Capítulo 2 — Ejercicios

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Exposición · Ejercicios · Soluciones

Todos los ejercicios están concebidos para resolverse usando únicamente los capítulos 0–2. Las reglas deben emplearse sobre sus dominios. Salvo indicación contraria, se pide justificar los pasos esenciales y no limitarse a escribir una fórmula.

A. Reconocimiento y lenguaje

Ejercicio 2.1 (EDC-C02-EXR-001). Para \(f(x)=(x^2+1)/(x-1)\), determine el dominio real, explique por qué la derivada existe en cada punto de él y calcule \(f'(0)\).

Ejercicio 2.2 (EDC-C02-EXR-002). Determine cuáles de las fórmulas \((f+g)'=f'+g'\), \((fg)'=f'g'\), \((f/g)'=f'/g'\) y \((cf)'=cf'\) son universalmente válidas bajo hipótesis de derivabilidad y dominio apropiadas. Para cada fórmula falsa dé un contraejemplo concreto.

Ejercicio 2.3 (EDC-C02-EXR-003). Si \(p(x)=x^3-2x+5\), obtenga \(p'(a)\) a partir de reglas ya demostradas. Verifique separadamente \(p'(1)\) por el cociente incremental.

Ejercicio 2.4 (EDC-C02-EXR-004). En el teorema de la función inversa, distinga las hipótesis «\(f\) continua y estrictamente monótona» y «\(f'(a)\ne0\)». Explique qué garantiza cada una y examine \(f(x)=x^3\) en \(a=0\).

B. Derivación algebraica y composición

Ejercicio 2.5 (EDC-C02-EXR-005). Halle la derivada de \(p(x)=(3x^2-2x+1)(x^3+4)\) en \(\mathbb R\) de dos maneras: regla del producto y desarrollo polinómico.

Ejercicio 2.6 (EDC-C02-EXR-006). Derive \(q(x)=(x^2+1)/(x-2)\), indique el dominio y determine \(q'(3)\).

Ejercicio 2.7 (EDC-C02-EXR-007). Derive \(u(x)=(x^2+1)^5\) e identifique de modo explícito las funciones interior y exterior.

Ejercicio 2.8 (EDC-C02-EXR-008). Derive \(v(x)=\sqrt{1+3x^2}\) y justifique que la expresión derivada está definida para todo real.

Ejercicio 2.9 (EDC-C02-EXR-009). Derive \(w(x)=x^{-3}\), \(x\ne0\), y explique por qué no tiene sentido hablar de \(w'(0)\).

Ejercicio 2.10 (EDC-C02-EXR-010). Derive \(r(x)=e^x/(1+x^2)\) en \(\mathbb R\) y simplifique el numerador de su expresión final.

C. Exponenciales, logaritmos y trigonometría

Ejercicio 2.11 (EDC-C02-EXR-011). Halle las derivadas de \(f(x)=e^{2x-x^2}\) y \(g(x)=\ln(3+x^2)\). Indique sus dominios.

Ejercicio 2.12 (EDC-C02-EXR-012). Para \(0<x<\pi\), halle la derivada de \(h(x)=\ln(\sin x)\) y explique por qué el intervalo indicado evita problemas de dominio.

Ejercicio 2.13 (EDC-C02-EXR-013). Derive \(2^x\) para \(x\in\mathbb R\) y \(\log_2 x\) para \(x>0\). Señale por qué \(\log_2 x\) no es el recíproco de \(2^x\) evaluado en el mismo argumento.

Ejercicio 2.14 (EDC-C02-EXR-014). Halle la derivada de \(a(x)=\arctan(3x)\) en \(\mathbb R\).

Ejercicio 2.15 (EDC-C02-EXR-015). Determine el dominio real de \(b(x)=\arcsin(x^2)\) y derive donde exista la derivada bilateral. Discuta por separado \(x=\pm1\).

Ejercicio 2.16 (EDC-C02-EXR-016). Derive la función positiva \(k(x)=(1+x^2)^{\sin x}\) utilizando su representación exponencial; justifique su dominio.

D. Diagnóstico de inferencias inválidas

Ejercicio 2.17 (EDC-C02-EXR-017). Un estudiante afirma que \((fg)'=f'g'\). Refute la afirmación con \(f(x)=x\) y \(g(x)=x^2\); escriba la fórmula correcta.

Ejercicio 2.18 (EDC-C02-EXR-018). Otro estudiante sostiene: «Si \(f\circ g\) es derivable en \(a\), necesariamente \(f\) es derivable en \(g(a)\)». Analice \(f(t)=|t|\) y \(g(x)=x^2\).

Ejercicio 2.19 (EDC-C02-EXR-019). Refute «Toda función derivable tiene derivada continua» utilizando \(f(x)=x^2\sin(1/x)\) si \(x\ne0\), \(f(0)=0\). Escriba dos sucesiones testigo.

Ejercicio 2.20 (EDC-C02-EXR-020). Sea \(f(x)=2x\) si \(x<0\) y \(f(x)=x^2\) si \(x\ge0\). Decida si es continua y si es derivable en \(0\). ¿Qué papel desempeñan las derivadas laterales?

E. Demostraciones

Ejercicio 2.21 (EDC-C02-EXR-021). Demuestre directamente que si \(f\) es derivable en \(a\) y \(f(a)\ne0\), entonces \((1/f)'(a)=-f'(a)/f(a)^2\). Controle que \(f\) no se anula cerca de \(a\).

Ejercicio 2.22 (EDC-C02-EXR-022). Sea \(f\) derivable en un intervalo abierto \(I\). Demuestre por inducción que para \(n\in\mathbb N\) se cumple \((f^n)'=nf^{n-1}f'\) en \(I\).

Ejercicio 2.23 (EDC-C02-EXR-023). Si \(g:I\to\mathbb R\) es derivable y no se anula en \(I\), demuestre que \(\ln|g(x)|\) es derivable y que \((\ln|g|)'=g'/g\).

Ejercicio 2.24 (EDC-C02-EXR-024). Con la identidad \(E(x+y)=E(x)E(y)\) y \(E(x)>0\), pruebe que \(E(-x)=1/E(x)\). Junto con \(E(h)>1\) para \(h>0\) y continuidad, deduzca que \(E\) es creciente y que su recorrido es \((0,\infty)\), sin usar el teorema del valor medio.

F. Descubrimiento guiado

Ejercicio 2.25 (EDC-C02-EXR-025). Considere \(F(x)=\sqrt{x^2}=|x|\). Una aplicación mecánica de la cadena para \(x\ne0\) parece dar \(F'(x)=x/\sqrt{x^2}\). Compruebe la fórmula y explique por qué ese cálculo no define la derivada en \(0\).

Ejercicio 2.26 (EDC-C02-EXR-026). Para \(r\in\mathbb R\) demuestre, sin desarrollar series binomiales, que \(\lim_{h\to0}((1+h)^r-1)/h=r\); recuerde que \(1+h>0\) cerca de cero.

Ejercicio 2.27 (EDC-C02-EXR-027). Sea \(a,b>0\). En la rama superior de la elipse \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\), halle \(y'(x)\) para \(-a<x<a\) y evalúe la pendiente en \((a/\sqrt2,b/\sqrt2)\). Justifique la existencia de esa rama derivable.

G. Desafío de síntesis

Ejercicio 2.28 (EDC-C02-EXR-028). Sean \(\alpha,\beta\in\mathbb R\) y \(y(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x)\). Calcule \(y'\) y \(y''\) mediante reglas ya demostradas y verifique la identidad

\[ y''-2\alpha y'+(\alpha^2+\beta^2)y=0. \]

No se pide una teoría de ecuaciones diferenciales ni una afirmación de unicidad: sólo la verificación de esta identidad para la función indicada.