Capítulo 2 — Soluciones desarrolladas
Índice del libro · Prefacio · Itinerarios
Exposición · Ejercicios · Soluciones
Estas soluciones son elaboraciones matemáticas propias. La referencia EDC-C02-SOL-nnn corresponde exactamente al enunciado EDC-C02-EXR-nnn; todos los argumentos se apoyan en C00–C02. Cada hipótesis de dominio se conserva a lo largo del cálculo.
A. Reconocimiento y lenguaje
Solución 2.1 (EDC-C02-SOL-001)
La función \(f(x)=(x^2+1)/(x-1)\) está definida para \(x\in\mathbb R\setminus\{1\}\). Numerador y denominador son polinomios derivables y el denominador no se anula en ese conjunto; el Teorema 2.1 garantiza derivabilidad en cada punto del dominio. Como
\[ f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}, \]
obtenemos \(f'(0)=-1\). No existe \(f'(1)\): ni siquiera existe \(f(1)\).
Solución 2.2 (EDC-C02-SOL-002)
Son válidas \((f+g)'=f'+g'\) y \((cf)'=cf'\) cuando \(f,g\) sean derivables en el punto y \(c\) sea constante. Para \(f(x)=g(x)=x\), la derivada del producto es \((x^2)'=2x\), mientras \(f'g'=1\); falla la segunda fórmula. Para \(f(x)=x\) y \(g(x)=x+1\), con \(x\ne-1\), la derivada de \(f/g\) es \(1/(x+1)^2\), mientras \(f'/g'=1\). Por ejemplo, en \(x=1\) son \(1/4\) y \(1\). Además \(f'/g'\) podría carecer de sentido aunque el cociente original fuera derivable.
Solución 2.3 (EDC-C02-SOL-003)
Por linealidad y la fórmula de potencias, \(p'(a)=3a^2-2\). Para el control directo en \(a=1\),
\[ \frac{p(1+h)-p(1)}h =\frac{(1+h)^3-2(1+h)+5-(1-2+5)}h =1+3h+h^2\longrightarrow1. \]
Coincide con \(3(1)^2-2=1\).
Solución 2.4 (EDC-C02-SOL-004)
Continuidad y monotonía estricta en el intervalo hacen que exista una inversa sobre \(f(I)\), y garantizan su continuidad. La condición puntual \(f'(a)\ne0\) hace que sea legítimo tomar el recíproco del cociente incremental al pasar al límite; sin ella no se obtiene el valor finito del teorema. Para \(f(x)=x^3\), la inversa es \(F(y)=\sqrt[3]y\); en \(0\), \(f'(0)=0\), mientras
\[ \frac{F(h)-F(0)}h=|h|^{-2/3}\longrightarrow+\infty. \]
Así, \(F'(0)\) no existe como derivada real finita, aunque la función inversa sí existe y es continua.
B. Derivación algebraica y composición
Solución 2.5 (EDC-C02-SOL-005)
La regla del producto da
\[ p'(x)=(6x-2)(x^3+4)+(3x^2-2x+1)(3x^2). \]
Expandiendo la función original obtenemos \(p(x)=3x^5-2x^4+x^3+12x^2-8x+4\), de donde
\[ p'(x)=15x^4-8x^3+3x^2+24x-8. \]
Las expresiones coinciden al desarrollar la primera; las dos rutas comprueban la misma regla sin presuponerla en la expansión.
Solución 2.6 (EDC-C02-SOL-006)
El dominio es \(\mathbb R\setminus\{2\}\). Por el cociente,
\[ q'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2+1)}{(x-2)^2} =\frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}. \]
En \(x=3\) obtenemos \(q'(3)=9-12-1=-4\).
Solución 2.7 (EDC-C02-SOL-007)
La quinta potencia se aplica al valor de \(x^2+1\), de modo que elegimos \(g(x)=x^2+1\) como función interior y \(f(t)=t^5\) como exterior. Al derivar la exterior, la cuarta potencia sigue evaluándose en \(g(x)\); después multiplicamos por el cambio de la interior, \(g'(x)=2x\). La regla de la cadena produce
\[ u'(x)=f'(g(x))g'(x)=5(x^2+1)^4(2x)=10x(x^2+1)^4. \]
El dominio es todo \(\mathbb R\).
Solución 2.8 (EDC-C02-SOL-008)
Antes de aplicar la cadena, comprobamos dónde se evalúa la raíz: la función interior \(1+3x^2\) es estrictamente positiva para todo \(x\in\mathbb R\). Por ello sus valores pertenecen al intervalo \((0,\infty)\) en el que la raíz es derivable, como demostró el teorema de la inversa. Multiplicamos entonces la derivada de la raíz, evaluada en \(1+3x^2\), por la derivada interior \(6x\):
\[ v'(x)=\frac{6x}{2\sqrt{1+3x^2}} =\frac{3x}{\sqrt{1+3x^2}},\qquad x\in\mathbb R. \]
Nunca se anula su denominador.
Solución 2.9 (EDC-C02-SOL-009)
Si \(x\ne0\), \(x^{-3}=1/x^3\), y la regla del cociente da
\[ w'(x)=-\frac{3x^2}{x^6}=-3x^{-4}. \]
En \(x=0\) no hay valor de \(w\) y, por tanto, tampoco cociente incremental de \(w\).
Solución 2.10 (EDC-C02-SOL-010)
Como \(1+x^2>0\) para todo real,
\[ r'(x)=\frac{e^x(1+x^2)-e^x(2x)}{(1+x^2)^2} =\frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}. \]
La expresión es no negativa en toda la recta; sin utilizar todavía el valor medio, esta observación no es en sí una demostración de monotonía global.
C. Exponenciales, logaritmos y trigonometría
Solución 2.11 (EDC-C02-SOL-011)
Para \(f\), el exponente es un polinomio, luego
\[ f'(x)=e^{2x-x^2}(2-2x),\qquad x\in\mathbb R. \]
Para \(g\), \(3+x^2>0\) para todo \(x\), y la cadena con \((\ln u)'=1/u\) da
\[ g'(x)=\frac{2x}{3+x^2},\qquad x\in\mathbb R. \]
Solución 2.12 (EDC-C02-SOL-012)
Para \(0<x<\pi\), \(\sin x>0\); por ello \(\ln(\sin x)\) es una función real derivable. La cadena da
\[ h'(x)=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x. \]
En \(0\) y \(\pi\) el seno es cero y el logaritmo no está definido; fuera del intervalo el signo del seno requiere revisar el dominio.
Solución 2.13 (EDC-C02-SOL-013)
Las fórmulas son
\[ \frac d{dx}2^x=2^x\ln2,\qquad \frac d{dx}\log_2x=\frac1{x\ln2},\quad x>0. \]
La función \(\log_2\) es inversa funcional de \(2^x\): \(2^{\log_2x}=x\) para \(x>0\). La recíproca numérica de \(2^x\) es en cambio \(2^{-x}\), definida en todo \(\mathbb R\); no debe confundirse la inversión de una correspondencia con la inversión de sus valores.
Solución 2.14 (EDC-C02-SOL-014)
La derivada de \(\arctan u\) es \(1/(1+u^2)\) y la interior \(u=3x\) tiene derivada \(3\). Por tanto,
\[ a'(x)=\frac3{1+9x^2},\qquad x\in\mathbb R. \]
Solución 2.15 (EDC-C02-SOL-015)
Como \(x^2\in[0,1]\) precisamente cuando \(-1\le x\le1\), ése es el dominio real. En \(-1<x<1\) se puede aplicar la cadena y
\[ b'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}. \]
En \(x=\pm1\) la función existe pero el dominio no contiene un entorno bilateral, y el denominador de la fórmula se anula. No existe allí derivada bilateral según la definición de C01; cualquier discusión de derivadas laterales debe formularse expresamente.
Solución 2.16 (EDC-C02-SOL-016)
En esta función cambian tanto la base como el exponente. La regla para \(x^r\) supone que \(r\) permanece fijo, así que necesitamos expresar esa doble dependencia con operaciones cuyas derivadas conocemos. La base \(1+x^2\) es siempre positiva y permite usar su logaritmo; por definición de potencia real,
\[ k(x)=\exp\bigl(\sin x\,\ln(1+x^2)\bigr) \]
está definida para todo real. Dentro de la exponencial aparece el producto de \(\sin x\) y \(\ln(1+x^2)\): su derivada recoge por separado el cambio de ambos factores. La cadena añade después la exponencial de ese producto, que es la función original. Obtenemos
\[ k'(x)=(1+x^2)^{\sin x} \left[\cos x\,\ln(1+x^2)+\sin x\,\frac{2x}{1+x^2}\right]. \]
El término con \(\cos x\) recoge la variación del exponente; el término con \(2x/(1+x^2)\), la de la base. Ambos proceden de la reducción a \(E\circ(\sin\cdot\ln)\) y conservan el dominio positivo exigido por el logaritmo.
D. Diagnóstico de inferencias inválidas
Solución 2.17 (EDC-C02-SOL-017)
Con \(f(x)=x\), \(g(x)=x^2\), el producto es \(x^3\) y su derivada \(3x^2\), mientras \(f'(x)g'(x)=1\cdot2x=2x\). Son funciones diferentes. La igualdad correcta es \((fg)'=f'g+fg'\), que aquí da \(x^2+2x^2=3x^2\).
Solución 2.18 (EDC-C02-SOL-018)
La función \(f(t)=|t|\) no tiene derivada en \(t=0\), por diferencia entre los cocientes laterales. Sin embargo,
\[ (f\circ g)(x)=|x^2|=x^2 \]
es derivable en \(x=0\), con derivada cero. La falta de derivada de \(|t|\) en cero se debe a que sus pendientes desde los dos lados difieren. Aquí la función interior sólo toma valores no negativos: al sustituir \(t=x^2\), ambas aproximaciones al origen desde el dominio de \(x\) llegan al mismo lado del dominio exterior. La composición coincide así con un polinomio. El ejemplo muestra por qué las hipótesis de la cadena son suficientes y por qué su recíproco no vale.
Solución 2.19 (EDC-C02-SOL-019)
Para \(x\ne0\), \(f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\) y \(f'(0)=0\) por \(|f(h)/h|\le|h|\). Tomando
\[ x_n=\frac1{2\pi n},\qquad y_n=\frac1{(2n+1)\pi}, \]
obtenemos \(f'(x_n)=-1\) y \(f'(y_n)=1\). Ambas sucesiones tienden a cero; por el criterio secuencial de C00, \(f'\) carece de límite en el origen y no es continua allí.
Solución 2.20 (EDC-C02-SOL-020)
La función es continua en \(0\) porque ambas expresiones tienden a \(0=f(0)\). Para \(h>0\),
\[ \frac{f(h)-f(0)}h=h\longrightarrow0; \]
para \(h<0\) el cociente vale \(2\). Así \(f'_+(0)=0\) y \(f'_-(0)=2\). Como difieren, \(f'(0)\) no existe, por el Teorema 1.4. Continuidad no implica derivabilidad.
E. Demostraciones
Solución 2.21 (EDC-C02-SOL-021)
Para derivar el recíproco, primero debemos asegurar que existe cerca de \(a\). Como \(f\) es derivable, es continua en \(a\); la condición \(f(a)\ne0\) deja una distancia positiva entre ese valor y cero. La continuidad de \(f\) en \(a\) permite elegir \(\delta>0\) tal que \(|f(a+h)-f(a)|<|f(a)|/2\) cuando \(|h|<\delta\); por ello \(|f(a+h)|>|f(a)|/2>0\). Para \(h\ne0\) suficientemente pequeño,
\[ \frac{1/f(a+h)-1/f(a)}h =-\frac{f(a+h)-f(a)}h\frac1{f(a+h)f(a)}. \]
El primer factor tiende a \(f'(a)\) y el segundo a \(1/f(a)^2\), de donde \((1/f)'(a)=-f'(a)/f(a)^2\).
Solución 2.22 (EDC-C02-SOL-022)
Para \(n=1\) la afirmación \((f^1)'=f'\) es inmediata. Supuesta \((f^n)'=nf^{n-1}f'\), usamos \(f^{n+1}=f^nf\) y la regla del producto:
\[ (f^{n+1})'=nf^{n-1}f'\,f+f^n f' =(n+1)f^nf'. \]
La inducción vale punto por punto en \(I\); no se requiere que \(f\) sea positiva, pues son potencias enteras.
Solución 2.23 (EDC-C02-SOL-023)
Si \(g(x)>0\), la expresión es \(\ln g(x)\) y su derivada vale \(g'(x)/g(x)\) por cadena. Si \(g(x)<0\), tenemos \(\ln|g(x)|=\ln(-g(x))\), cuya derivada es \((-g'(x))/(-g(x))=g'(x)/g(x)\). Por continuidad y ausencia de ceros, el signo de \(g\) no cambia en un entorno suficientemente pequeño de cada punto, así que las dos fórmulas locales prueban el resultado en todo \(I\).
Solución 2.24 (EDC-C02-SOL-024)
La identidad multiplicativa relaciona argumentos opuestos: al poner \(y=-x\) en \(E(x+y)=E(x)E(y)\), queda \(E(0)=E(x)E(-x)=1\). Como \(E(x)>0\), podemos dividir y obtener \(E(-x)=1/E(x)\).
Para comparar dos argumentos \(u<v\), separamos la distancia positiva \(v-u\): la identidad da \(E(v)=E(u)E(v-u)>E(u)\) porque \(v-u>0\) y la serie implica \(E(v-u)>1\). Así se demuestra el crecimiento estricto sin usar derivadas ni valor medio.
Falta comprobar que ningún valor positivo queda fuera de la imagen. De la serie para \(x>0\) obtenemos \(E(x)\ge1+x\to\infty\) al crecer \(x\), y la relación de argumentos opuestos da \(E(-x)=1/E(x)\to0\). Para un valor positivo fijado, elegimos un argumento negativo cuya imagen sea menor y otro positivo cuya imagen sea mayor. La continuidad y el valor intermedio aseguran que el valor se alcanza entre ellos. La positividad de \(E\) excluye los valores restantes.
F. Descubrimiento guiado
Solución 2.25 (EDC-C02-SOL-025)
Para \(x\ne0\) se tiene \(\sqrt{x^2}=|x|\), y la cadena da
\[ F'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|} =\begin{cases}1,&x>0,\\-1,&x<0.\end{cases} \]
En \(0\), la función raíz exterior se evalúa en \(0\), punto donde su derivada finita no existe, de modo que la cadena invocada no cumple sus hipótesis. Además, el cociente directo \(|h|/h\) tiene límites laterales distintos. Por ambas vías, \(F'(0)\) no existe.
Solución 2.26 (EDC-C02-SOL-026)
Por definición de potencia real de base positiva y Teorema 2.5, \(p(x)=x^r=E(r\ln x)\) es derivable en \(x=1\) y \(p'(1)=r\cdot1^{r-1}=r\). El cociente incremental de \(p\) en \(1\) es precisamente
\[ \frac{(1+h)^r-1}{h},\qquad h\ne0,\quad1+h>0. \]
Por definición de derivada, el límite es \(r\). No hemos supuesto previamente un binomio infinito ni un desarrollo de Taylor.
Solución 2.27 (EDC-C02-SOL-027)
La derivación de la ecuación de la elipse presupone una rama derivable. Podemos justificarla aquí sin un teorema general de existencia: al despejar la ordenada positiva, para \(-a<x<a\) la rama superior es
\[ y(x)=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}>0, \]
composición de funciones derivables, pues el argumento de la raíz es positivo. Derivando \(x^2/a^2+y(x)^2/b^2=1\),
\[ \frac{2x}{a^2}+\frac{2y(x)y'(x)}{b^2}=0, \qquad y'(x)=-\frac{b^2x}{a^2y(x)}. \]
En el punto indicado, la pendiente es \(-b/a\). El método no permite dividir por \(y\) en los puntos extremos \((\pm a,0)\), donde la rama ya no es una función derivable en un entorno abierto con esa expresión.
G. Desafío de síntesis
Solución 2.28 (EDC-C02-SOL-028)
En \(y(x)\), el factor exponencial y el coseno dependen ambos de \(x\). Derivamos cada uno manteniendo el otro y sumamos sus contribuciones; la cadena aporta los factores constantes \(\alpha\) y \(\beta\). Por producto y cadena,
\[ y'(x)=e^{\alpha x}\bigl(\alpha\cos(\beta x)-\beta\sin(\beta x)\bigr). \]
Derivando una segunda vez con las mismas reglas,
\[ y''(x)=e^{\alpha x}\bigl((\alpha^2-\beta^2)\cos(\beta x)-2\alpha\beta\sin(\beta x)\bigr). \]
El coeficiente total de \(\cos(\beta x)\) en \(y''-2\alpha y'+(\alpha^2+\beta^2)y\) es
\[ (\alpha^2-\beta^2)-2\alpha^2+(\alpha^2+\beta^2)=0. \]
El coeficiente total de \(\sin(\beta x)\) es \(-2\alpha\beta+2\alpha\beta=0\). Por lo tanto, la identidad se cumple para todo \(x\in\mathbb R\), también en los casos \(\alpha=0\) o \(\beta=0\). No se ha demostrado que sean éstas todas las soluciones de tal ecuación.