Capítulo 10 — Soluciones desarrolladas
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Exposición · Ejercicios · Soluciones
Las respuestas corresponden biunívocamente a los treinta ejercicios de C10. En cada resultado se explicita el intervalo o rama y se diferencia la comprobación de una fórmula de su existencia y unicidad. No se invocan C11 ni teoremas generales de existencia de EDO que no se hayan demostrado.
A. Interpretar ecuaciones y condiciones iniciales
Solución 10.1 (EDC-C10-SOL-001)
\(y'=2t\) es de primer orden, lineal (coeficientes \(p=0\), \(q=2t\)) y no autónoma porque el lado derecho depende explícitamente de \(t\). \(y'+3y=\cos t\) es de primer orden, lineal inhomogénea y no autónoma. \(y'=y^2\) es de primer orden, autónoma y no lineal en \(y\). \(y''+4y=0\) es de segundo orden, lineal homogénea y autónoma si se entiende que no hay dependencia explícita de \(t\). Para la última ecuación se requieren en general dos números, \(y(t_0)\) e \(y'(t_0)\), para seleccionar una solución única dentro de la familia explicitada en el Teorema 10.10. El solo orden de una ecuación no es prueba de existencia global para modelos arbitrarios.
Solución 10.2 (EDC-C10-SOL-002)
Derivamos \(y'=-6e^{-3t}\). Entonces \(y'+3y=-6e^{-3t}+3(2e^{-3t}+1)=3\). El dato inicial es \(y(0)=2+1=3\). Esta sustitución acredita que tenemos una solución. Para afirmar unicidad utilizamos el Teorema 10.3 con \(p=3\), \(q=3\) continuas en \(\mathbb R\), o restamos dos soluciones y aplicamos el Teorema 10.2 a \(w'=-3w\), \(w(0)=0\). Ambos procedimientos de unicidad excluyen otras soluciones con el mismo dato: el teorema lo hace mediante la fórmula forzada por el factor integrante, y la comparación reduce la diferencia a una solución homogénea con valor inicial cero.
Solución 10.3 (EDC-C10-SOL-003)
La derivada de \(t^2\) es \(2t\); por el valor medio, si \(y'=2t\), la diferencia \(y-t^2\) tiene derivada cero y es una constante \(C\) en \(\mathbb R\). El dato \(y(1)=5\) obliga \(1+C=5\), luego \(C=4\). Así \(y(t)=t^2+4\) para todo real. Equivalentemente, C06 da \(y(t)=5+\int_1^t 2s\,ds=5+t^2-1\). El Teorema 10.1 asegura existencia y unicidad.
Solución 10.4 (EDC-C10-SOL-004)
Si \(y\) ya es una solución \(C^1\) y \(F\) es continua a lo largo de su gráfica, la regla de Newton–Leibniz produce \(y(t)-y(t_0)=\int_{t_0}^t y'(s)ds=\int_{t_0}^tF(s,y(s))ds\). Si una función \(C^1\) satisface la identidad, derivar mediante C06 recupera la ecuación. En ambos razonamientos se comienza suponiendo la disponibilidad de \(y\). El integrando contiene todavía a \(y\), por lo que la identidad no permite calcular el miembro derecho sin conocer la función buscada. En \(y'=g(t)\) la dificultad desaparece, pues el integrando ya está dado. Para un campo general \(F(t,y)\) haría falta un argumento que construyese una función y demostrase que satisface la identidad. La equivalencia sólo asegura que tal función, si se obtiene, resuelve también la ecuación diferencial.
B. Reconstrucción, crecimiento y coeficientes variables
Solución 10.5 (EDC-C10-SOL-005)
Por el Teorema 10.1,
\[ y(t)=4+\int_0^t(3s^2-2s)ds=4+t^3-t^2. \]
Su derivada es \(3t^2-2t\) y \(y(0)=4\). El integrando es polinómico y continuo en toda la recta, de modo que la solución está definida y es única en \(\mathbb R\).
Solución 10.6 (EDC-C10-SOL-006)
El Teorema 10.2 con \(a=-2\) da \(y(t)=7e^{-2t}\). Su derivada vale \(-14e^{-2t}=-2y\) y \(y(0)=7\). Si \(z\) fuese otra solución, \(e^{2t}z\) tendría derivada \(e^{2t}(z'+2z)=0\), y por el valor medio sería constante e igual a \(7\). Así \(z=y\) sin dividir por \(z\). Como \(e^{-2t}\to0\) al crecer \(t\), el límite pedido es cero.
Solución 10.7 (EDC-C10-SOL-007)
Integramos \(a\): \(\int_1^t2s\,ds=t^2-1\). Por el Teorema 10.2,
\[ y(t)=3e^{t^2-1}. \]
Es positiva en toda la recta y su derivada es \(6te^{t^2-1}\), que tiene el signo de \(t\). Por tanto decrece estrictamente en \((-\infty,0)\), tiene mínimo en \(0\) y crece estrictamente en \((0,\infty)\). El dato en \(t=1\) vale \(3\). Que \(a(t)\) sea negativa antes de cero no implica que la solución sea negativa: el signo de \(y\) se conserva.
Solución 10.8 (EDC-C10-SOL-008)
La fórmula \(y(t)=0\cdot\exp(\int_{t_0}^t a)=0\) es solución. Para cualquier otra solución \(z\), el producto \(e^{-A(t)}z(t)\) tiene derivada cero, por el argumento del Teorema 10.2, y en \(t_0\) vale cero; de ahí \(z\equiv0\). El método informal \(y'/y=a(t)\) exigiría \(y\ne0\) y eliminaría precisamente esta solución. La unicidad evita concluir por error que la rama nula está perdida.
Solución 10.9 (EDC-C10-SOL-009)
La derivada de \(\arctan t\) es \(1/(1+t^2)\) en toda la recta, y \(\arctan0=0\). Por consiguiente,
\[ y(t)=2+\arctan t. \]
La función está definida para todo \(t\in\mathbb R\), es derivable y verifica tanto la ecuación como el dato. El Teorema 10.1 prueba que es la única solución \(C^1\) global para este PVI.
C. Factor integrante y estabilidad
Solución 10.10 (EDC-C10-SOL-010)
Con \(p=2\), el factor integrante normalizado es \(\mu(t)=e^{2t}\). Multiplicando la ecuación obtenemos \((e^{2t}y)'=3e^{2t}\). Integramos desde \(0\) hasta \(t\):
\[ e^{2t}y(t)-y(0)=3\int_0^t e^{2s}ds=\frac32(e^{2t}-1). \]
Como \(y(0)=1\), resulta \(y(t)=\frac32-\frac12e^{-2t}\). Derivando, \(y'=e^{-2t}\) y \(y'+2y=e^{-2t}+3-e^{-2t}=3\); en cero vale \(1\). Los coeficientes son continuos en toda \(\mathbb R\), por lo que el Teorema 10.3 aporta unicidad global.
Solución 10.11 (EDC-C10-SOL-011)
El factor \(e^t\) convierte \(y'+y\) en la derivada de \(e^ty\) al multiplicar la ecuación. Como el producto vale cero en el instante inicial, su valor en \(t\) es la integral desde cero. Para calcularla usamos integración por partes: una primitiva de \(se^s\) es \((s-1)e^s\), cuya derivada vuelve a ser \(se^s\). Así
\[ e^t y(t)=\int_0^t s e^s ds=[(s-1)e^s]_0^t=(t-1)e^t+1. \]
Por tanto \(y(t)=t-1+e^{-t}\). Su derivada es \(1-e^{-t}\); sumando \(y\) se obtiene \(t\). En cero vale \(-1+1=0\). Al tender \(t\to\infty\), el término exponencial desaparece y \(y(t)=t-1+o(1)\) diverge hacia \(+\infty\); no hay equilibrio constante por la fuente \(q(t)=t\).
Solución 10.12 (EDC-C10-SOL-012)
Trabajamos sobre \(J=(0,\infty)\), donde \(p(t)=1/t\) es continua. El factor integrante normalizado en \(t_0=1\) es \(\mu(t)=e^{\int_1^t ds/s}=e^{\ln t}=t\). Así \((ty)'=t^2\), e integrando de \(1\) a \(t\),
\[ ty(t)-2=\int_1^t s^2ds=\frac{t^3-1}{3}. \]
De aquí
\[ \boxed{y(t)=\frac{t^2}{3}+\frac{5}{3t}\qquad(t>0).} \]
La derivada es \(2t/3-5/(3t^2)\), y \(y'+y/t=t\). Se verifica \(y(1)=1/3+5/3=2\). El coeficiente \(1/t\) y la solución obtenida no están definidos en cero; el teorema garantiza unicidad en \((0,\infty)\), no en toda la recta. Además, el término \(5/(3t)\) tiende a \(+\infty\) cuando \(t\downarrow0\), por lo que esta trayectoria ni siquiera admite una prolongación continua con valor real finito en cero. La misma expresión puede evaluarse para \(t<0\), pero esa rama separada no une la solución del PVI a través del punto singular.
Solución 10.13 (EDC-C10-SOL-013)
Sean \(y\) y \(y_p\) soluciones de la misma ecuación con coeficientes continuos en \(J\). Su diferencia \(w=y-y_p\) satisface \(w'+pw=0\). Con \(P(t)=\int_{t_0}^t p\), el Teorema 10.2 aplicado a \(w\) da \(w(t)=w(t_0)e^{-P(t)}\). Así \(y=y_p+Ce^{-P}\), con \(C=y(t_0)-y_p(t_0)\). Recíprocamente, la suma satisface la ecuación porque \(Ce^{-P}\) resuelve la homogénea. Si \(y(t_0)=y_0\), sólo cabe \(C=y_0-y_p(t_0)\): ese valor selecciona una única curva de la familia.
Solución 10.14 (EDC-C10-SOL-014)
En el intervalo \([0,2]\) vale \(p=1\) y \(P_*=1\). El Teorema 10.4 con \(\eta=1/10\), diferencia inicial a lo sumo \(1/5\) y \(t-t_0=2\) proporciona
\[ |y_1(2)-y_2(2)|\le e^2\left(\frac15+\frac1{10}\cdot2\right)=\frac{2e^2}{5}. \]
La cota utiliza sólo \(|p|\le1\) y por ello permite el factor de crecimiento \(e^2\). Aquí conocemos además que \(p=1\) es positivo: en la fórmula de la diferencia, el dato se multiplica por \(e^{-t}\) y la fuente se integra con el peso \(e^{-(t-s)}\). Usando directamente esos pesos obtenemos, en \(t=2\), la cota \(e^{-2}/5+(1-e^{-2})/10=(1+e^{-2})/10\). Esta estimación más fina aprovecha información que la cota general descartó al tomar \(|p|\); la expresión solicitada por el ejercicio sigue siendo \(2e^2/5\).
Solución 10.15 (EDC-C10-SOL-015)
\(P(t)=\int_0^t2s\,ds=t^2\), \(\mu=e^{t^2}\). La fórmula integral es
\[ y(t)=e^{-t^2}\int_0^t2s e^{s^2}ds=e^{-t^2}(e^{t^2}-1)=1-e^{-t^2}. \]
Derivamos \(y'=2t e^{-t^2}\), mientras \(2t y=2t(1-e^{-t^2})\). La suma es \(2t\), y \(y(0)=0\). Como \(p(t)=2t\), \(q(t)=2t\) son continuas en toda \(\mathbb R\), el Teorema 10.3 garantiza que no hay otra solución con ese dato.
D. Separación, equilibrios y unicidad
Solución 10.16 (EDC-C10-SOL-016)
En la rama \(K=(0,\infty)\) tenemos \(b(y)=y^2>0\). La función \(B(y)=1-1/y\) es estrictamente creciente, tiende a \(-\infty\) cuando \(y\downarrow0\) y a \(1\) cuando \(y\to\infty\). Su imagen es, por tanto, \((-\infty,1)\). La condición que permite invertirla es \(A(t)=t^2/2<1\), que ya anticipa los dos extremos \(\pm\sqrt2\) del intervalo buscado. Integrar la ecuación dividida por \(y^2\) sólo sobre esa rama equivale a aplicar \(B(y)=\int_1^y dv/v^2=1-1/y\), de modo que
\[ 1-\frac1{y(t)}=\int_0^t s\,ds=\frac{t^2}{2}. \]
Por tanto \(y(t)=1/(1-t^2/2)\). La condición \(y>0\) y el dato en cero seleccionan el componente \((-\sqrt2,\sqrt2)\). En ese intervalo,
\[ y'(t)=\frac{t}{(1-t^2/2)^2}=t y(t)^2. \]
La función diverge a \(+\infty\) al aproximarse a cualquiera de los dos extremos desde dentro. No admite una prolongación \(C^1\) finita que atraviese esos puntos manteniendo el mismo dato y esa rama; existe, no obstante, una fórmula racional en los intervalos exteriores desconectados que no prolonga la trayectoria a través de la singularidad.
Solución 10.17 (EDC-C10-SOL-017)
El campo es \(b(y)=y(2-y)\); se anula sólo en \(y=0\) y \(y=2\). Son los equilibrios. Es la ecuación logística con \(r=2\), \(K=2\), \(t_0=0\), \(y_0=1\), para la cual \(A=2/1-1=1\). Así
\[ y(t)=\frac{2}{1+e^{-2t}}. \]
En cero vale uno. Derivando,
\[ y'(t)=\frac{4e^{-2t}}{(1+e^{-2t})^2}=y(t)(2-y(t)). \]
Para \(t\ge0\), el valor está entre \(1\) y \(2\), por lo que \(y'>0\): aumenta y tiende a \(2\) sin alcanzar ese valor en tiempo finito. La unicidad viene del Teorema 10.6 aplicado al campo polinómico en compactos.
Solución 10.18 (EDC-C10-SOL-018)
La función \(a(t)=\cos t\) es continua y su integral desde cero es \(\sin t\). El Teorema 10.2 da
\[ y(t)=-2e^{\sin t}\quad(t\in\mathbb R). \]
Su derivada es \(-2e^{\sin t}\cos t=\cos t\,y(t)\) y en cero vale \(-2\). La exponencial es estrictamente positiva para cualquier exponente, así que el signo de la solución es siempre negativo; los cambios de signo de \(\cos t\) modifican la dirección de variación, no hacen cruzar \(y=0\).
Solución 10.19 (EDC-C10-SOL-019)
Tomemos \(c=0\) y \(c=1\) en la familia de la Proposición 10.3:
\[ y_0(t)=\begin{cases}0,&t\le0,\\t^2/4,&t>0,\end{cases}\qquad y_1(t)=\begin{cases}0,&t\le1,\\(t-1)^2/4,&t>1.\end{cases} \]
Para comprobar la derivada en el tiempo de partida \(c\), calculamos el cociente incremental: para \(h<0\) es cero y para \(h>0\) vale \([(h^2/4)-0]/h=h/4\). Ambos límites son cero, de modo que la derivada existe en \(c\). Fuera de ese punto es cero a la izquierda y \((t-c)/2\) a la derecha; al acercarse a \(c\), sus dos límites coinciden con la derivada recién calculada. Así la función es \(C^1\), incluido el empalme. Antes de \(c\), \(y'=\sqrt{|y|}=0\); después, ambas expresiones valen \((t-c)/2\). Ambas cumplen \(y(0)=0\), pero por ejemplo \(y_0(1)=1/4\) y \(y_1(1)=0\); son distintas entre sí y de la trayectoria nula.
Solución 10.20 (EDC-C10-SOL-020)
Restando y factorizando,
\[ \left(u-\frac{u^2}{K}\right)-\left(v-\frac{v^2}{K}\right) =(u-v)\left(1-\frac{u+v}{K}\right). \]
Si \(|u|,|v|\le M\), entonces \(|u+v|\le2M\), y la desigualdad triangular da la cota solicitada. Multiplicando por \(r>0\) obtenemos un coeficiente Lipschitz \(L=r(1+2M/K)\) para \(F(y)=ry(1-y/K)\) en la banda acotada. Para dos soluciones con el mismo dato inicial, fijamos un intervalo temporal compacto común que contenga ese instante. Sus imágenes son acotadas por continuidad; tomando el mayor de los dos módulos máximos elegimos un \(M\) que encierra a ambas en la banda \([-M,M]\). El campo es continuo en el rectángulo temporal correspondiente y la desigualdad recién obtenida vale para todos los valores de esa banda. Se cumplen así las hipótesis del Teorema 10.6, que identifica las dos trayectorias en el compacto. Esto prueba unicidad si ambas soluciones ya existen, no existencia a partir de cualquier campo abstracto.
Solución 10.21 (EDC-C10-SOL-021)
Tenemos \(A=K/y_0-1=10/2-1=4\). El Teorema 10.7 da
\[ y(t)=\frac{10}{1+4e^{-2t}},\qquad t\ge0. \]
La función es positiva, creciente porque comienza entre \(0\) y \(K\), y \(y(t)\to10\). Para hallar el instante con \(y=5\):
\[ 5=\frac{10}{1+4e^{-2t}} \iff 4e^{-2t}=1 \iff t=\frac{\ln4}{2}=\ln2. \]
Los logaritmos están aplicados a números positivos y el tiempo es no negativo, como exige el régimen indicado.
Solución 10.22 (EDC-C10-SOL-022)
Para \(y_0=-5\), \(K=10\) resulta \(A=10/(-5)-1=-3\). La fórmula verificable es
\[ y(t)=\frac{10}{1-3e^{-2t}}. \]
El denominador se anula cuando \(e^{-2t}=1/3\), es decir, en \(t_*=(\ln3)/2>0\). Sobre \([0,t_*)\) es negativo y la función satisface la ecuación y el dato \(y(0)=10/(1-3)=-5\). Al aproximarse \(t\uparrow t_*\), el denominador tiende a cero por valores negativos y \(y(t)\to-\infty\). Una función real continua no puede tener ese límite en un tiempo interior de su dominio; no existe prolongación clásica de esa trayectoria a través de \(t_*\). Si existiese una solución del mismo PVI que atravesase ese tiempo con valor finito, la unicidad del campo polinómico en compactos la haría coincidir con la fórmula en cada intervalo anterior a \(t_*\). Tendría entonces que compartir el límite \(-\infty\), incompatible con su continuidad en \(t_*\). La divergencia de esta trayectoria impide, pues, una prolongación clásica. El Teorema 10.7 exigía dato inicial positivo; para el dato negativo hemos usado la comprobación directa y la unicidad, sin trasladar aquella conclusión de existencia futura global.
E. Modelos y segundo orden
Solución 10.23 (EDC-C10-SOL-023)
Con \(T_a=20\), \(T_0=80\), \(k=1/2\,\mathrm{h}^{-1}\) y \(t_0=0\), el Teorema 10.8 da
\[ T(t)=20+60e^{-t/2}\qquad(t\ge0,\ t\text{ en horas}). \]
\(T=35\) equivale a \(15=60e^{-t/2}\), de donde \(e^{-t/2}=1/4\) y \(t=2\ln4\) horas. El exponente es adimensional porque \((1/2\,\mathrm{h}^{-1})\cdot(t\,\mathrm h)\) carece de unidades. Las cifras son parámetros de un modelo idealizado, no una predicción validada experimentalmente.
Solución 10.24 (EDC-C10-SOL-024)
La ecuación es \(T'+T=10+\sin t\), con factor \(\mu=e^t\). Para integrar \(e^s\sin s\), integración por partes relaciona su primitiva con la de \(e^s\cos s\); aplicándola una segunda vez se recupera la primera integral y se puede despejar. El resultado es \(e^s(\sin s-\cos s)/2\), cuya derivada es \(e^s\sin s\). Su valor en cero es \(-1/2\), origen del término positivo \(1/2\) al evaluar la integral definida. De \(T(0)=0\),
\[ e^tT(t)=\int_0^t e^s(10+\sin s)ds =10(e^t-1)+\frac{e^t}{2}(\sin t-\cos t)+\frac12. \]
Así
\[ \boxed{T(t)=10+\frac12(\sin t-\cos t)-\frac{19}{2}e^{-t}.} \]
En \(t=0\), \(10-1/2-19/2=0\). Derivando, \(T'=\frac12(\cos t+\sin t)+\frac{19}{2}e^{-t}\); al sumar \(T\) obtenemos \(10+\sin t\). La continuidad de la fuente asegura unicidad global mediante 10.3.
Solución 10.25 (EDC-C10-SOL-025)
La velocidad terminal del modelo es \(v_\infty=mg/\gamma=2\cdot10/4=5\) en unidades de velocidad. Además \(\gamma/m=4/2=2\) en tiempo inverso. Con \(v_0=0\),
\[ v(t)=5(1-e^{-2t}),\qquad t\ge0. \]
La mitad de la terminal se alcanza cuando \(5(1-e^{-2t})=5/2\), equivalente a \(e^{-2t}=1/2\), es decir, \(t=(\ln2)/2\). Por derivación \(v'=10e^{-2t}\) y \(mv'=20e^{-2t}=20-4\cdot5(1-e^{-2t})=mg-\gamma v\), confirmando el modelo.
Solución 10.26 (EDC-C10-SOL-026)
\(\omega=3\), \(x_0=2\) y \(v_0=-3\); el Teorema 10.10 da
\[ x(t)=2\cos(3t)-\sin(3t). \]
Su derivada es \(x'=-6\sin(3t)-3\cos(3t)\) y \(x''=-18\cos(3t)+9\sin(3t)=-9x\). En cero: \(x(0)=2\), \(x'(0)=-3\). Para unicidad, si \(w\) es diferencia de dos soluciones, \(w''+9w=0\) y los datos de \(w,w'\) en cero son nulos. La energía \(E=(w')^2+9w^2\) cumple \(E'=2w'(w''+9w)=0\). Por el valor medio es constante, y los dos datos iniciales nulos dan \(E(0)=0\). En cada instante, la suma de los dos cuadrados debe ser cero: ninguno puede compensar al otro con un valor negativo. Así \(w=w'=0\) en toda la recta, lo que demuestra unicidad.
Solución 10.27 (EDC-C10-SOL-027)
Sea \(E=(x')^2+\omega^2x^2\). Como \(x\in C^2\),
\[ E'=2x'x''+2\omega^2xx'=2x'(x''+\omega^2x)=0. \]
Por el valor medio, \(E\) es constante. Si \(x(t_0)=x'(t_0)=0\), entonces \(E(t_0)=0\), y los dos cuadrados no negativos implican \(x(t)=x'(t)=0\) para todo tiempo del intervalo; la solución es nula. Esta prueba explota una identidad de energía específica y el signo positivo de \(\omega^2\); no proporciona por sí misma un teorema de existencia o unicidad para cualquier EDO de segundo orden.
F. Diagnóstico fundacional y aproximación
Solución 10.28 (EDC-C10-SOL-028)
Para \(y'+2y=3\), \(y(0)=1\), la fórmula \(y=3/2-(1/2)e^{-2t}\) demuestra existencia sobre toda \(\mathbb R\), y el factor integrante prueba unicidad: se verifican las tres propiedades. Para \(y'=\sqrt{|y|}\), \(y(0)=0\), hay soluciones, pero la Proposición 10.3 produce infinitas con el mismo dato; algunas incluso están definidas globalmente. Para \(y'=t y^2\), \(y(0)=1\), la solución positiva \(1/(1-t^2/2)\) existe y es única en su rama sobre \((-\sqrt2,\sqrt2)\), pero su fórmula posee polos en los extremos y no se prolonga como función clásica real finita a través de ellos. La existencia local, la unicidad y la globalidad son propiedades lógicamente distintas, no sinónimos.
Solución 10.29 (EDC-C10-SOL-029)
La solución exacta es \(y(t)=e^t\) (Teorema 10.2). El paso de Euler desde la posición exacta \(y(0)=1\) es \(y_E(h)=1+h F(0,1)=1+h\). El error es \(e^h-(1+h)\). Taylor–Lagrange de orden uno, entre \(0\) y \(h>0\), da \(e^h=1+h+\frac12e^{\xi}h^2\) para \(0<\xi<h\). De aquí
\[ 0\le e^h-(1+h)\le\frac12e^h h^2. \]
El Lema 10.2 también asegura esta cota con \(M=e^h\). Pero en un segundo paso el método numérico arranca desde \(1+h\), no desde el verdadero \(e^h\); el error anterior se transmite. Incluso para esta ecuación podemos ver la transmisión: con pasos de tamaño \(h\), dos pasos de Euler dan \((1+h)^2\), mientras la solución exacta vale \(e^{2h}\). La diferencia se descompone como \(e^{2h}-(1+h)^2=(1+h)[e^h-(1+h)]+e^h[e^h-1-h]\). El primer sumando transporta el error del paso anterior y el segundo es el error local de un paso iniciado en el valor exacto \(e^h\). Para \(N\) pasos tendríamos que controlar la suma de esas contribuciones propagadas; la cota de un paso aislado no realiza ese trabajo.
Solución 10.30 (EDC-C10-SOL-030)
- La ecuación lineal tiene \(p=2\) y \(q(t)=1+t\). El factor es \(e^{2t}\). La fórmula del Teorema 10.3 produce
\[ y(t)=e^{-2t}\left(1+\int_0^t e^{2s}(1+s)ds\right). \]
Por integración por partes de C07, una primitiva de \(e^{2s}(1+s)\) es \(e^{2s}(s/2+1/4)\); derivándola se verifica \(e^{2s}(1+s)\). Por tanto
\[ \begin{aligned} \int_0^t e^{2s}(1+s)ds&=e^{2t}(t/2+1/4)-1/4,\\ y(t)&=\boxed{\frac t2+\frac14+\frac34e^{-2t}}. \end{aligned} \]
En cero, \(y(0)=1/4+3/4=1\). Además \(y'=1/2-(3/2)e^{-2t}\) y \(y'+2y=[1/2-(3/2)e^{-2t}]+[t+1/2+(3/2)e^{-2t}]=1+t\). Los coeficientes de la EDO son continuos en \(\mathbb R\); el Teorema 10.3 da unicidad global, no sólo verificación algebraica.
También podemos obtener las primeras derivadas sin volver a derivar la fórmula completa. La ecuación da \(y'=1+t-2y\), de modo que \(y'(0)=1-2=-1\); al derivarla, \(y''=1-2y'\) y por tanto \(y''(0)=3\). La fórmula explícita justifica la regularidad necesaria y permite comprobar estos valores. De la expresión exacta, \(y'(0)=1/2-3/2=-1\), \(y''(t)=3e^{-2t}\) y \(y''(0)=3\). Por ello
\[ T_{2,0}y(t)=1-t+\frac32t^2. \]
- La tercera derivada es \(y'''(t)=-6e^{-2t}\). Para \(0\le t\le1\), \(|y'''(t)|\le6\). El Teorema 9.4 de Taylor–Lagrange, aplicado con \(n=2\) sobre \([0,t]\), asegura
\[ \left|\frac t2+\frac14+\frac34e^{-2t}-\left(1-t+\frac32t^2\right)\right| \le\frac{6t^3}{3!}=t^3. \]
La reconstrucción viene del factor integrante (10.3), la antiderivada y la comprobación de C07 y C02, la unicidad de 10.3, y la cota de C09. No se ha supuesto ninguna teoría general de existencia o unicidad fuera de esta clase lineal.