Capítulo 10 — Ejercicios

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Exposición · Ejercicios · Soluciones

Cada problema debe resolverse con los resultados disponibles hasta C10. Distinga la existencia de una solución, la verificación por sustitución, la demostración de unicidad y el intervalo donde se afirma cada resultado. Las soluciones están en un archivo independiente; la numeración EDC-C10-EXR-nnn se corresponde exactamente con EDC-C10-SOL-nnn.

A. Interpretar ecuaciones y condiciones iniciales

Ejercicio 10.1 (EDC-C10-EXR-001). Clasifique \(y'=2t\), \(y'+3y=\cos t\), \(y'=y^2\) y \(y''+4y=0\) por orden, carácter lineal y autonomía. Indique cuál requiere, en general, dos condiciones iniciales escalares.

Ejercicio 10.2 (EDC-C10-EXR-002). Compruebe que \(y(t)=2e^{-3t}+1\) resuelve \(y'+3y=3\). Determine el dato en \(t=0\) y explique por qué la comprobación sola no demuestra que no existan otras soluciones con el mismo dato.

Ejercicio 10.3 (EDC-C10-EXR-003). Una función satisface \(y'(t)=2t\) en toda \(\mathbb R\). Demuestre que tiene la forma \(t^2+C\). ¿Cuál es la solución del PVI \(y(1)=5\)? Justifique unicidad.

Ejercicio 10.4 (EDC-C10-EXR-004). Interprete rigurosamente la forma integral \(y(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}F(s,y(s))ds\). Explique por qué ésta no constituye, por sí sola, una prueba de existencia de soluciones para cualquier función continua \(F\).

B. Reconstrucción, crecimiento y coeficientes variables

Ejercicio 10.5 (EDC-C10-EXR-005). Halle y verifique el único PVI \(y'=3t^2-2t\), \(y(0)=4\) sobre \(\mathbb R\).

Ejercicio 10.6 (EDC-C10-EXR-006). Resuelva \(y'=-2y\), \(y(0)=7\), pruebe unicidad sin dividir por \(y\) y determine \(\lim_{t\to\infty}y(t)\).

Ejercicio 10.7 (EDC-C10-EXR-007). Sea \(a(t)=2t\) en \(\mathbb R\). Resuelva \(y'=2ty\), \(y(1)=3\). Determine el signo de la solución y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejercicio 10.8 (EDC-C10-EXR-008). Pruebe que la única solución del PVI \(y'=a(t)y\), \(y(t_0)=0\) es \(y\equiv0\) cuando \(a\) es continua, y explique por qué la división por \(y\) perdería este caso.

Ejercicio 10.9 (EDC-C10-EXR-009). Encuentre \(y\) si \(y'=1/(1+t^2)\), \(y(0)=2\). Determine si la solución está definida sobre toda \(\mathbb R\) y demuestre su unicidad.

C. Factor integrante y estabilidad

Ejercicio 10.10 (EDC-C10-EXR-010). Resuelva y compruebe \(y'+2y=3\), \(y(0)=1\), mostrando el factor integrante y los límites correctos de la integral.

Ejercicio 10.11 (EDC-C10-EXR-011). Resuelva \(y'+y=t\), \(y(0)=0\). Compruebe mediante derivación y diga qué sucede cuando \(t\to\infty\).

Ejercicio 10.12 (EDC-C10-EXR-012). Resuelva \(y'+(1/t)y=t\) con \(y(1)=2\) sobre \((0,\infty)\). Explique por qué la afirmación de existencia sobre todo \(\mathbb R\) no está justificada.

Ejercicio 10.13 (EDC-C10-EXR-013). Demuestre que toda solución de \(y'+p(t)y=q(t)\) sobre un intervalo difiere de una solución particular por \(Ce^{-P(t)}\). Identifique la dependencia respecto del dato inicial.

Ejercicio 10.14 (EDC-C10-EXR-014). Para \(y'+y=q_i(t)\), \(i=1,2\), sobre \([0,2]\), con \(|q_1-q_2|\le1/10\) e iniciales \(a_1,a_2\) con \(|a_1-a_2|\le1/5\), use el Teorema 10.4 para obtener una cota explícita de \(|y_1(2)-y_2(2)|\).

Ejercicio 10.15 (EDC-C10-EXR-015). Resuelva \(y'+(2t)y=2t\) en \(\mathbb R\) si \(y(0)=0\). Verifique que \(y(t)=1-e^{-t^2}\) satisface el dato y la ecuación; justifique su unicidad.

D. Separación, equilibrios y unicidad

Ejercicio 10.16 (EDC-C10-EXR-016). Resuelva en la rama \(y>0\) el PVI \(y'=t y^2\), \(y(0)=1\). Indique el intervalo máximo que contiene cero en el que su fórmula permanece positiva y explique la singularidad de borde.

Ejercicio 10.17 (EDC-C10-EXR-017). Determine los equilibrios de \(y'=y(2-y)\). Para \(y(0)=1\), halle y compruebe una solución explícita; indique si aumenta o disminuye cuando \(t\ge0\).

Ejercicio 10.18 (EDC-C10-EXR-018). Resuelva el PVI \(y'=\cos t\, y\), \(y(0)=-2\). Explique por qué el signo no cambia aun cuando \(\cos t\) cambia de signo.

Ejercicio 10.19 (EDC-C10-EXR-019). El PVI \(y'=\sqrt{|y|}\), \(y(0)=0\) admite la solución nula. Construya dos soluciones adicionales distintas, verificando continuidad de sus derivadas en los tiempos de partida.

Ejercicio 10.20 (EDC-C10-EXR-020). Justifique la desigualdad \(|u(1-u/K)-v(1-v/K)|\le(1+2M/K)|u-v|\) cuando \(|u|,|v|\le M\), \(K>0\). Deduzca unicidad entre soluciones existentes y acotadas sobre un compacto para la ecuación logística.

Ejercicio 10.21 (EDC-C10-EXR-021). Para \(r=2\), \(K=10\), \(y(0)=2\), halle la solución logística exacta y el límite a tiempo futuro. Calcule el instante en el que alcanza \(5\).

Ejercicio 10.22 (EDC-C10-EXR-022). Estudie \(y'=2y(1-y/10)\) con dato \(y(0)=-5\). Calcule el tiempo positivo en que se anula el denominador de la fórmula logística y explique por qué no puede proclamarse solución global para ese dato.

E. Modelos y segundo orden

Ejercicio 10.23 (EDC-C10-EXR-023). En el modelo de enfriamiento con \(T_a=20\), \(k=1/2\) por hora y \(T(0)=80\), obtenga \(T(t)\) para \(t\ge0\) y el tiempo exacto en que \(T=35\). Compruebe las unidades del exponente.

Ejercicio 10.24 (EDC-C10-EXR-024). Una temperatura satisface \(T'=-T+10+\sin t\), \(T(0)=0\). Resuelva mediante factor integrante y verifique que la solución satisface el dato.

Ejercicio 10.25 (EDC-C10-EXR-025). Un cuerpo obedece \(mv'=mg-\gamma v\), con \(m=2\), \(g=10\), \(\gamma=4\) en unidades coherentes, y \(v(0)=0\). Halle su velocidad terminal, su fórmula \(v(t)\) y el instante en que alcanza la mitad de la velocidad terminal.

Ejercicio 10.26 (EDC-C10-EXR-026). Resuelva \(x''+9x=0\) con \(x(0)=2\), \(x'(0)=-3\). Verifique ambas condiciones iniciales y pruebe la unicidad mediante la energía de la diferencia de dos soluciones.

Ejercicio 10.27 (EDC-C10-EXR-027). Para \(x''+\omega^2x=0\), demuestre que \((x')^2+\omega^2 x^2\) es constante. Explique qué combinación de datos iniciales fuerza la solución nula y por qué este argumento no es un teorema general para cualquier ecuación de segundo orden.

F. Diagnóstico fundacional y aproximación

Ejercicio 10.28 (EDC-C10-EXR-028). Distinga con ejemplos concretos las afirmaciones: «existe solución», «es única en un PVI», «está definida globalmente», «su fórmula tiene una singularidad». Use tres ecuaciones de C10 y no invoque un teorema general de existencia.

Ejercicio 10.29 (EDC-C10-EXR-029). Sea \(y'=y\), \(y(0)=1\). Compare el paso de Euler desde \(t=0\) hasta \(h>0\) con la solución exacta y demuestre mediante Taylor que el error local es a lo sumo \(e^h h^2/2\). Explique por qué no se trata de un control automático del error tras \(N\) pasos.

Ejercicio 10.30 (EDC-C10-EXR-030). Síntesis. Considere la EDO lineal \(y'+2y=1+t\), \(y(0)=1\). (a) Construya una solución exacta por factor integrante. (b) Compruebe la ecuación y la unicidad. (c) Calcule \(y'(0)\) y \(y''(0)\), construya \(T_{2,0}y\). (d) Deduzca una cota explícita del error de Taylor en \(0\le t\le1\) usando Lagrange y una cota de la tercera derivada. Identifique los resultados previos que legitiman cada paso.