2\). En particular,
\[ f(x)>f(a)-\frac{f(a)}2=\frac{f(a)}2>0. \]
No se necesita que \(a\) sea punto de acumulación. Si es aislado, elegimos un entorno relativo que contenga únicamente a \(a\) y la misma conclusión vale trivialmente.
C. Construcción y combinación
Solución 0.10 (EDC-C00-SOL-010)
Sea \(c>0\). Siguiendo la construcción de \(\sqrt2\), buscamos la frontera de los números no negativos cuyo cuadrado es menor que \(c\). Pongamos \(A=\{x\in[0,c+1]:x^2<c\}\): se cumple \(0\in A\) y el conjunto está acotado superiormente por \(c+1\), de modo que podemos aplicar la completitud. Para que su supremo sea positivo necesitamos además un elemento positivo. El número \(t=\min(1,c/2)>0\) sirve: si \(c<2\), su cuadrado es \(c^2/4<c\); si \(c\ge2\), su cuadrado es \(1<c\). En ambos casos \(t^2<c\), de modo que existe \(r=\sup A\ge t>0\).
Si \(r^2<c\), podemos intentar aumentar \(r\) sin que el cuadrado llegue a \(c\). El aumento es \(h(2r+h)\), y al imponer \(h<1\) queda acotado por \(h(2r+1)\). Para que ese aumento sea menor que la diferencia \(c-r^2\), elegimos
\[ 0<h<\min\left(1,\frac{c-r^2}{2r+1}\right). \]
Así \((r+h)^2=r^2+2rh+h^2<c\). Como \((c+1)^2>c\) y \(r+h>0\), necesariamente \(r+h<c+1\); de ese modo \(r+h\in A\), contradicción con la cota superior \(r\).
Si \(r^2>c\), buscamos un número positivo menor que \(r\) cuyo cuadrado siga superando a \(c\). Al disminuir \(r\) en \(h\), el término \(-2rh\) es el que puede hacer perder esa desigualdad, mientras que \(h^2\) sólo la favorece. Conservamos por tanto \(r-h>0\) y hacemos \(2rh<r^2-c\) eligiendo
\[ 0<h<\min\left(r,\frac{r^2-c}{2r}\right). \]
Entonces \((r-h)^2=r^2-2rh+h^2>c\). Como \(r=\sup A\), podemos escoger \(x\in A\) con \(r-h<x\le r\). Ambos son no negativos, por lo que \(x^2>(r-h)^2>c\), contrario a \(x\in A\). Se concluye \(r^2=c\). Si \(s>0\) satisficiera también \(s^2=c\), tendríamos \((r-s)(r+s)=0\). Dado que \(r+s>0\), forzosamente \(r=s\). Ésta es la existencia y unicidad de \(\sqrt c\) sin derivación.
Solución 0.11 (EDC-C00-SOL-011)
La sucesión está acotada porque \(|x_n|\le1+1/n\le2\). Para los índices pares,
\[ x_{2k}=1+\frac1{2k}\longrightarrow1, \]
mientras que para los impares,
\[ x_{2k-1}=-1+\frac1{2k-1}\longrightarrow-1. \]
Si \((x_n)\) convergiera a un mismo \(L\), toda subsucesión convergería también a \(L\): basta observar que sus índices crecen indefinidamente y cumplen eventualmente la desigualdad de la definición. Como aquí tenemos límites \(1\) y \(-1\), la sucesión no converge. Esto no contradice Bolzano–Weierstrass; al contrario, exhibe subsucesiones convergentes distintas.
Solución 0.12 (EDC-C00-SOL-012)
La desigualdad triangular da \(|x|\le|x-y|+|y|\), y por tanto \(|x|-|y|\le|x-y|\). Intercambiando \(x\) e \(y\) obtenemos \(|y|-|x|\le|x-y|\). Las dos juntas equivalen a
\[ \bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|. \]
Dado \(a\in\mathbb R\) y \(\varepsilon>0\), elegimos \(\delta=\varepsilon\). Si \(|x-a|<\delta\), entonces \(||x|-|a||\le|x-a|<\varepsilon\): \(f\) es continua en \(a\). La elección de \(\delta\) no depende de \(a\) ni de un segundo punto; de hecho, si \(|x-y|<\varepsilon\) obtenemos \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\) para cualesquiera \(x,y\in\mathbb R\). Por tanto, \(f\) es uniformemente continua en toda \(\mathbb R\). La condición de intervalo compacto del Teorema 0.8 es suficiente, no necesaria.
Solución 0.13 (EDC-C00-SOL-013)
El problema exige dos argumentos: encontrar una raíz y demostrar que no puede haber otra en \((0,1)\). Para la existencia, sea \(p(x)=x^3+x-1\). Es un polinomio y por tanto es continuo en \([0,1]\); además \(p(0)=-1<0\) y \(p(1)=1>0\), de modo que el Teorema 0.6 proporciona \(c\in(0,1)\) con \(p(c)=0\).
Para la unicidad podemos comparar directamente los valores en dos puntos. Si \(0\le x<y\le1\), la diferencia tiene un factor \(y-x\) que recoge su orden:
\[ p(y)-p(x)=y^3-x^3+y-x =(y-x)(x^2+xy+y^2+1)>0. \]
Así, \(p\) es estrictamente creciente en \([0,1]\). No puede anularse en dos puntos distintos. La raíz obtenida es única; no se usó ninguna fórmula de derivación.
D. Hipótesis y contraejemplos
Solución 0.14 (EDC-C00-SOL-014)
La función \(f(x)=x\) es continua y acotada en \((0,1)\), con \(\inf f((0,1))=0\) y \(\sup f((0,1))=1\), pero ninguno de esos valores se alcanza: \(0\) y \(1\) no pertenecen al dominio. El intervalo no es cerrado.
Definamos \(g(0)=0\) y \(g(x)=1\) cuando \(0<x\le1\). Cumple \(g(0)=0\), \(g(1)=1\), pero no toma \(1/2\). La hipótesis ausente del teorema del valor intermedio es la continuidad sobre \([0,1]\): en \(0\) no hay continuidad por la derecha, ya que \(g(x)\to1\) cuando \(x\to0^+\), mientras \(g(0)=0\).
Solución 0.15 (EDC-C00-SOL-015)
Todo subintervalo abierto \((x_{k-1},x_k)\) es no vacío porque \(x_{k-1}<x_k\). Según el Lema 0.3, contiene algún racional \(r_k\) y algún irracional \(s_k\).
Si elegimos \(t_k=r_k\) para todos los \(k\), entonces \(d(t_k)=1\) y
\[ S=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=x_n-x_0=1. \]
Si elegimos \(t_k=s_k\) para todos, \(d(t_k)=0\) y \(S=0\). La partición es idéntica en las dos elecciones; lo único que cambió fueron las muestras. Refinarla no elimina la posibilidad de producir ambos valores.
Solución 0.16 (EDC-C00-SOL-016)
Tomemos \(f(x)=0\) para \(x\le0\) y \(f(x)=1\) para \(x>0\), con \(f(0)=0\). La sucesión \(x_n=-1/n\) converge a \(0\) y \(f(x_n)=0\to f(0)\). Sin embargo, \(y_n=1/n\to0\) satisface \(f(y_n)=1\not\to f(0)\); en particular, la función no es continua en \(0\).
La Proposición 0.2 dice «para toda sucesión» del dominio que tienda al punto. Verificar una sola sucesión no es suficiente; para demostrar discontinuidad sí basta encontrar una que contradiga la condición.
E. Demostraciones y descubrimiento
Solución 0.17 (EDC-C00-SOL-017)
En \(I_0=[1,2]\), \(p(1)=-1\le0\) y \(p(2)=2\ge0\). Queremos reducir la longitud sin perder el cambio de signo, y el valor del punto medio decide qué mitad conservar. Supongamos definido \(I_n=[a_n,b_n]\) con esta propiedad y sea \(m_n=(a_n+b_n)/2\). Si \(p(m_n)\ge0\), definimos \(I_{n+1}=[a_n,m_n]\), porque en sus extremos permanecen un valor no positivo y otro no negativo; si \(p(m_n)<0\), ponemos \(I_{n+1}=[m_n,b_n]\) por la misma razón. Incluso si \(p(m_n)=0\), la primera elección conserva la propiedad, sin necesidad de interrumpir la construcción. En ambos casos el nuevo intervalo está contenido en el anterior y su longitud es la mitad.
Por inducción, \(b_n-a_n=2^{-n}\). Los intervalos son cerrados, no vacíos y encajados, y sus longitudes tienden a cero; el Teorema 0.3 produce un único \(r\in\bigcap_n I_n\). La pertenencia a cada intervalo da inmediatamente un control del error, pues ambos extremos están a distancia de \(r\) menor o igual que su longitud:
\[ 0\le r-a_n\le2^{-n},\qquad0\le b_n-r\le2^{-n}. \]
Dado que \(2^{-n}\to0\), ambas sucesiones de extremos convergen a \(r\) y cumplen el control de error pedido. Por continuidad del polinomio \(p\),
\[ p(a_n)\to p(r),\qquad p(b_n)\to p(r). \]
Pero siempre \(p(a_n)\le0\le p(b_n)\); al tomar los límites, \(p(r)\le0\le p(r)\), de donde \(p(r)=0\), es decir, \(r^2=2\). La construcción conserva el cambio de signo en cada paso, la completitud proporciona el punto común y la continuidad identifica ese punto como raíz. La cota \(2^{-n}\) permite además saber cuántas bisecciones bastan para alcanzar una precisión dada.
Solución 0.18 (EDC-C00-SOL-018)
La anchura común es \(r/n\). Las muestras derechas son \(rk/n\) con \(k=1,\ldots,n\). Por la fórmula de suma de cuadrados,
\[ R_n=\frac rn\sum_{k=1}^n\left(\frac{rk}{n}\right)^2 =r^3\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}. \]
Con muestras izquierdas \(rk/n\), \(k=0,\ldots,n-1\), obtenemos
\[ L_n=r^3\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}. \]
En particular, \(R_n-L_n=r^3/n\to0\) y \(L_n,R_n\to r^3/3\). Para \(F(x)=x^3/3\),
\[ \frac{F(x+h)-F(x)}h =\frac{(x+h)^3-x^3}{3h} =x^2+xh+\frac{h^2}3\longrightarrow x^2 \]
cuando \(h\to0\), \(h\ne0\). El cambio \(F(r)-F(0)=r^3/3\) coincide con el límite de las sumas, y el cociente incremental de \(F\) recupera las alturas que utilizamos en los rectángulos. Hemos comprobado así las dos partes de una relación sugerente para esta función particular. La afirmación general requiere todavía definir la integral, controlar la independencia respecto de las muestras y demostrar bajo qué hipótesis se recupera la función mediante una tasa de cambio. Ésa será la tarea de los capítulos 5 y 6.