La estructura algebraica de los números reales

Capítulo 1 · Parte I. Fundamentos: de los reales a la geometría

Capítulo 1 de Introducción al cálculo: La estructura algebraica de los números reales. Edición temática del curso IC2021.

Un curso de cálculo comienza por fijar qué operaciones se admiten y qué reglas las gobiernan. Los axiomas de cuerpo organizan las primeras demostraciones y muestran cómo se distingue una propiedad postulada de una consecuencia probada.

Grabaciones de referencia: grabación de la cátedra 1.1, grabación de la cátedra 1.2.

Procedencia de este tramo: cátedra 1.1.

El problema inicial: ¿cómo introducir los números reales?

La exposición comienza con una decisión metodológica. Una vía constructiva obtiene una estructura mediante objetos anteriores y procedimientos explícitos de construcción. Por ejemplo, en un desarrollo posterior pueden construirse los enteros desde los naturales, los racionales desde los enteros y los reales mediante clases de sucesiones de Cauchy o cortaduras de Dedekind. Estas construcciones son ejemplos explicativos de la presente edición y no se desarrollan en la clase.

La vía elegida por el curso es axiomática: se declara un conjunto $\mathbb R$, se introducen operaciones y se prescriben relaciones entre ellas. Esas relaciones forman la base a partir de la cual se demostrarán propiedades adicionales. El profesor compara la construcción de la teoría con la formulación progresiva de las reglas del ajedrez: un tablero, las piezas y sus movimientos constituyen datos iniciales; las situaciones posibles se investigan después a partir de ellos.

El programa axiomático de los reales se distribuye en tres estratos:

Axiomas de cuerpo: estructura algebraica de suma y producto.
Axiomas de orden: relaciones de comparación compatibles con las operaciones.
Axiomas de completitud: propiedad del continuo real que permitirá fundamentar los límites.

En esta primera sesión se trabaja en el primer estrato. Orden y completitud aparecen únicamente como contexto del curso.

Primer dato: un conjunto

Se introduce $\mathbb R$ como un conjunto. Sus elementos se llaman números reales; se representan por letras como $x,y,z,a,b,c$. La escritura

\[x\in\mathbb R\]

se lee «$x$ pertenece a $\mathbb R$». En este punto, la teoría todavía ha descrito una estructura muy general: se ha designado un conjunto y se ha nombrado a sus elementos. El profesor insiste en respetar el orden lógico del desarrollo: cada afirmación requiere un fundamento ya incorporado.

Lectura estructural: el significado matemático de $\mathbb R$ se precisa progresivamente mediante sus operaciones y axiomas. El trabajo deductivo posterior dependerá de tales propiedades.

Las operaciones fundamentales y su buena definición

Inicio aproximado: 11:48.

El segundo ingrediente consiste en dotar al conjunto de dos operaciones binarias: la suma y el producto. Formalmente, una operación binaria sobre $\mathbb R$ es una función

\[\circ\colon\mathbb R\times\mathbb R\longrightarrow\mathbb R.\]

Cada par ordenado $(x,y)$ determina un elemento $x\circ y$ de $\mathbb R$. Las dos operaciones del curso son

\[+\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R,\quad(x,y)\mapsto x+y,\]

\[\cdot\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R,\quad(x,y)\mapsto xy.\]

Que sean operaciones internas expresa que para cualesquiera $x,y\in\mathbb R$ también $x+y\in\mathbb R$ y $xy\in\mathbb R$. Estas son propiedades incorporadas a la presentación de ambas operaciones. La resta y la división se introducirán posteriormente en función de suma, producto y elementos apropiados.

¿Qué significa «bien definida»?

El docente concede especial importancia a que cada operación asigne un resultado determinado a los mismos operandos. Dos nombres pueden designar un mismo real. Si $x=w$, entonces $x+y$ y $w+y$ designan un mismo resultado. Análogamente, si $x=x'$ e $y=y'$, entonces

\[x+y=x'+y',\qquad xy=x'y'.\]

En el lenguaje de funciones, estas igualdades expresan que el resultado depende de los elementos de entrada y respeta la igualdad de dichas entradas. En concreto,

\[x=w\quad\Longrightarrow\quad x+z=w+z\]

para cada $z\in\mathbb R$; la misma consideración vale para $z+x=z+w$ y para el producto.

Dos niveles de justificación. La igualdad $x+y=y+x$ requiere el axioma de conmutatividad. En cambio, si ya sabemos que $x+y=y+x$, podemos concluir

\[(x+y)+z=(y+x)+z\]

mediante la buena definición de la suma exterior. El primer motivo establece que los operandos internos coinciden; el segundo permite sustituirlos dentro de una nueva operación.

El profesor anticipa que estas justificaciones, aparentemente minuciosas, serán decisivas en las primeras pruebas del curso.

La sustitución paso a paso

Supongamos $a=b$. Para demostrar $a+c=b+c$:

El primer operando de $a+c$ es el real $a$.
El primer operando de $b+c$ es el real $b$, que coincide con $a$ por hipótesis.
Ambos segundos operandos son el mismo real $c$.
Como la operación suma está bien definida, ambos resultados coinciden.

Esta operación lógica se denomina sustitución de iguales por iguales o congruencia de la igualdad respecto de la operación.

Axioma 1: conmutatividad

Inicio aproximado: 23:32.

La conmutatividad afirma que el orden de los dos operandos puede permutarse conservando el resultado de cada una de las operaciones fundamentales:

\[\boxed{\forall x,y\in\mathbb R,\qquad x+y=y+x,\qquad xy=yx.}\]

La conmutatividad de la suma y la conmutatividad del producto se presentan juntas como axioma 1. En el método elegido constituyen datos constitutivos de la teoría. Su función consiste en legitimar cada permutación usada en una demostración.

El contraste pedagógico es importante: comprobar que $7\cdot8=8\cdot7$ confirma un caso particular en la aritmética usual; el axioma

\[xy=yx\qquad\text{para cualesquiera }x,y\in\mathbb R\]

se aplica a todos los pares de reales sin necesidad de repetir un cálculo numérico.

Una propiedad derivada: conmutar dentro de una suma mayor

Demostrar:

\[(x+y)+z=(y+x)+z.\]

Demostración. Por la conmutatividad de la suma, $x+y=y+x$. A continuación, la suma está bien definida y ambos miembros pueden sumarse al mismo $z$. Por consiguiente,

\[\underbrace{(x+y)+z}_{\text{suma exterior}}=\underbrace{(y+x)+z}_{\text{suma exterior}}.\]

Aquí intervienen dos razones distinguibles: conmutatividad dentro del paréntesis y congruencia fuera del paréntesis. $\square$

Una propiedad con dos sustituciones internas

Demostrar:

\[(x+y)+(x+y)=(y+x)+(y+x).\]

Demostración. El axioma 1 proporciona $x+y=y+x$ para el primer sumando y nuevamente $x+y=y+x$ para el segundo. La suma exterior de pares de operandos iguales produce resultados iguales, de donde sigue la tesis. $\square$

¿Qué hace de una afirmación un axioma?

El profesor presenta los axiomas como los pilares de una construcción deductiva: se aceptan en el marco de la teoría y permiten derivar nuevas propiedades. Cada afirmación derivada debe apoyarse en un axioma, una hipótesis o una propiedad previamente demostrada. Un mismo resultado puede admitir distintas demostraciones; la suficiencia lógica de sus pasos es lo que establece su validez.

Esta arquitectura permite reconocer la diferencia entre:

Axioma: propiedad fijada como fundamento de la teoría.
Hipótesis: dato asumido en el enunciado de un problema o teorema.
Proposición demostrable: conclusión obtenida por una cadena de inferencias justificadas.

Axioma 2: asociatividad

Inicio aproximado: 36:52.

Como la suma y el producto son operaciones binarias, una expresión con tres reales debe interpretarse mediante dos operaciones sucesivas. Para $x,y,z\in\mathbb R$, las sumas $(x+y)+z$ y $x+(y+z)$ están definidas: primero se combinan dos números y después su resultado con el tercero.

La asociatividad afirma que las dos agrupaciones producen el mismo real:

\[\boxed{(x+y)+z=x+(y+z),\qquad (xy)z=x(yz).}\]

Este es el axioma 2. Su utilidad esencial consiste en modificar los paréntesis conservando el orden de los factores o sumandos. En esta presentación, se justificará la supresión de paréntesis mediante la asociatividad, una vez establecida la propiedad.

Diferencia operativa entre conmutar y asociar

Conmutar intercambia los operandos de una operación: $x+y=y+x$.
Asociar cambia la posición de un paréntesis en una composición de tres términos: $(x+y)+z=x+(y+z)$.

Una demostración extensa puede alternar ambas acciones, cada una con su fundamento.

Primera demostración encadenada de la sesión

Tramo aproximado: 39:34–43:55.

Proposición. Para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb R$,

\[(x+y)+z=(y+z)+x.\]

Demostración. Se comienza en el miembro izquierdo y se busca llegar al derecho. Primero se aplica la asociatividad para reagrupar $x$, $y$ y $z$; después se conmuta la suma de $x$ con el paréntesis $(y+z)$:

\[\begin{aligned} (x+y)+z &=x+(y+z) &&\text{(asociatividad de la suma)}\\ &=(y+z)+x &&\text{(conmutatividad de la suma).} \end{aligned}\]

Los extremos de la cadena son iguales por transitividad de la igualdad. $\square$

Método de trabajo. Las demostraciones de identidades suelen presentarse como cadenas de expresiones, cada una igual a la siguiente por una razón declarada. La propiedad buscada se obtiene cuando el último término coincide con el objetivo. El profesor insiste en que las igualdades, y las razones que las garantizan, constituyen el centro de la corrección matemática.

Axioma 3: distributividad

Inicio aproximado: 48:56.

La distributividad del producto respecto de la suma enlaza las dos operaciones fundamentales:

\[\boxed{x(y+z)=xy+xz.}\]

Es el axioma 3 en su presentación por la izquierda. El factor exterior $x$ multiplica a cada sumando del paréntesis. La igualdad respectiva por la derecha es

\[(x+y)z=xz+yz.\]

El profesor muestra que puede deducirse de la distributividad izquierda y de la conmutatividad del producto. Sin embargo, para los ejercicios y evaluaciones del curso se admite usar ambas versiones directamente como formulaciones autorizadas del axioma, por convenio docente.

Demostración detallada de la distributividad por la derecha

Proposición. Si $x,y,z\in\mathbb R$, entonces $(x+y)z=xz+yz$.

Demostración. Comenzamos por el miembro izquierdo:

\[\begin{aligned} (x+y)z &=z(x+y) &&\text{(conmutatividad del producto)}\\ &=zx+zy &&\text{(distributividad por la izquierda)}\\ &=xz+yz &&\text{(conmutatividad de cada producto}\text{; buena definición de la suma).} \end{aligned}\]

El paso final reúne tres justificaciones: $zx=xz$, $zy=yz$ y, como los dos sumandos respectivos coinciden, sus sumas también coinciden. De este modo se ha obtenido la versión derecha a partir de los axiomas ya establecidos. $\square$

Una expresión engañosa

La identidad

\[x(y+z)=xy+z\]

omite el producto de $x$ por el segundo sumando. El axioma prescribe explícitamente dos productos:

\[x(y+z)=xy+xz.\]

Asimismo, la fórmula

\[x+yz=(x+y)(x+z)\]

sería una presunta distributividad de la suma sobre el producto. El profesor la plantea como pregunta que más adelante podrá examinarse con los axiomas completos.

Ampliación de estas notas — contraejemplo en la aritmética usual. Si $x=1$, $y=2$ y $z=3$, entonces $x+yz=1+2\cdot3=7$, mientras que $(x+y)(x+z)=3\cdot4=12$. Por consiguiente, la segunda igualdad carece de validez universal en los reales usuales. Este contraejemplo numérico utiliza el modelo familiar de $\mathbb R$ y pertenece a la ampliación, dado que el profesor difiere la cuestión mientras introduce los axiomas.

El valor de distinguir «axioma» de «propiedad derivada»

Que una igualdad sea consecuencia de otras permite economizar el sistema de axiomas. Una presentación puede escoger distributividad izquierda como axioma y demostrar la derecha; también puede escoger la derecha y recuperar la izquierda por conmutatividad. La clase explica por qué ambas formas se aceptan en los controles: la elección fundacional es flexible siempre que la estructura deductiva quede explicitada.

¿Cuánto detalle debe tener una demostración?

Tramo aproximado: 1:06:46–1:10:27.

En la primera semana, el docente pide justificar cada paso con los nombres completos de las propiedades aplicadas: por ejemplo, «conmutatividad del producto» o «distributividad del producto respecto de la suma». El propósito es instalar una disciplina de inferencia. Más adelante, una vez adquiridas las técnicas básicas, las mismas reglas podrán utilizarse con mayor fluidez, manteniendo el rigor de las transformaciones.

Cuando se afirma que dos expresiones son iguales, debe existir una razón para cada signo igual. Para refutar una igualdad universal, puede exhibirse un contraejemplo: una elección de operandos para la cual ambos lados generan valores distintos.

Axioma 4: existencia de elementos neutros

Inicio aproximado: 1:22:29.

El elemento neutro aditivo es un real $e$ que satisface

\[\boxed{\forall x\in\mathbb R,\qquad x+e=x.}\]

Por conmutatividad también se tiene $e+x=x$. El axioma 4 establece la existencia de al menos un real con esta propiedad. De manera paralela, se anuncia un elemento neutro multiplicativo, un real $u$ que satisface

\[\boxed{\forall x\in\mathbb R,\qquad xu=x,}\]

junto con $ux=x$ por conmutatividad. Esta segunda existencia se menciona como parte del mismo grupo axiomático; la clase concentra su análisis posterior en el neutro aditivo.

La escritura usual llamará $0$ al neutro aditivo y $1$ al neutro multiplicativo, una vez justificada su unicidad. En esta sesión el docente usa deliberadamente símbolos genéricos como $e$, $e_1$ y $e_2$ antes de concluir dicha unicidad.

Existencia y unicidad: dos cuestiones distintas

La afirmación «existe al menos uno» se formaliza mediante un cuantificador existencial: $\exists e\in\mathbb R\;\forall x\in\mathbb R,\;x+e=x$.
La afirmación «existe exactamente uno» añade que cualesquiera dos elementos que cumplen esa propiedad deben ser iguales.

La primera afirmación procede del axioma 4. La segunda será el contenido de un teorema, que deberá demostrarse desde las propiedades disponibles.

El profesor utiliza una imagen didáctica: imaginemos el conjunto de los reales como un saco. Extraemos un elemento neutro y lo llamamos $e_1$; volvemos a seleccionar uno y lo llamamos $e_2$. La manera correcta de garantizar unicidad es tomar cualesquiera dos candidatos y establecer $e_1=e_2$.

Planteamiento de la primera demostración de unicidad

Teorema anunciado. El neutro aditivo de $\mathbb R$ es único.

Hipótesis inicial: sean $e_1,e_2\in\mathbb R$ elementos neutros aditivos. Esto significa que para todo $x\in\mathbb R$ se cumplen $x+e_1=x$ y $x+e_2=x$.

Objetivo (P.D.Q.): demostrar $e_1=e_2$.

El docente presenta este esquema y deja la demostración pendiente para la siguiente clase 1:35:04–1:36:26. El paso decisivo es que ambos candidatos actúan como neutro respecto de cualquier real, incluidos los propios candidatos.

Ampliación de estas notas: demostración completa de unicidad

Teorema. Si $e_1$ y $e_2$ son neutros aditivos, entonces $e_1=e_2$.

Demostración. Por la propiedad de neutro de $e_2$, aplicada al real $x=e_1$, obtenemos

\[e_1+e_2=e_1.\]

Por la propiedad de neutro de $e_1$, aplicada al real $x=e_2$, y usando conmutatividad cuando corresponda, obtenemos

\[e_1+e_2=e_2.\]

Por transitividad de la igualdad,

\[\boxed{e_1=e_1+e_2=e_2.}\]

Así, cualesquiera dos candidatos coinciden, que es exactamente la unicidad buscada. $\square$

Lectura lógica de la prueba. Su punto de partida son dos elementos arbitrarios con la misma propiedad. Aplicamos la propiedad de uno al otro y la del otro al primero. La doble igualdad fuerza su coincidencia. El razonamiento ilustra un patrón general para demostrar unicidades.

Ampliación de estas notas: unicidad del neutro multiplicativo

Si $u_1$ y $u_2$ satisfacen $xu_i=x$ para todo $x\in\mathbb R$, entonces

\[u_1=u_1u_2=u_2,\]

pues $u_2$ actúa como neutro sobre $u_1$ y $u_1$ sobre $u_2$ (usando, si se necesita, conmutatividad del producto). Por ello existe a lo sumo un neutro multiplicativo. Como el axioma garantiza al menos uno, resulta único.

Esta demostración es un complemento editorial; la clase no la desarrolla.

El lenguaje de las demostraciones

La sesión ofrece un primer vocabulario de prueba:

Expresión	Función en el razonamiento
«Sean $x,y,z\in\mathbb R$»	Introduce elementos arbitrarios del conjunto.
«Supongamos que $x=y$»	Declara una hipótesis particular.
«Por demostrar que» (P.D.Q.)	Enuncia con precisión la conclusión perseguida.
«Por el axioma de…»	Identifica una propiedad fundacional usada en un paso.
«Por buena definición»	Justifica sustituir operandos iguales en una operación.
«Por transitividad»	Concluye $a=c$ a partir de $a=b$ y $b=c$.
«Contraejemplo»	Exhibe un caso que invalida una afirmación universal.
«Teorema»	Resultado demostrado a partir de las hipótesis y fundamentos aceptados.

Protocolo de demostración de una igualdad

Ante una identidad de la forma $A=B$, conviene:

Especificar las variables y sus dominios.
Leer la estructura de $A$ y $B$: operaciones interiores, operaciones exteriores y paréntesis.
Elegir una transformación justificable por axiomas o resultados previos.
Escribir una cadena de igualdades $A=A_1=A_2=\cdots=B$, acompañando cada paso de su razón.
Cerrar la demostración mediante la transitividad de la igualdad.

Para una prueba de unicidad, el primer paso especializado es: «Sean $u$ y $v$ dos elementos arbitrarios que satisfacen la propiedad». El objetivo especializado es deducir $u=v$.

Ejemplos de estudio desarrollados

Los siguientes desarrollos amplían la ejercitación de la clase y sirven como modelos de escritura.

Ejemplo 1. Reordenar una suma de cuatro términos

Para $a,b,c,d\in\mathbb R$, demostremos

\[((a+b)+c)+d=(c+d)+(b+a).\]

Solución.

\[\begin{aligned} ((a+b)+c)+d &=(a+b)+(c+d) &&\text{(asociatividad)}\\ &=(c+d)+(a+b) &&\text{(conmutatividad)}\\ &=(c+d)+(b+a) &&\text{(conmutatividad interior y buena definición).} \end{aligned}\]

En la primera línea se reorganizan los paréntesis mediante la asociatividad; en la segunda se permutan los dos grandes sumandos; en la tercera se permutan $a$ y $b$ dentro del segundo paréntesis, conservando la suma exterior.

Ejemplo 2. Distribuir un producto por una suma de tres términos

Objetivo: justificar $x(y+z+w)=xy+xz+xw$, donde $y+z+w$ se entiende con una agrupación explícita.

\[\begin{aligned} x\bigl((y+z)+w\bigr) &=x(y+z)+xw &&\text{(distributividad)}\\ &=(xy+xz)+xw &&\text{(distributividad interior y buena definición)}. \end{aligned}\]

Por asociatividad de la suma, la expresión final también puede escribirse $xy+(xz+xw)$.

Ejemplo 3. Una propiedad universal y su prueba

Proposición: $(xy)z=z(yx)$ para todos $x,y,z\in\mathbb R$.

\[\begin{aligned} (xy)z &=z(xy) &&\text{(conmutatividad del producto)}\\ &=z(yx) &&\text{(conmutatividad interior y buena definición).} \end{aligned}\]

Ejemplo 4. Dos operaciones de una misma forma, propiedades diferentes

Ampliación. En el conjunto usual $\mathbb R$ definimos $x\star y=(x+y)/2$. La operación es conmutativa, pues $x+y=y+x$. Sin embargo, para $x=0$, $y=0$ y $z=2$,

\[(0\star0)\star2=1,\qquad 0\star(0\star2)=\tfrac12.\]

Por lo tanto, la asociatividad es una propiedad adicional que exige su propia justificación. Este ejemplo usa división y aritmética ordinaria para ilustrar la independencia conceptual de conmutatividad y asociatividad; queda fuera del desarrollo estrictamente axiomático de la primera sesión.

Glosario mínimo

Axioma. Proposición fundamental fijada como punto de partida de una teoría deductiva.

Operación binaria. Función que asigna a cada par ordenado de elementos de un conjunto un elemento de ese mismo conjunto.

Operación bien definida. Función cuyo valor queda determinado por sus argumentos y respeta la igualdad de estos.

Conmutatividad. Propiedad de una operación según la cual permutar dos operandos conserva el resultado.

Asociatividad. Propiedad según la cual las dos agrupaciones sucesivas de tres elementos producen el mismo resultado.

Distributividad. Relación por la cual un producto aplicado a una suma se expresa como suma de productos.

Elemento neutro. Elemento que, combinado con cualquier elemento mediante cierta operación, conserva ese elemento.

Existencia. Afirmación según la cual un objeto con cierta propiedad está presente en el dominio considerado.

Unicidad. Propiedad según la cual cualesquiera dos objetos que satisfacen la caracterización propuesta coinciden.

Teorema. Proposición que cuenta con una demostración fundada en axiomas, hipótesis y resultados anteriores.

Contraejemplo. Caso particular que muestra la falsedad de una afirmación universal.

Referencia primaria: Jorge San Martín, «IC2021: Cátedra 1.1 (Lunes 15/3/21 14:30)», YouTube, transmisión del 15 de marzo de 2021, enlace. Criterio de fidelidad: reconstrucción didáctica, con ampliaciones propias explícitamente identificadas; no constituye transcripción literal ni versión oficial de apuntes del docente.

Procedencia de este tramo: cátedra 1.2.

De una teoría axiomática a sus consecuencias

En la cátedra (02:01–03:36). La clase continúa exactamente donde terminó la Cátedra 1.1. El profesor había introducido el conjunto $\mathbb R$, las operaciones binarias $+$ y $\cdot$, la conmutatividad, la asociatividad, la distributividad y, finalmente, el axioma 4, que garantiza que existen elementos neutros. El propósito inmediato consiste en demostrar una propiedad adicional: la unicidad del neutro aditivo. Luego aparecen los inversos, la caracterización de cuerpo y un pequeño conjunto de teoremas derivados.

El procedimiento axiomático tiene un orden lógico. Se establecen ciertas propiedades primitivas y se demuestra, por reglas de inferencia, cuanto se sigue de ellas. Formalmente, las dos operaciones son funciones

\[ +\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R,\qquad \cdot\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R. \]

La buena definición de una operación permite sustituir operandos iguales: $a=b$ implica $a+c=b+c$ y $ac=bc$, para todo $c\in\mathbb R$. La conmutatividad afirma $a+b=b+a$, $ab=ba$; la asociatividad, $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(ab)c=a(bc)$; la distributividad, $a(b+c)=ab+ac$. Esas son las primeras tres familias de axiomas del curso.

Existencia y unicidad son afirmaciones distintas

El axioma de existencia de neutro aditivo puede escribirse como

\[ \exists e\in\mathbb R\quad\forall x\in\mathbb R:\ x+e=x. \]

Esto afirma que el conjunto de elementos con esa propiedad tiene al menos un miembro. Para obtener unicidad debe probarse

\[ \forall e_1,e_2\in\mathbb R:\quad \left[\bigl(\forall x,\ x+e_1=x\bigr)\land \bigl(\forall x,\ x+e_2=x\bigr)\right]\Rightarrow e_1=e_2. \]

La combinación lógica de ambas afirmaciones se simboliza con $\exists!e$ (existe exactamente uno). Esta descomposición es una herramienta habitual para resolver problemas matemáticos: primero se construye o garantiza una solución, luego se comparan dos soluciones cualesquiera.

Identificar datos y lo que se debe demostrar

En la cátedra (04:43–10:38). El profesor introduce dos neutros simbólicos $e_1,e_2$ para formular el objetivo $e_1=e_2$. Las hipótesis $x+e_1=x$ y $x+e_2=x$ son datos. La igualdad $e_1=e_2$ es la conclusión que debe alcanzarse. Su advertencia central es metodológica: usar como hipótesis la igualdad que se pretende demostrar produce un razonamiento circular. La proposición $P\Rightarrow P$ es una tautología lógica, pero su verdad por sí sola no establece la verdad de $P$.

Ejemplo lógico. Si $P$ es «$e_1=e_2$», escribir «supongamos $e_1=e_2$; entonces $e_1=e_2$» establece la tautología $P\Rightarrow P$. Una demostración verdadera de unicidad debe partir, en cambio, de la condición que caracteriza a ambos neutros y de los axiomas conocidos.

Primer teorema de la clase: el neutro aditivo es único

En la cátedra (10:50–15:46). Sean $e_1$ y $e_2$ neutros aditivos. Por definición,

\[ \forall x\in\mathbb R:\quad x+e_1=x,\qquad x+e_2=x. \]

La idea decisiva es sustituir $x$ por el otro neutro en cada identidad. Con $x=e_2$ en la primera, se obtiene $e_2+e_1=e_2$. Con $x=e_1$ en la segunda, se obtiene $e_1+e_2=e_1$. Enseguida,

\[ \boxed{\ e_1\overset{\text{neutro }e_2}{=} (e_1+e_2)\overset{\text{conmutatividad}}{=} (e_2+e_1)\overset{\text{neutro }e_1}{=}e_2\ }. \]

Por tanto, $e_1=e_2$. Como el axioma 4 ya había garantizado al menos un neutro, concluimos que existe exactamente un neutro aditivo. Se lo denota por $0$, y su propiedad constitutiva es

\[\boxed{\quad\forall x\in\mathbb R:\ x+0=x.\quad}\]

Corolario de reconocimiento. Si $\alpha\in\mathbb R$ cumple $x+\alpha=x$ para todo $x$, entonces $\alpha=0$: satisface la propiedad caracterizadora del neutro y este es único.

Nota de rigor. La conmutatividad interviene expresamente en la prueba dada por el profesor. En una estructura con neutro bilateral puede probarse su unicidad incluso sin conmutatividad, pues $e_1=e_1e_2=e_2$; para neutros definidos por una sola cara se requieren hipótesis adicionales. Esta observación amplía el comentario pedagógico del video y delimita el alcance general del argumento.

El neutro multiplicativo

En la cátedra (16:00–17:58). El axioma 4 garantiza también un neutro del producto, caracterizado por

\[\forall x\in\mathbb R:\quad x\cdot u=x.\]

El profesor deja como ejercicio repetir la prueba anterior para demostrar su unicidad. Al elemento único lo llamamos $1$. La convención de cuerpo utilizada en el curso exige además

\[\boxed{\quad 0\ne1,\qquad\forall x\in\mathbb R:\ x\cdot1=x.\quad}\]

Ampliación — resolución de la tarea. Sean $u_1,u_2$ neutros multiplicativos. Por sus propiedades y la conmutatividad,

\[u_1=u_1u_2=u_2u_1=u_2.\]

El teorema muestra que el símbolo $1$ designa una propiedad estructural precisa: ser el único elemento neutro para la multiplicación. La condición $0\ne1$ sostiene la existencia de un cuerpo con al menos dos elementos, asunto al que el profesor vuelve después de demostrar la tabla del cero.

Axioma 5: existencia de opuestos y de recíprocos

Opuesto aditivo

En la cátedra (18:01–19:49). Para cada $x\in\mathbb R$, el axioma 5 garantiza la existencia de al menos un real $p$ tal que

\[x+p=0.\]

Se llama opuesto o inverso aditivo de $x$ a cualquier elemento que satisface esa igualdad. El profesor precisa que la existencia se asegura para cada real y presenta como teorema la unicidad del opuesto correspondiente a cada $x$.

Unicidad del opuesto: demostración reconstruida paso a paso

En la cátedra (19:51–31:45). Fijemos $x\in\mathbb R$ y sean $p_1,p_2$ opuestos de ese mismo $x$. Los datos son

\[x+p_1=0,\qquad x+p_2=0;\]

y el objetivo es $p_1=p_2$. El profesor escribe una cadena de igualdades y detiene la atención en el empleo de la buena definición de la suma cuando queda un sumando externo. Reproducimos el razonamiento con indicaciones precisas:

\[ \begin{aligned} p_1 &=p_1+0 &&\text{(neutro aditivo)}\\ &=p_1+(x+p_2) &&\text{(dato }x+p_2=0\text{; sustitución)}\\ &=(p_1+x)+p_2 &&\text{(asociatividad)}\\ &=(x+p_1)+p_2 &&\text{(conmutatividad; sustitución)}\\ &=0+p_2 &&\text{(dato }x+p_1=0\text{; sustitución)}\\ &=p_2+0 &&\text{(conmutatividad)}\\ &=p_2 &&\text{(neutro aditivo).} \end{aligned} \]

La demostración concluye $p_1=p_2$. Como cada $x$ tenía al menos un opuesto por axioma, existe exactamente uno. Lo denotamos por $-x$ y obtenemos

\[\boxed{\quad\forall x\in\mathbb R:\ x+(-x)=0.\quad}\]

Por qué se explicitan los «sumandos que sobran». De $x+p_2=0$ se pasa a $p_1+(x+p_2)=p_1+0$ usando que una operación respeta la igualdad de sus argumentos. De $p_1+x=x+p_1$ se pasa a $(p_1+x)+p_2=(x+p_1)+p_2$ por la misma razón. La conmutatividad, por sí sola, transforma el subparéntesis; la buena definición de la suma garantiza la igualdad completa.

La notación y el reconocimiento del opuesto

En la cátedra (38:39–44:44). El símbolo $-x$ nombra el único real que sumado con $x$ produce $0$. A partir de aquí se aplica el criterio de reconocimiento

\[\boxed{\quad x+y=0\quad\Longrightarrow\quad y=-x.\quad}\]

Por ejemplo,

\[a+(b+c)=0\quad\Longrightarrow\quad b+c=-a,\]

porque el real $(b+c)$ cumple la condición de ser opuesto de $a$. Asimismo,

\[(b+c)+a=0\quad\Longrightarrow\quad a=-(b+c).\]

Para demostrar $a=-b$ basta, en esta teoría conmutativa, con demostrar $b+a=0$. Esta sustitución de una igualdad con signo menos por una igualdad cuyo resultado es cero será la técnica principal para estudiar las reglas de los signos.

El recíproco y la extensión exacta del axioma

En la cátedra (45:00–53:17). La parte multiplicativa del axioma 5 establece que cada real $x\ne0$ admite por lo menos un número $r$ tal que

\[xr=1.\]

Un tal elemento se llama recíproco o inverso multiplicativo de $x$. El profesor insiste en una precisión lógica fundamental: el enunciado sobre $x\ne0$ proporciona información acerca de todos esos reales, mientras que la situación particular $x=0$ requiere un argumento independiente. En esta etapa todavía debe investigarse qué sucede con el cero; más adelante se concluye que carece de inverso multiplicativo.

El profesor deja como tarea la unicidad del recíproco. Una vez establecida, se usa la notación $x^{-1}$ y se escribe

\[\boxed{\quad x\ne0\quad\Longrightarrow\quad x x^{-1}=1.\quad}\]

Ampliación — prueba de unicidad. Sean $r,s$ recíprocos de un mismo $x\ne0$, de modo que $xr=xs=1$. Entonces

\[ \begin{aligned} r&=r\cdot1=r(xs)=(rx)s=(xr)s=1\cdot s=s. \end{aligned} \]

Por eso, si $xy=1$ con $x\ne0$, el criterio de reconocimiento es $y=x^{-1}$. La condición $x\ne0$ aparecerá justificada por una propiedad demostrada en la siguiente parte.

¿Qué es exactamente un cuerpo?

El hito explícito de 53:17 es

\[\boxed{\quad(\mathbb R,+,\cdot)\text{ es un cuerpo}.\quad}\]

La expresión designa un conjunto con dos operaciones que satisface las familias de axiomas adoptadas: conmutatividad, asociatividad, distributividad, neutros distintos entre sí, inversos aditivos para todos los elementos e inversos multiplicativos para los elementos distintos de cero. Esta primera etapa muestra la estructura algebraica de $\mathbb R$. Las propiedades de orden y completitud pertenecen a etapas posteriores del curso.

Primera propiedad derivada: la tabla del cero

En la cátedra (59:54–72:46). Todo real $a$ satisface

\[\boxed{\quad a\cdot0=0.\quad}\]

El profesor contrasta cuidadosamente este hecho con $a\cdot1=a$. La segunda igualdad caracteriza al neutro multiplicativo y está respaldada por el axioma 4; la primera es un teorema que relaciona el neutro aditivo con el producto, y requiere distributividad.

Demostración siguiendo la estrategia del profesor

Fijemos $a\in\mathbb R$ y escribamos $w=a\cdot0$. El truco consiste en insertar $0$, expresarlo como $w+(-w)$, agrupar, factorizar el producto y suprimir finalmente el par mediante el inverso aditivo. Con todos los pasos:

\[ \begin{aligned} a\cdot0 &=a\cdot0+0 &&\text{(neutro aditivo)}\\ &=a\cdot0+\bigl(a\cdot0+(-a\cdot0)\bigr) &&\text{(opuesto de }a\cdot0\text{)}\\ &=\bigl(a\cdot0+a\cdot0\bigr)+(-a\cdot0) &&\text{(asociatividad)}\\ &=a\cdot(0+0)+(-a\cdot0) &&\text{(distributividad, de derecha a izquierda)}\\ &=a\cdot0+(-a\cdot0) &&\text{(neutro }0+0=0\text{; sustitución)}\\ &=0 &&\text{(opuesto aditivo).} \end{aligned} \]

La idea matemática. En la igualdad $a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0$, la distributividad relaciona la suma y el producto. Gracias a esa interacción, el valor de $a\cdot0$ queda determinado por la estructura de cuerpo. «Factorizar» es utilizar la igualdad distributiva en sentido inverso; constituye una lectura de un mismo axioma.

Demostración corta alternativa — ampliación

Sea $w=a0$. La distributividad aplicada a $0+0=0$ proporciona

\[w=a(0+0)=a0+a0=w+w.\]

Sumamos $-w$ a los dos lados y usamos asociatividad:

\[w+(-w)=(w+w)+(-w)=w+(w+(-w))=w+0=w.\]

El lado izquierdo es cero, luego $w=0$. Es la misma idea expresada mediante cancelación. La prueba de la cátedra resulta especialmente útil para aprender a transformar un lado de una igualdad hasta alcanzar el otro.

El cero carece de recíproco multiplicativo

En la cátedra (72:46–77:34). Una vez demostrado $a0=0$, se resuelve la cuestión pendiente. Si algún $r\in\mathbb R$ fuese recíproco de $0$, cumpliría $0r=1$. Pero, usando la tabla del cero y conmutatividad, $0r=r0=0$. Resultaría

\[1=0r=0,\]

en contradicción con el axioma $0\ne1$. Se concluye:

\[\boxed{\quad\forall r\in\mathbb R:\ 0r=0,\qquad 0\text{ carece de recíproco multiplicativo}.\quad}\]

El profesor examina además el motivo de la condición $0\ne1$. Si se admitiera $0=1$, entonces, para cada $a\in\mathbb R$,

\[a=a\cdot1=a\cdot0=0.\]

Todos los elementos coincidirían con el cero y el conjunto tendría un único elemento. En álgebra se estudia esta estructura de un elemento, llamada anillo cero. En la convención usual de teoría de cuerpos se exige $0\ne1$, que conserva la estructura algebraica con al menos dos elementos.

La ecuación $a+x=b$, la resta y la división

La solución única de una ecuación aditiva

En la cátedra (77:34–80:56). Dados $a,b\in\mathbb R$, el profesor propone resolver

\[a+x=b.\]

Ahora $x$ es una incógnita: se busca un real que satisfaga la ecuación. Anuncia como resultado que existe una única solución y que esta es

\[\boxed{\quad x=b+(-a).\quad}\]

La clase deja las pruebas de existencia y unicidad como tarea, con indicaciones para resolverlas. Las escribimos completas a continuación.

Ampliación — existencia. Tomamos $x=b+(-a)$. Entonces

\[ \begin{aligned} a+x&=a+\bigl(b+(-a)\bigr)\\ &=a+\bigl((-a)+b\bigr) &&\text{(conmutatividad dentro del paréntesis)}\\ &=\bigl(a+(-a)\bigr)+b &&\text{(asociatividad)}\\ &=0+b=b. \end{aligned} \]

Ampliación — unicidad. Sean $x_1,x_2$ soluciones: $a+x_1=b=a+x_2$. Se tiene

\[ \begin{aligned} x_1&=0+x_1=\bigl((-a)+a\bigr)+x_1 =(-a)+(a+x_1)\\ &=(-a)+(a+x_2) =\bigl((-a)+a\bigr)+x_2=0+x_2=x_2. \end{aligned} \]

Este resultado se denomina cancelación aditiva: si $a+x=a+y$, entonces $x=y$.

La resta como operación derivada

Cuando el real $b+(-a)$ ha quedado caracterizado como solución única de $a+x=b$, recibe el nombre de diferencia entre $b$ y $a$, y escribimos

\[\boxed{\quad b-a:=b+(-a).\quad}\]

Así, la resta se construye mediante la suma y el opuesto, tal como anticipaba el método axiomático: se introducen dos operaciones primitivas y luego se definen otras sobre ellas.

Ampliación — ecuación multiplicativa. Si $a\ne0$, la ecuación $ax=b$ tiene solución única

\[x=b\,a^{-1},\]

que se escribe $b/a$ y se denomina cociente. El profesor remite este resultado al apunte y concentra la parte final de la cátedra en las reglas de los signos. El requisito $a\ne0$ es indispensable para utilizar el recíproco.

Reglas de los signos mediante la definición de opuesto

El opuesto del opuesto

En la cátedra (81:31–85:49). El primer resultado es

\[\boxed{\quad-(-a)=a.\quad}\]

En lugar de desplazar signos, el profesor traduce la afirmación: para demostrar que $a$ es el opuesto de $-a$, basta establecer $(-a)+a=0$. En efecto,

\[(-a)+a=a+(-a)=0,\]

por conmutatividad y definición de opuesto. La unicidad del opuesto permite identificarlo con $a$ y concluir $-(-a)=a$.

El opuesto de una suma

En la cátedra (85:57–89:55). Se busca demostrar

\[\boxed{\quad-(a+b)=(-a)+(-b).\quad}\]

El profesor reduce el problema al objetivo

\[(a+b)+\bigl((-a)+(-b)\bigr)=0,\]

y comienza una transformación con conmutatividad y asociatividad. Deja el cierre como tarea. Escribimos una prueba completa:

\[ \begin{aligned} (a+b)+\bigl((-a)+(-b)\bigr) &=(b+a)+\bigl((-a)+(-b)\bigr)\\ &=b+\bigl(a+((-a)+(-b))\bigr)\\ &=b+\bigl((a+(-a))+(-b)\bigr)\\ &=b+\bigl(0+(-b)\bigr)\\ &=b+\bigl((-b)+0\bigr)\\ &=(b+(-b))+0\\ &=0+0=0. \end{aligned} \]

Por el criterio de reconocimiento del opuesto, $(-a)+(-b)$ es el único opuesto de $a+b$. La fórmula queda demostrada.

El signo menos dentro de un producto

En la cátedra (90:14–91:15). El profesor plantea y deja como ejercicio

\[\boxed{\quad a(-b)=-(ab).\quad}\]

La estrategia recomendada es probar que $a(-b)$ es el opuesto de $ab$, mediante la ecuación

\[ab+a(-b)=0.\]

Ampliación — solución. Factorizamos por $a$ y usamos que $b+(-b)=0$:

\[ab+a(-b)=a\bigl(b+(-b)\bigr)=a\cdot0=0.\]

Por unicidad del inverso aditivo, $a(-b)=-(ab)$. Usando conmutatividad se obtiene también $(-a)b=-(ab)$ y, a partir de ambas, $(-a)(-b)=ab$.

Metodología demostrativa y convenciones de escritura

En toda la clase, el profesor convierte el cálculo algebraico escolar en un argumento deductivo verificable. Su pauta es distinguir: (1) hipótesis dadas; (2) objetivo por demostrar; (3) cadena de igualdades; (4) justificación de cada paso mediante un axioma, teorema o una igualdad previamente obtenida; y (5) conclusión que enlaza los extremos de la cadena.

Durante la primera semana se exige indicar cuidadosamente los paréntesis y las leyes empleadas. La asociatividad permite reordenar agrupaciones; la conmutatividad permite intercambiar operandos; la buena definición de una operación garantiza que las sustituciones preservan los resultados. Después de probar la independencia respecto de agrupaciones y permutaciones pertinentes, se acepta escribir sumas largas y productos con notación más ágil.

Un ejemplo particularmente instructivo aparece a 32:26: de $(a+b)+c=a+(b+c)$ se deduce

\[\bigl((a+b)+c\bigr)z=\bigl(a+(b+c)\bigr)z,\]

usando asociatividad de la suma dentro de los paréntesis y buena definición del producto al multiplicar ambos lados por el mismo $z$.

Hilo conductor y estudio autónomo

En el cierre, el profesor muestra el apunte oficial (menciona las páginas 12 y 21) y la expansión de identidades como el cuadrado de un binomio:

\[\boxed{\quad(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\quad}\]

Esta expresión resulta de aplicar distributividad, conmutatividad, asociatividad y las convenciones $a^2:=aa$ y $2ab:=ab+ab$. La formula es una consecuencia demostrable, cuyo uso fluido descansa en el trabajo fundacional de la primera semana.

Además, el profesor recomienda volver a fragmentos de la grabación, reconstruir las razones de cada igualdad y analizar el hilo conductor de la explicación, junto con resolver los problemas del apunte. La sesión de preguntas sigue después de aproximadamente 1:32:20.

Glosario conceptual

Cuerpo. Conjunto equipado con dos operaciones binarias que cumplen los axiomas algebraicos de conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de neutros aditivo y multiplicativo distintos, opuestos aditivos e inversos multiplicativos de los elementos distintos de cero.

Axioma. Enunciado fundamental adoptado como punto de partida dentro de una teoría deductiva.

Teorema. Enunciado demostrado mediante inferencias válidas apoyadas en axiomas, hipótesis y resultados ya establecidos.

Unicidad. Propiedad de una solución caracterizada por la coincidencia de cualesquiera dos candidatos que cumplen la condición exigida.

Neutro aditivo. Elemento $e$ que satisface $x+e=x$ para cada $x$; en el cuerpo de los reales se representa por $0$.

Neutro multiplicativo. Elemento $u$ que satisface $xu=x$ para cada $x$; en los reales se representa por $1$.

Opuesto de $x$. Elemento $p$ que satisface $x+p=0$; su unicidad permite escribir $p=-x$.

Recíproco de $x$. Elemento $r$ que satisface $xr=1$ para $x\ne0$; se escribe $r=x^{-1}$.

Distributividad. Relación estructural $a(b+c)=ab+ac$ entre el producto y la suma.

Buena definición de la operación. Propiedad funcional por la que cada par de operandos determina un valor y la sustitución de iguales conserva ese valor.

Resta. Operación derivada $b-a=b+(-a)$, cuyo valor es la solución única de $a+x=b$.

Cociente. Operación derivada $b/a=b\,a^{-1}$ para $a\ne0$, cuyo valor es la solución única de $ax=b$.

Fuentes y correspondencia con la grabación

Fuente primaria, consultada: Jorge San Martín, IC2021: Cátedra 1.2 (viernes 19 de marzo de 2021). Transcripción automática en español recuperada desde la página del video. El audio tiene aproximadamente 1 h 42 min e incluye preguntas posteriores al cierre formal de la clase. Las marcas temporales de la guía al comienzo permiten contrastar directamente los conceptos.

Continuidad: Jorge San Martín, IC2021: Cátedra 1.1 (lunes 15 de marzo de 2021). En su conclusión se anunció que la clase siguiente comenzaría demostrando la unicidad del elemento neutro aditivo.

Apunte del curso citado por el docente: durante el video se remite a las páginas 12 y 21 del apunte oficial, donde aparecen identidades algebraicas y ejercicios de demostración. En la bóveda de Obsidian del curso existen además materiales denominados «CAL Apunte 2.pdf» y «CAL Soluciones Apunte2.pdf»; su correspondencia exacta con las páginas citadas en la grabación no se ha establecido en estas notas.

Diferenciación autoral. Los resultados de las secciones 1 a 9 están ordenados conforme a la grabación; la demostración del neutro aditivo, la del opuesto y la de la tabla del cero siguen el razonamiento presentado por el docente. Las pruebas que él propuso y dejó pendientes, las alternativas más breves, el ejercicio sobre el neutro bilateral y el banco de ejercicios con respuestas constituyen ampliaciones editoriales, incorporadas para hacer el material autocontenido.

Taller de problemas y soluciones

Los ejercicios se presentan a continuación según la fuente de origen; las ampliaciones editoriales de cada apuntes permanecen expresamente identificadas.

Ejercicios propuestos — cátedra 1.1

E1. Para $x,y,z\in\mathbb R$, demostrar $z+(x+y)=z+(y+x)$. Especificar las dos razones que intervienen.

E2. Probar que $x(y+z)=yx+zx$. Justificar la operación exterior.

E3. Demostrar, mediante una cadena de igualdades, que $(x+y)+z=(z+y)+x$.

E4. Tomar como axioma la distributividad derecha $(x+y)z=xz+yz$ y deducir la distributividad izquierda $z(x+y)=zx+zy$.

E5. Explicar, en lenguaje formal, qué demuestra el argumento «Sean $e_1$ y $e_2$ neutros aditivos arbitrarios. Entonces $e_1=e_2$» y qué hace falta para completarlo.

E6. En los reales usuales, encontrar un contraejemplo a la igualdad universal $(x+y)(z+w)=xz+yw$.

E7. Justificar por qué la expresión $x+y+z$ requiere una convención de agrupación antes de disponer del axioma de asociatividad.

E8. Escribir una demostración detallada de $(ab)c=c(ba)$, identificando los lugares donde se usa la buena definición.

Solucionario desarrollado de la Cátedra 1.1 (E1–E8)

Nota editorial. Los ejercicios E1–E8 son problemas de consolidación redactados para estas notas a partir de las técnicas expuestas en la primera clase. Las soluciones siguientes detallan cada uso de las operaciones, los axiomas y la sustitución de expresiones iguales. La prueba de unicidad del neutro, anunciada al final de la clase, se termina formalmente en la Cátedra 1.2.

E1. Sustitución de una suma en una expresión mayor

Se pide demostrar, para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb R$,

\[z+(x+y)=z+(y+x).\]

Demostración. El axioma de conmutatividad aditiva garantiza

\[x+y=y+x.\]

Por tratarse de un mismo número real en ambos lados, podemos sumarle $z$ por la izquierda. La buena definición de la suma garantiza que esa sustitución conserva el resultado:

\[ \underbrace{z+(x+y)}_{\text{suma exterior}} =\underbrace{z+(y+x)}_{\text{suma exterior}}. \]

Intervienen dos razones: conmutatividad en el paréntesis y buena definición de la suma exterior. La asociatividad resulta innecesaria: la posición de los paréntesis se conserva.

E2. Distributividad y conmutatividad

Debemos probar $x(y+z)=yx+zx$.

Demostración. Aplicamos primero la distributividad del producto sobre la suma:

\[x(y+z)=xy+xz.\]

Por conmutatividad multiplicativa, $xy=yx$ y $xz=zx$. Como $+$ asigna el mismo resultado a pares de operandos iguales, sustituimos ambos términos en la suma:

\[ \begin{aligned} x(y+z)&=xy+xz &&\text{(distributividad)}\\ &=yx+zx &&\text{(conmutatividad en ambos productos; buena definición de $+$).} \end{aligned} \]

La segunda igualdad reúne dos aplicaciones de la conmutatividad y una de la buena definición de la suma. Es un ejemplo de cómo una propiedad local se prolonga a una expresión compuesta.

E3. Transformar una suma mediante igualdades justificadas

El objetivo es $(x+y)+z=(z+y)+x$.

Demostración. Seguimos una cadena cuyas transformaciones preservan el valor:

\[ \begin{aligned} (x+y)+z &=x+(y+z) &&\text{(asociatividad)}\\ &=(y+z)+x &&\text{(conmutatividad de la suma exterior)}\\ &=(z+y)+x &&\text{(conmutatividad interior; buena definición de $+$ exterior).} \end{aligned} \]

La última línea merece atención: el axioma afirma $y+z=z+y$; después se sumó el mismo $x$ a ambos números obtenidos. La transitividad de la igualdad enlaza el primer y el último miembro y concluye la demostración.

E4. Recuperar la distributividad izquierda desde la derecha

Supongamos que se adopta como axioma la distributividad por la derecha,

\[(x+y)z=xz+yz.\]

Queremos deducir $z(x+y)=zx+zy$.

Demostración. Sean $x,y,z\in\mathbb R$. Entonces:

\[ \begin{aligned} z(x+y) &=(x+y)z &&\text{(conmutatividad del producto)}\\ &=xz+yz &&\text{(distributividad por la derecha, hipótesis)}\\ &=zx+zy &&\text{(conmutatividad en cada producto y buena definición de la suma).} \end{aligned} \]

La igualdad final muestra que el axioma izquierdo queda demostrado a partir del derecho y de la conmutatividad. En particular, la elección de una dirección como axioma constituye una decisión de presentación; la otra queda como propiedad demostrable. La demostración opuesta sigue exactamente el mismo patrón.

E5. Formalización completa de una prueba de unicidad

El enunciado «sean $e_1,e_2$ neutros aditivos arbitrarios; entonces $e_1=e_2$» proporciona el esquema de unicidad. Su forma lógica es:

\[ \forall e_1,e_2\in\mathbb R:\ \bigl(N(e_1)\land N(e_2)\bigr)\Longrightarrow e_1=e_2, \]

donde $N(e)$ significa $\forall x\in\mathbb R,\;x+e=x$.

Demostración. Por $N(e_2)$, tomando $x=e_1$, se obtiene $e_1+e_2=e_1$. Por $N(e_1)$, tomando $x=e_2$, se obtiene $e_2+e_1=e_2$. Por ello,

\[ \begin{aligned} e_1&=e_1+e_2 &&\text{(neutro $e_2$)}\\ &=e_2+e_1 &&\text{(conmutatividad)}\\ &=e_2 &&\text{(neutro $e_1$).} \end{aligned} \]

Como ambos candidatos eran arbitrarios, cualesquiera dos neutros aditivos coinciden. La existencia proviene del axioma 4 y la unicidad se establece en esta demostración. Este ejercicio anticipa formalmente la resolución que desarrolla el profesor al comienzo de la Cátedra 1.2.

E6. Un contraejemplo a una igualdad universal

Consideremos la afirmación

\[(x+y)(z+w)=xz+yw\quad\text{para todos }x,y,z,w\in\mathbb R.\]

Contraejemplo. Tomemos $x=y=z=w=1$ en los reales usuales. Entonces

\[ \begin{aligned} (x+y)(z+w)&=(1+1)(1+1)=2\cdot2=4,\\ xz+yw&=1\cdot1+1\cdot1=2. \end{aligned} \]

Como $4\neq2$, la igualdad universal es falsa. La expansión que proporciona la distributividad es

\[(x+y)(z+w)=xz+xw+yz+yw,\]

con una agrupación adecuada de sumas. El contraejemplo revela precisamente el papel de los términos cruzados $xw$ y $yz$. Para refutar una afirmación universal basta exhibir una elección admisible que la contradiga.

E7. Por qué es importante agrupar una operación binaria

Una suma binaria es una función $+:\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$. Por ello, cada aplicación recibe un par de argumentos. Para tres elementos $x,y,z$ disponemos de dos composiciones canónicas:

\[ \begin{array}{ll} \text{Primera:}&(x+y)+z,\\ \text{Segunda:}&x+(y+z). \end{array} \]

El axioma de asociatividad garantiza su igualdad y permite abreviar ambas expresiones como $x+y+z$.

Comprobación de por qué la regla tiene contenido. En la aritmética real usual definamos, a modo de ilustración externa al sistema axiomático del curso, $x\star y=(x+y)/2$. Para $x=0$, $y=0$, $z=2$,

\[(0\star0)\star2=1,\qquad 0\star(0\star2)=\tfrac12.\]

El ejemplo enseña que una operación binaria bien definida puede producir valores distintos al variar la agrupación. La asociatividad aporta la condición precisa que permite omitir los paréntesis.

E8. Producto anidado y buena definición

Demostrar $(ab)c=c(ba)$.

Demostración. Aplicamos primero conmutatividad al producto exterior y luego al producto interior:

\[ \begin{aligned} (ab)c &=c(ab) &&\text{(conmutatividad exterior: los factores son $ab$ y $c$)}\\ &=c(ba) &&\text{(conmutatividad interior $ab=ba$; buena definición de $\cdot$ exterior).} \end{aligned} \]

La segunda igualdad tiene dos niveles: el producto interior ha sido transformado mediante un axioma, y el producto exterior conserva su valor por sustitución de factores iguales. No se ha empleado asociatividad, pues se conserva la agrupación de cada producto de dos factores.

Control final. Las ocho demostraciones establecen sus conclusiones a partir de los axiomas correspondientes, de propiedades definitorias y de la sustitución de iguales. Se han explicitado los pasos de buena definición precisamente allí donde una igualdad interior forma parte de una operación mayor.

Ejercicios para consolidar la segunda cátedra — cátedra 1.2

Los ejercicios siguientes son elaboración editorial a partir de las técnicas y las tareas planteadas en la clase. Se incluyen soluciones en la sección siguiente; puede intentarse primero cada prueba sin consultarlas.

Sean $e_1,e_2$ neutros aditivos. Demostrar, indicando cada propiedad utilizada, que $e_1=e_2$.
Demostrar la unicidad del neutro multiplicativo y precisar el lugar donde se utiliza conmutatividad.
Dados $a\in\mathbb R$, sean $p,q$ dos opuestos de $a$. Probar $p=q$ sin presuponer el resultado.
Dados $a\ne0$, sean $r,s$ recíprocos de $a$. Probar $r=s$.
Deducir $-0=0$, $-(-a)=a$ y $-(a+b)=(-a)+(-b)$.
Demostrar que $a0=0$ e identificar el paso distributivo; luego explicar por qué $0$ carece de recíproco.
Resolver $a+x=b$ y demostrar tanto la existencia de solución como la unicidad.
Para $a\ne0$, resolver $ax=b$ y demostrar la unicidad. Explicar la restricción sobre $a$.
Demostrar $(-a)b=-(ab)$, $a(-b)=-(ab)$ y $(-a)(-b)=ab$.
A partir de los axiomas, demostrar $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ señalando el papel de distributividad y asociatividad.
Analizar la validez lógica de la prueba «sean $x,y$ soluciones; supongamos $x=y$; concluimos $x=y$» y escribir el esquema legítimo de una prueba de unicidad.
Desafío: generalizar la unicidad del neutro bilateral a una operación asociativa potencialmente no conmutativa.

Solucionario desarrollado de la Cátedra 1.2 (ejercicios 1–12) — cátedra 1.2

Nota editorial. Los doce ejercicios anteriores son elaboración de estudio. Algunos recogen tareas efectivamente propuestas por el docente: unicidad de neutros y recíprocos, ecuaciones con solución única, opuesto de una suma y producto con un factor opuesto. Otros consolidan sus técnicas. Cada prueba es autónoma y señala las hipótesis utilizadas. En las demostraciones de la primera semana se mantienen los paréntesis relevantes.

Ejercicio 1. Unicidad del neutro aditivo

Sean $e_1,e_2$ neutros aditivos: para cada $x\in\mathbb R$, $x+e_1=x$ y $x+e_2=x$. En particular, con $x=e_2$ en la primera identidad y $x=e_1$ en la segunda,

\[e_2+e_1=e_2,\qquad e_1+e_2=e_1.\]

Por lo tanto,

\[ \begin{aligned} e_1&=e_1+e_2 &&\text{(neutro $e_2$)}\\ &=e_2+e_1 &&\text{(conmutatividad)}\\ &=e_2 &&\text{(neutro $e_1$).} \end{aligned} \]

Así $e_1=e_2$. Referencia de la clase: 03:36–14:29. Se obtiene unicidad; la existencia estaba garantizada por el axioma 4.

Ejercicio 2. Unicidad del neutro multiplicativo

Sean $u_1,u_2$ neutros multiplicativos; es decir, $xu_i=x$ para todo real $x$ y $i\in\{1,2\}$. Al aplicar estas identidades a los otros neutros, obtenemos

\[u_1u_2=u_1,\qquad u_2u_1=u_2.\]

La conmutatividad multiplicativa permite escribir

\[ \begin{aligned} u_1&=u_1u_2 &&\text{(neutro $u_2$)}\\ &=u_2u_1 &&\text{(conmutatividad del producto)}\\ &=u_2 &&\text{(neutro $u_1$).} \end{aligned} \]

Ambos candidatos coinciden. El neutro multiplicativo único se denota $1$. Nota de precisión: si un neutro está definido desde el comienzo como bilateral, la unicidad puede demostrarse directamente como $u_1=u_1u_2=u_2$; la prueba anterior reproduce la convención de neutro derecho seguida en esta cátedra. Tarea del profesor: 16:00–17:38.

Ejercicio 3. Unicidad del opuesto de un real

Fijemos $a\in\mathbb R$ y sean $p,q$ dos opuestos suyos. Son datos $a+p=0$ y $a+q=0$; queremos demostrar $p=q$.

\[ \begin{aligned} p&=p+0 &&\text{(neutro aditivo)}\\ &=p+(a+q) &&\text{(dato $a+q=0$ y buena definición de la suma)}\\ &=(p+a)+q &&\text{(asociatividad)}\\ &=(a+p)+q &&\text{(conmutatividad interior; buena definición exterior)}\\ &=0+q &&\text{(dato $a+p=0$ y buena definición de la suma)}\\ &=q+0 &&\text{(conmutatividad)}\\ &=q &&\text{(neutro).} \end{aligned} \]

La igualdad buscada se obtiene al final de una cadena fundada exclusivamente en hipótesis y axiomas. Por ello el opuesto recibe la notación $-a$. Clase: 19:51–31:48.

Ejercicio 4. Unicidad del recíproco de un real distinto de cero

Sea $a\neq0$. Por el axioma 5 existen recíprocos; tomemos dos, $r,s$, de manera que $ar=1$ y $as=1$. La demostración compara a los candidatos:

\[ \begin{aligned} r&=r\cdot1 &&\text{(neutro multiplicativo)}\\ &=r(as) &&\text{(dato $as=1$; buena definición del producto)}\\ &=(ra)s &&\text{(asociatividad)}\\ &=(ar)s &&\text{(conmutatividad interior; buena definición exterior)}\\ &=1s &&\text{(dato $ar=1$; buena definición del producto)}\\ &=s1 &&\text{(conmutatividad)}\\ &=s &&\text{(neutro multiplicativo).} \end{aligned} \]

En consecuencia $r=s$, y el único recíproco se denota $a^{-1}$. La hipótesis $a\neq0$ asegura su existencia mediante el axioma correspondiente. Tarea del profesor: 51:45–52:44.

Ejercicio 5. Tres identidades de opuestos

(a) El opuesto de cero. Como $0+0=0$, el número $0$ satisface la caracterización del opuesto de $0$. Por unicidad, $\boxed{-0=0}$.

(b) Opuesto del opuesto. Para cada $a$,

\[(-a)+a=a+(-a)=0,\]

por conmutatividad y definición de opuesto. Por lo tanto $a$ es el opuesto de $-a$ y, en virtud de la unicidad, $\boxed{-(-a)=a}$.

(c) Opuesto de una suma. Buscamos comprobar que $(-a)+(-b)$, sumado a $a+b$, produce el neutro:

\[ \begin{aligned} (a+b)+\bigl((-a)+(-b)\bigr) &=a+\bigl(b+((-a)+(-b))\bigr) &&\text{(asociatividad)}\\ &=a+\bigl((b+(-a))+(-b)\bigr) &&\text{(asociatividad interior)}\\ &=a+\bigl(((-a)+b)+(-b)\bigr) &&\text{(conmutatividad interior; buena definición)}\\ &=a+\bigl((-a)+(b+(-b))\bigr) &&\text{(asociatividad interior)}\\ &=a+\bigl((-a)+0\bigr) &&\text{(opuesto de $b$; buena definición)}\\ &=a+(-a) &&\text{(neutro; buena definición)}\\ &=0 &&\text{(opuesto de $a$).} \end{aligned} \]

Por el criterio de reconocimiento y unicidad del opuesto, $\boxed{-(a+b)=(-a)+(-b)}$. Clase: 81:31–89:55.

Ejercicio 6. Tabla del cero y ausencia de recíproco del cero

Primera parte. Sea $a\in\mathbb R$ y escribamos $z=a0$. Como $0+0=0$, la distributividad permite concluir

\[z=a0=a(0+0)=a0+a0=z+z.\]

Sumemos el opuesto $-z$ a ambos lados. Mediante buena definición, asociatividad y neutro:

\[ \begin{aligned} 0&=z+(-z) &&\text{(definición de opuesto)}\\ &=(z+z)+(-z) &&\text{(sustitución de $z=z+z$)}\\ &=z+(z+(-z)) &&\text{(asociatividad)}\\ &=z+0 &&\text{(opuesto)}\\ &=z &&\text{(neutro).} \end{aligned} \]

Por consiguiente, $\boxed{a0=0}$. El paso esencial que relaciona suma y producto es $a(0+0)=a0+a0$, precisamente la distributividad.

Segunda parte. Si existiera $r$ con $0r=1$, por conmutatividad y la tabla del cero tendríamos $0r=r0=0$. Se seguiría $1=0$, mientras que el axioma 4 establece $0\neq1$. Por tanto el cero carece de recíproco multiplicativo. Clase: 59:54–76:45.

Ejercicio 7. Resolver $a+x=b$ y demostrar unicidad

Sean $a,b\in\mathbb R$ conocidos. La existencia se demuestra proponiendo $x=b+(-a)$ y verificando:

\[ \begin{aligned} a+\bigl(b+(-a)\bigr) &=a+\bigl((-a)+b\bigr) &&\text{(conmutatividad interior; buena definición)}\\ &=\bigl(a+(-a)\bigr)+b &&\text{(asociatividad)}\\ &=0+b &&\text{(opuesto; buena definición)}\\ &=b+0 &&\text{(conmutatividad)}\\ &=b &&\text{(neutro).} \end{aligned} \]

Para la unicidad, sean $x_1,x_2$ soluciones: $a+x_1=b=a+x_2$. Partimos de $x_1$:

\[ \begin{aligned} x_1&=0+x_1 &&\text{(neutro y conmutatividad)}\\ &=\bigl((-a)+a\bigr)+x_1 &&\text{(opuesto)}\\ &=(-a)+(a+x_1) &&\text{(asociatividad)}\\ &=(-a)+(a+x_2) &&\text{(igualdad de los datos; buena definición)}\\ &=\bigl((-a)+a\bigr)+x_2 &&\text{(asociatividad)}\\ &=0+x_2 &&\text{(opuesto)}\\ &=x_2 &&\text{(neutro y conmutatividad).} \end{aligned} \]

La solución única es $\boxed{x=b-a:=b+(-a)}$. Este resultado justifica la cancelación aditiva. Tarea del profesor: 77:34–80:56.

Ejercicio 8. Resolver $ax=b$ y analizar el caso $a=0$

Con $a\neq0$, el axioma 5 proporciona $a^{-1}$. La solución candidata $x=a^{-1}b$ cumple:

\[ \begin{aligned} a(a^{-1}b) &=(aa^{-1})b &&\text{(asociatividad)}\\ &=1b &&\text{(definición del recíproco)}\\ &=b1 &&\text{(conmutatividad)}\\ &=b &&\text{(neutro).} \end{aligned} \]

Si $ax_1=b=ax_2$, la buena definición del producto y la asociatividad permiten escribir

\[ \begin{aligned} x_1&=1x_1=(a^{-1}a)x_1=a^{-1}(ax_1)\\ &=a^{-1}(ax_2)=(a^{-1}a)x_2=1x_2=x_2. \end{aligned} \]

Así existe exactamente una solución, $\boxed{x=a^{-1}b=b/a}$.

Si $a=0$, la tabla del cero da $0x=0$ para cualquier real $x$. De aquí se deduce la clasificación completa: cuando $b=0$, todo real es solución; cuando $b\neq0$, la ecuación carece de soluciones. El requisito $a\neq0$ identifica precisamente el caso con solución única para todo $b$.

Ejercicio 9. Signos y productos

Primera igualdad. La distributividad y el opuesto de $b$ dan

\[ab+a(-b)=a(b+(-b))=a0=0.\]

Luego $a(-b)$ es el opuesto de $ab$, por lo que $\boxed{a(-b)=-(ab)}$.

Segunda igualdad. Por conmutatividad,

\[(-a)b=b(-a)=-(ba)=-(ab).\]

El paso central aplica la identidad anterior con $a$ y $b$ intercambiados; la última igualdad usa $ba=ab$ y la unicidad de opuestos. Así, $\boxed{(-a)b=-(ab)}$.

Tercera igualdad. Sustituimos $a$ por $-a$ en la primera identidad:

\[(-a)(-b)=-\bigl((-a)b\bigr)=-\bigl(-(ab)\bigr)=ab,\]

utilizando la segunda identidad y el resultado $-(-u)=u$. Por tanto $\boxed{(-a)(-b)=ab}$. Tarea del profesor: 90:14–91:15.

Ejercicio 10. Cuadrado de un binomio

Por definición, $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$. Aplicamos distributividad dos veces:

\[ \begin{aligned} (a+b)(a+b) &=((a+b)a)+((a+b)b) &&\text{(distributividad derecha)}\\ &=(aa+ba)+(ab+bb) &&\text{(distributividad derecha en cada sumando)}\\ &=(aa+ab)+(ab+bb) &&\text{(conmutatividad $ba=ab$; buena definición)}. \end{aligned} \]

Por asociatividad de la suma, esa última expresión puede agruparse como $aa+((ab+ab)+bb)$. Introducimos las notaciones usuales

\[a^2:=aa,\qquad b^2:=bb,\qquad 2ab:=ab+ab.\]

Con estas convenciones, la identidad es

\[\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}.\]

En una escritura completamente estricta, la agrupación queda fijada por los paréntesis anteriores; la convención de omitirlos se apoya en la asociatividad. Referencia final de la clase: 1:32:49–1:34:19.

Ejercicio 11. Diagnóstico de una demostración circular

Sea $P$ la afirmación «$x=y$». El argumento «supongamos $x=y$; por tanto $x=y$» demuestra únicamente $P\Rightarrow P$, proposición válida por reflexividad de la implicación. La validez de esa implicación es compatible con que $P$ sea verdadera o falsa; por ello no establece la igualdad buscada.

Un esquema legítimo para un problema de unicidad es: (i) elegir candidatos arbitrarios $x$ e $y$ que satisfacen las mismas condiciones definitorias; (ii) escribir esas condiciones como hipótesis; (iii) usar axiomas y resultados previamente demostrados para formar una cadena de igualdades; (iv) obtener $x=y$ como conclusión. El ejercicio 7 proporciona un modelo completo para dos soluciones de $a+x=b$.

Ejercicio 12. Unicidad de un neutro bilateral sin conmutatividad

Sea $S$ un conjunto con una operación binaria $\circ:S\times S\to S$. Un neutro bilateral $e$ satisface $e\circ x=x$ y $x\circ e=x$ para todo $x\in S$.

Sean $e,f$ dos elementos con esta propiedad. Por el hecho de que $f$ actúa como neutro derecho de $e$, obtenemos $e\circ f=e$. Por el hecho de que $e$ actúa como neutro izquierdo de $f$, obtenemos $e\circ f=f$. En consecuencia,

\[\boxed{e=e\circ f=f}.\]

La demostración utiliza las dos identidades laterales y funciona para toda operación binaria; incluso la asociatividad resulta innecesaria.

Precisión estructural. La unicidad cambia cuando solo se exige una identidad unilateral. En $S=\{0,1\}$ con operación $x\circ y:=x$, cada $e\in S$ satisface $x\circ e=x$; por tanto existen dos neutros derechos. En cambio, para los neutros bilaterales la prueba precedente siempre garantiza unicidad. La distinción explica exactamente qué hipótesis se emplean en el razonamiento.

Correspondencia entre tareas de la grabación y soluciones

Tarea enunciada o dejada abierta en clase	Solución desarrollada	Momento del video
Unicidad del neutro multiplicativo	Ejercicio 2	16:00
Unicidad del recíproco	Ejercicio 4	51:45
Resolver $a+x=b$ y probar unicidad	Ejercicio 7	77:34
Resolver $ax=b$, tratamiento análogo indicado en apunte	Ejercicio 8	80:56
Cerrar la prueba del opuesto de una suma	Ejercicio 5(c)	85:57
Producto con un factor opuesto	Ejercicio 9	90:14

Los ejercicios adicionales 1, 3, 6, 10, 11 y 12 constituyen práctica de consolidación elaborada para estas notas. En particular, la prueba de $a0=0$ corresponde al desarrollo realizado por el docente, mientras que su presentación como ejercicio sirve para reconstruirla autónomamente.

Este capítulo pertenece a la edición temática no oficial del curso IC2021. Índice del libro · Fuentes y concordancia.