Orden, desigualdades e inecuaciones
Capítulo 2 · Parte I. Fundamentos: de los reales a la geometría
El orden añade a la estructura de cuerpo una noción precisa de positividad. A partir de ella se desarrollan las reglas para comparar, transformar y resolver desigualdades, incluidas las inecuaciones racionales.
Grabaciones de referencia: grabación de la cátedra 2.1, grabación de la cátedra 2.2.
Procedencia de este tramo: cátedra 2.1.
De un cuerpo a un cuerpo ordenado
Qué se conserva de la primera semana
En la cátedra (06:40–08:14). La teoría se construye de manera acumulativa. Los primeros cinco axiomas garantizan que \((\mathbb R,+,\cdot)\) es un cuerpo: las operaciones son asociativas y conmutativas, el producto distribuye sobre la suma, hay neutros \(0\) y \(1\) con \(0\ne1\), cada real tiene opuesto y cada real distinto de cero posee recíproco. La resta y la división se introducen como operaciones derivadas:
\[ a-b=a+(-b),\qquad \frac ab=a\,b^{-1}\quad(b\ne0). \]
En particular, se puede utilizar la cancelación, el opuesto de una suma, las reglas de los signos y la identidad \(a\cdot0=0\), demostradas o estudiadas durante la primera semana. La precisión axiomática sigue operando aunque, desde ahora, los cálculos podrán abreviarse utilizando propiedades ya establecidas.
El conjunto de reales positivos
En la cátedra (08:20–10:28). Se distingue un subconjunto
\[ \mathbb R_+^*\subseteq\mathbb R, \]
cuyos miembros se denominan reales estrictamente positivos. El signo \(+\) recuerda la positividad y el asterisco indica que se excluye el cero, conforme al uso adoptado por el profesor. Conviene conservar la estrella porque la notación \(\mathbb R_+\) se utiliza de manera diferente entre autores; aquí siempre escribiremos \(\mathbb R_+^*\) para la positividad estricta.
Este conjunto se caracteriza axiomáticamente por dos propiedades. El desarrollo parte del lenguaje de pertenencia y de las operaciones del cuerpo; la relación \(<\) será introducida más adelante mediante una definición.
Axioma 6: tricotomía
En la cátedra (10:28–17:01). Para cada \(x\in\mathbb R\) ocurre exactamente una de las tres posibilidades
\[ \boxed{\quad x\in\mathbb R_+^*,\qquad -x\in\mathbb R_+^*,\qquad x=0.\quad} \]
En la primera posibilidad \(x\) recibe el nombre positivo. En la segunda, \(x\) recibe el nombre negativo, porque su opuesto es positivo. La tercera corresponde al cero. La expresión «una y solo una» incluye dos propiedades: cada real pertenece a una de las tres clases y las clases son mutuamente excluyentes. En especial, \(0\notin\mathbb R_+^*\) y la positividad de \(x\) excluye la positividad de \(-x\).
La tricotomía expresa una estructura de signos. Todavía hace falta una conexión entre esa estructura y las dos operaciones del cuerpo.
Ejemplo comentado por el profesor (13:50–15:24). El cuerpo de dos elementos \(\mathbb F_2=\{0,1\}\) con \(1+1=0\) posee \(-1=1\). Si sus elementos satisficieran este axioma, como \(1\ne0\), la alternativa \(1\in\mathbb R_+^*\) implicaría simultáneamente \(-1\in\mathbb R_+^*\); la alternativa opuesta produciría el mismo conflicto. En consecuencia, ese cuerpo admite las operaciones de cuerpo y resulta incompatible con estos axiomas de orden. Esto enseña que la estructura de cuerpo ordenado aporta propiedades adicionales.
Axioma 7: clausura de los positivos
En la cátedra (17:01–26:48). Para cualesquiera \(u,v\in\mathbb R_+^*\) se tiene
\[ \boxed{\quad u+v\in\mathbb R_+^*,\qquad uv\in\mathbb R_+^*.\quad} \]
El conjunto es cerrado por suma y producto: al aplicar cualquiera de estas operaciones a dos miembros, el resultado vuelve a pertenecer al mismo conjunto. Esta clausura será el mecanismo que permite construir desigualdades nuevas a partir de desigualdades conocidas.
Observación conceptual. Los axiomas 6 y 7 se formulan conjuntamente con los cinco axiomas de cuerpo. Juntos expresan que la estructura \((\mathbb R,+,\cdot,\mathbb R_+^*)\) es un cuerpo ordenado. La propiedad de completitud —central en el desarrollo posterior del cálculo— pertenece a una etapa ulterior del curso.
Definir las relaciones de orden
La desigualdad como diferencia positiva
En la cátedra (26:50–32:28). Una definición introduce un nombre para una condición expresada con recursos ya disponibles. La expresión \(x<y\) designa el hecho de que la diferencia \(y-x\) sea positiva. Así, para \(x,y\in\mathbb R\):
\[ \begin{aligned} x<y&\iff y-x\in\mathbb R_+^*,\\ x>y&\iff x-y\in\mathbb R_+^*,\\ x\le y&\iff(x<y)\ \lor\ (x=y),\\ x\ge y&\iff(x>y)\ \lor\ (x=y). \end{aligned} \]
Las dos primeras relaciones son estrictas. Las otras dos incluyen el caso de igualdad. Cuando \(x<y\), la diferencia que examinamos se construye restando el término izquierdo del término derecho. El orden de esa resta constituye una parte fundamental de la definición y determina la dirección de la desigualdad.
Regla de lectura. \(x<y\) se estudia mediante \(y-x\in\mathbb R_+^*\); \(x>y\) mediante \(x-y\in\mathbb R_+^*\). Al demostrar desigualdades, la estrategia habitual consiste en probar la positividad de la diferencia correspondiente.
Los signos en términos del cero
En la cátedra (32:37–37:40). La definición produce inmediatamente
\[ \boxed{\quad x>0\iff x\in\mathbb R_+^*,\qquad x<0\iff -x\in\mathbb R_+^*.\quad} \]
Demostración. \(x>0\) equivale por definición a \(x-0\in\mathbb R_+^*\); puesto que \(x-0=x\), se obtiene la primera equivalencia. Del mismo modo, \(x<0\) equivale a \(0-x\in\mathbb R_+^*\) y \(0-x=-x\). La tricotomía puede por tanto formularse como la afirmación de que para todo real \(x\) se cumple exactamente una de \(x>0\), \(x=0\), \(x<0\).
Tricotomía comparativa
En la cátedra (38:18–41:56). Dados \(x,y\in\mathbb R\), exactamente una de las relaciones
\[ \boxed{\quad x<y,\qquad x=y,\qquad x>y\quad} \]
es verdadera.
Demostración. La resta \(d=y-x\) es un real. Aplíquese el axioma 6 a \(d\). Si \(d\in\mathbb R_+^*\), por definición \(x<y\). Si \(-d=x-y\in\mathbb R_+^*\), entonces \(x>y\); la igualdad \(-d=x-y\) deriva de las propiedades de los opuestos. Si \(d=0\), se obtiene \(y=x\). La exclusividad de las tres relaciones se hereda de la tricotomía aplicada a \(d\). \(\square\)
La relación de orden y sus primeras propiedades
Transitividad estricta
En la cátedra (42:00–44:14). Si \(x<y\) y \(y<z\), entonces \(x<z\).
Demostración detallada. Las hipótesis equivalen a
\[ y-x\in\mathbb R_+^*,\qquad z-y\in\mathbb R_+^*. \]
Por el axioma 7, su suma pertenece a \(\mathbb R_+^*\). Puesto que
\[ (y-x)+(z-y)=z-x, \]
tenemos \(z-x\in\mathbb R_+^*\) y, por definición, \(x<z\). \(\square\)
Esta prueba muestra la función precisa del axioma 7: la suma de dos diferencias positivas vuelve a ser positiva. La cancelación del término intermedio convierte esa suma en la diferencia entre los extremos.
Antisimetría de \(\le\) — demostración completada
Tarea indicada en la cátedra (44:15–44:40). Mostrar que
\[ (x\le y\ \land\ y\le x)\ \Longrightarrow\ x=y. \]
Solución. Supongamos \(x\le y\) y \(y\le x\). Si \(x\ne y\), la tricotomía establece que \(x<y\) o \(y<x\). La primera opción contradice \(y\le x\), que exige \(y<x\) o \(y=x\); la segunda contradice \(x\le y\). De modo que necesariamente \(x=y\). \(\square\)
Aclaración lógica. La antisimetría compara dos desigualdades en sentidos opuestos y concluye igualdad. Es una propiedad característica de una relación de orden.
Transitividad de \(\le\) — demostración completada
Tarea indicada en la cátedra (44:40–44:59). Probar que
\[ (x\le y\ \land\ y\le z)\Longrightarrow x\le z. \]
Solución por casos. Si \(x=y\), la conclusión coincide con \(y\le z\). Si \(y=z\), coincide con \(x\le y\). En el caso restante, las hipótesis implican \(x<y\) y \(y<z\), de donde \(x<z\) por transitividad estricta. En cada posibilidad resulta \(x\le z\). \(\square\)
Reflexividad y totalidad — ampliación
Para todo \(x\), \(x\le x\) se cumple porque \(x=x\). Además, para cada par \(x,y\), la tricotomía comparativa implica \(x\le y\) o \(y\le x\). Con reflexividad, antisimetría, transitividad y totalidad queda establecida la estructura de orden total de \(\le\) en \(\mathbb R\).
Cómo demostrar una implicación
En la cátedra (45:35–48:37). Una proposición \(P\Rightarrow Q\) afirma que cada situación donde \(P\) es verdadera constituye una situación donde \(Q\) también es verdadera. El procedimiento habitual de prueba consiste en asumir \(P\) y deducir \(Q\). Es importante distinguir datos (hipótesis, axiomas y propiedades ya demostradas) de objetivo (la conclusión). Si se parte del resultado que se pretende probar, aparece un razonamiento circular.
En una demostración de desigualdades, el esquema es particularmente eficaz:
- Traducir las hipótesis \(x<y\) en positividad de diferencias.
- Traducir la conclusión buscada en otra diferencia positiva.
- Transformar la diferencia objetivo mediante operaciones de cuerpo y el axioma 7.
- Reconocer expresiones positivas gracias a los datos.
Esta arquitectura explica las demostraciones siguientes y permite controlar el sentido de cada signo.
Transformaciones de desigualdades
Sumar la misma cantidad a ambos lados
En la cátedra (48:38–52:29). Para cualquier \(a\in\mathbb R\),
\[ \boxed{\quad x<y\Longrightarrow x+a<y+a.\quad} \]
Demostración. La hipótesis dice que \(y-x\in\mathbb R_+^*\). A su vez,
\[ (y+a)-(x+a)=y-x. \]
Por igualdad de estas diferencias, la primera pertenece al conjunto positivo; por definición \(x+a<y+a\). \(\square\)
La misma transformación vale para \(\le\), \(>\) y \(\ge\). Además es reversible: de \(x+a<y+a\) se recupera \(x<y\) al sumar \(-a\) en ambos miembros. Por ello
\[ x<y\quad\iff\quad x+a<y+a. \]
Multiplicar por una constante positiva
En la cátedra (56:50–58:14). Si \(a>0\), entonces
\[ \boxed{\quad x<y\Longrightarrow ax<ay.\quad} \]
Demostración completada (el profesor escoge desarrollar el caso negativo). Como \(y-x\in\mathbb R_+^*\) y \(a\in\mathbb R_+^*\), por clausura multiplicativa
\[ a(y-x)=ay-ax\in\mathbb R_+^*. \]
Por tanto, \(ax<ay\). \(\square\)
Multiplicar por una constante negativa
En la cátedra (58:14–62:28). Si \(a<0\), entonces
\[ \boxed{\quad x<y\Longrightarrow ax>ay.\quad} \]
Demostración del profesor, reconstruida. De \(x<y\) se obtiene \(y-x\in\mathbb R_+^*\). De \(a<0\), \(-a\in\mathbb R_+^*\). Como ambos son positivos,
\[ (-a)(y-x)\in\mathbb R_+^*. \]
Por las reglas de signos,
\[ (-a)(y-x)=a(x-y)=ax-ay. \]
Luego \(ax-ay\in\mathbb R_+^*\), lo que expresa \(ax>ay\). \(\square\)
Caso de frontera. Multiplicar por \(a=0\) da \(0=0\) en ambos lados. Por eso una desigualdad estricta se convierte en igualdad cuando ambos lados se multiplican por cero.
Sumar dos desigualdades estrictas
En la cátedra (68:08–70:45). Si \(x<y\) y \(u<v\), entonces
\[ \boxed{\quad x+u<y+v.\quad} \]
Demostración. Por las hipótesis, \(y-x>0\) y \(v-u>0\). Su suma es positiva y vale
\[ (y-x)+(v-u)=(y+v)-(x+u). \]
Por definición, \(x+u<y+v\). \(\square\)
La propiedad utiliza dos desigualdades distintas. Su demostración vuelve a depender de la clausura aditiva de \(\mathbb R_+^*\).
Multiplicar desigualdades entre positivos: «ni quita ni pone»
En la cátedra (70:47–79:26). Supóngase
\[ 0<x<y,\qquad 0<u<v. \]
Entonces
\[ \boxed{\quad xu<yv.\quad} \]
El obstáculo pedagógico es que en \(yv-xu\) aparecen factores diferentes. El profesor introduce una maniobra conocida en la facultad como «ni quita ni pone»: insertar el mismo término con signos opuestos, de modo que su contribución neta sea cero. Elegimos \(xv\) porque facilita agrupar por los factores pertinentes:
\[ \begin{aligned} yv-xu &=yv-xv+xv-xu\\ &=(y-x)v+x(v-u). \end{aligned} \]
Los cuatro factores \(y-x\), \(v\), \(x\) y \(v-u\) son positivos. Los productos \((y-x)v\) y \(x(v-u)\) son positivos por el axioma 7; su suma también lo es. En consecuencia, \(yv-xu>0\) y, por definición, \(xu<yv\). \(\square\)
Por qué funciona. El término introducido \(-xv+xv=0\) conserva exactamente el valor de la expresión original. Lo decisivo es que permite una descomposición en sumandos cuyo signo conocemos. La identidad constituye una forma elemental de construir una prueba a partir de la expresión objetivo.
Qué transformaciones son reversibles
Sumar una cantidad fija a ambos lados es una equivalencia. Multiplicar por \(a\ne0\) también lo es si se conoce su signo: la transformación inversa consiste en multiplicar por \(a^{-1}\), que conserva el signo de \(a\). Estas equivalencias serán decisivas al resolver inecuaciones, pues permiten describir exactamente el mismo conjunto de soluciones en formas algebraicas diferentes.
Otras consecuencias de los axiomas de orden
En esta parte, el profesor presenta varias propiedades brevemente y pide estudiarlas en el apunte. Se desarrollan aquí las demostraciones, con el objetivo de completar el trabajo matemático correspondiente a la clase.
Todo cuadrado es no negativo — demostración completada
Propuesta de la cátedra (79:48–80:10). Para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ \boxed{\quad x^2\ge0.\quad} \]
Demostración. Se distinguen los tres casos de la tricotomía. Si \(x=0\), entonces \(x^2=0\). Si \(x>0\), la clausura multiplicativa da \(x^2=x\cdot x>0\). Si \(x<0\), su opuesto \(-x\) es positivo, y por lo tanto
\[ (-x)(-x)>0. \]
Como \((-x)(-x)=x^2\) por las reglas de signos, también se obtiene \(x^2>0\). En todos los casos \(x^2\ge0\). Además, si \(x\ne0\), el cuadrado es estrictamente positivo. \(\square\)
La unidad multiplicativa es positiva — demostración completada
El elemento \(1\) cumple \(1\ne0\) por los axiomas de cuerpo. Puesto que \(1^2=1\) y el cuadrado de todo elemento distinto de cero es positivo,
\[ \boxed{\quad 1>0.\quad} \]
Este resultado es teoremático: la orientación positiva del número \(1\) se deduce de la estructura de cuerpo ordenado.
Signos de los productos — demostraciones completadas
Tareas de la cátedra (80:10–81:22). Se tienen las siguientes propiedades:
\[ \begin{array}{lll} a>0,\ b>0&\Longrightarrow&ab>0,\\ a>0,\ b<0&\Longrightarrow&ab<0,\\ a<0,\ b<0&\Longrightarrow&ab>0. \end{array} \]
La primera es exactamente la clausura multiplicativa del axioma 7. Para la segunda, \(a>0\) y \(-b>0\) implican \(a(-b)>0\). Como \(a(-b)=-(ab)\), la positividad del opuesto determina \(ab<0\). Para la tercera, \(-a>0\) y \(-b>0\) implican \((-a)(-b)>0\); las reglas de signos identifican este producto con \(ab\). El caso \(a<0\), \(b>0\) se deduce por conmutatividad. \(\square\)
El recíproco conserva el signo — demostración completada
Tarea de la cátedra (81:23–82:12). Para \(x\ne0\),
\[ \boxed{\quad x>0\Longrightarrow x^{-1}>0, \qquad x<0\Longrightarrow x^{-1}<0.\quad} \]
Demostración con la idea sugerida por el profesor. El inverso \(x^{-1}\) es distinto de cero, porque \(xx^{-1}=1\ne0\). Por el resultado anterior, \(\bigl(x^{-1}\bigr)^2>0\). Además,
\[ \boxed{\quad x^{-1}=\bigl(x^{-1}\bigr)^2x,\quad} \]
pues el producto de la derecha se reagrupa como \(x^{-1}(x^{-1}x)=x^{-1}\cdot1=x^{-1}\). Así, \(x^{-1}\) es producto de un factor positivo y el factor \(x\). Si \(x>0\), el producto es positivo; si \(x<0\), es negativo. \(\square\)
Otra vía. Si \(x>0\) y \(x^{-1}<0\), se tendría \(xx^{-1}<0\), en contradicción con \(xx^{-1}=1>0\). El caso negativo se trata de forma análoga. La primera prueba reproduce más de cerca el razonamiento de la clase.
Producto nulo e incompatibilidad con inversos — ampliación
Si \(ab=0\) y \(a\ne0\), se puede multiplicar por \(a^{-1}\):
\[ b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot0=0. \]
Se obtiene la propiedad del producto nulo: \(ab=0\) implica \(a=0\) o \(b=0\). Esta propiedad es útil para resolver ecuaciones y, más adelante, inecuaciones factorizadas. La demostración es una consecuencia de los axiomas de cuerpo, y se incorpora aquí como ampliación; el profesor no la desarrolla en este tramo de la grabación.
Recta real e intervalos
En la cátedra (82:42–84:48). El profesor presenta la ordenación geométrica habitual de los reales: los mayores a la derecha, los menores a la izquierda. La recta numérica expresa visualmente las relaciones construidas de manera axiomática.
Para \(a<b\), las notaciones principales son:
| Nombre | Notación | Condición caracterizadora |
|---|---|---|
| Intervalo abierto | \((a,b)\) | \(\{x\in\mathbb R:a<x<b\}\) |
| Intervalo cerrado | \([a,b]\) | \(\{x\in\mathbb R:a\le x\le b\}\) |
| Semiabierto a la izquierda | \((a,b]\) | \(\{x\in\mathbb R:a<x\le b\}\) |
| Semiabierto a la derecha | \([a,b)\) | \(\{x\in\mathbb R:a\le x<b\}\) |
| Semirrecta abierta derecha | \((a,+\infty)\) | \(\{x\in\mathbb R:x>a\}\) |
| Semirrecta cerrada derecha | \([a,+\infty)\) | \(\{x\in\mathbb R:x\ge a\}\) |
| Semirrecta abierta izquierda | \((-\infty,b)\) | \(\{x\in\mathbb R:x<b\}\) |
| Semirrecta cerrada izquierda | \((-\infty,b]\) | \(\{x\in\mathbb R:x\le b\}\) |
Se escribe asimismo \(\mathbb R=(-\infty,+\infty)\). Los símbolos \(\pm\infty\) señalan la prolongación ilimitada de los intervalos; el extremo señalado por infinito siempre se escribe con paréntesis redondo. El profesor recomienda la notación estándar de intervalos para facilitar la escritura matemática digital.
Observación de rigor. Aquí se estudian intervalos como conjuntos descritos mediante desigualdades. Las propiedades topológicas de apertura y cerradura requieren definiciones adicionales que aparecerán más adelante en una teoría de límites y espacios métricos. En esta lección, las expresiones «abierto» y «cerrado» se refieren a la inclusión de sus extremos finitos.
Resolver todas las inecuaciones de primer grado
Problema general y punto de corte
En la cátedra (85:15–85:59). Sean \(a,b\in\mathbb R\) datos, con \(a\ne0\). Se busca el conjunto de soluciones de cada una de las cuatro inecuaciones
\[ ax+b<0,\qquad ax+b\le0,\qquad ax+b>0,\qquad ax+b\ge0. \]
El número
\[ \boxed{\quad c=-\frac ba\quad} \]
es el punto de corte de la expresión lineal, porque \(ac+b=0\). Es el único cero de \(x\mapsto ax+b\) cuando \(a\ne0\). Divide la recta real en dos intervalos donde la expresión tiene signo constante.
Caso \(a>0\): desarrollo de la clase
En la cátedra (86:01–92:58). El profesor empieza por \(ax+b<0\). Sumar \(-b\) a ambos lados preserva la desigualdad:
\[ ax+b<0\ \iff\ ax<-b. \]
El recíproco \(a^{-1}\) es positivo por la propiedad demostrada anteriormente, por lo cual multiplicar por él preserva nuevamente el sentido:
\[ ax<-b\ \iff\ x<-ba^{-1}\ \iff\ x<c. \]
Cada paso es una equivalencia: podemos efectuar la transformación inversa y recuperar la inecuación inicial. Por tanto, los conjuntos solución quedan exactamente determinados, para \(a>0\), por la siguiente tabla:
| Inecuación | Condición sobre \(x\) | Conjunto solución |
|---|---|---|
| \(ax+b<0\) | \(x<c\) | \((-\infty,c)\) |
| \(ax+b\le0\) | \(x\le c\) | \((-\infty,c]\) |
| \(ax+b>0\) | \(x>c\) | \((c,+\infty)\) |
| \(ax+b\ge0\) | \(x\ge c\) | \([c,+\infty)\) |
Tabla de signos para \(a>0\).
| Región | \(x<c\) | \(x=c\) | \(x>c\) |
|---|---|---|---|
| Signo de \(ax+b\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La tabla resume la explicación oral: a la izquierda del punto de corte la expresión es negativa; en el punto de corte vale cero; a la derecha es positiva.
Caso \(a<0\): tarea resuelta
Tarea expresamente propuesta (86:01 y 93:00–94:14). Resolver el caso \(a<0\) y justificar la inversión de los signos.
Solución desarrollada. Si \(ax+b<0\), sumamos \(-b\):
\[ ax+b<0\iff ax<-b. \]
Como \(a<0\), su recíproco también es negativo. Al multiplicar por \(a^{-1}\), el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ ax<-b\iff x>-ba^{-1}=c. \]
Cada implicación es reversible porque \(a\ne0\). Las otras tres variantes se obtienen aplicando las reglas respectivas a \(\le,>,\ge\). Así, si \(a<0\),
| Inecuación | Condición sobre \(x\) | Conjunto solución |
|---|---|---|
| \(ax+b<0\) | \(x>c\) | \((c,+\infty)\) |
| \(ax+b\le0\) | \(x\ge c\) | \([c,+\infty)\) |
| \(ax+b>0\) | \(x<c\) | \((-\infty,c)\) |
| \(ax+b\ge0\) | \(x\le c\) | \((-\infty,c]\) |
Tabla de signos para \(a<0\).
| Región | \(x<c\) | \(x=c\) | \(x>c\) |
|---|---|---|---|
| Signo de \(ax+b\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
La pendiente \(a\) determina el orden de los signos a ambos lados del único cero \(c\); la estructura de ambas tablas procede directamente de los axiomas de orden y del álgebra de cuerpo.
Por qué importa la equivalencia lógica
En la cátedra (87:18–90:13). Resolver una inecuación consiste en describir todos y exactamente los valores de \(x\) que satisfacen la condición. Por eso, al transformar expresiones, debemos conservar la equivalencia lógica:
\[ P\iff Q\quad\text{significa}\quad(P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow P). \]
En el caso lineal, sumar una cantidad y multiplicar por una constante distinta de cero son operaciones reversibles. El punto de corte ofrece una lectura geométrica equivalente a la solución algebraica.
Ampliación: qué ocurre cuando \(a=0\)
El docente adopta \(a\ne0\) para estudiar inecuaciones propiamente de primer grado. Si \(a=0\), la condición se reduce a una proposición sobre \(b\):
\[ 0\cdot x+b\mathrel{\square}0\iff b\mathrel{\square}0. \]
En ese caso, el conjunto solución es \(\mathbb R\) cuando la proposición sobre \(b\) es verdadera, y es \(\varnothing\) cuando es falsa. Esta verificación es una ampliación, útil para reconocer correctamente expresiones lineales degeneradas.
Síntesis: hilo lógico de la cátedra
El recorrido matemático de la sesión puede describirse mediante cuatro etapas encadenadas:
- Estructura algebraica previa: \(\mathbb R\) es un cuerpo, con suma, producto, opuestos y recíprocos.
- Estructura de signos: los axiomas 6 y 7 seleccionan un conjunto de positivos con tricotomía y clausura.
- Relaciones de orden: las diferencias positivas definen \(<\) y \(>\), y a partir de ellas se obtienen \(\le\) y \(\ge\).
- Operaciones y problemas: transitividad, suma y producto de desigualdades, intervalos e inecuaciones lineales.
En todas las demostraciones se repite una misma arquitectura: la conclusión sobre el orden se traduce en una diferencia positiva, que después se transforma hasta expresarla como suma o producto de positivos conocidos. La técnica «ni quita ni pone» es una instancia especialmente clara de esta estrategia.
Checklist de estudio
Glosario mínimo
Tricotomía: organización de cada real en exactamente una de las clases positivo, cero o negativo. Clausura: conservación de la pertenencia a un conjunto cuando se aplican ciertas operaciones. Orden total: relación reflexiva, antisimétrica, transitiva y comparable para todo par de elementos. Diferencia positiva: número \(y-x\) que pertenece a \(\mathbb R_+^*\) y caracteriza \(x<y\). Inecuación: condición de desigualdad que se pide satisfacer mediante ciertos valores de una incógnita. Punto de corte: cero de la expresión lineal \(ax+b\), dado por \(-b/a\) cuando \(a\ne0\). Ni quita ni pone: inserción de un término junto con su opuesto para reescribir una expresión conservando su valor.
Fuente y trazabilidad
- San Martín, Jorge, «IC2021: Cátedra 2.1 (Lunes 22/3/21 14:30)». Grabación de 2021; transcripción automática revisada para la presente edición.
- Continuidad: Cátedra 1.1 y Cátedra 1.2, cuyos resultados de cuerpo se emplean como preliminares.
- Criterio de fidelidad: los axiomas, la secuencia de temas, las demostraciones trabajadas y las tareas atribuidas al profesor se documentan mediante la grabación. Los ejemplos numéricos, las demostraciones completadas y los ejercicios identificados como «Práctica adicional» corresponden a elaboración editorial para el estudio.
Procedencia de este tramo: cátedra 2.2.
La expresión afín como unidad de análisis
Punto de corte y factorización
En la cátedra (09:02–12:36). Sea \(a\in\mathbb R\setminus\{0\}\) y \(b\in\mathbb R\). Para la expresión
\[ L(x)=ax+b \]
existe un único número \(r\) tal que \(L(r)=0\), a saber,
\[ \boxed{r=-\frac ba.} \]
Este es el punto de corte de la función afín con el eje horizontal. La identidad decisiva es
\[ L(x)=a\left(x+\frac ba\right)=a(x-r). \]
La factorización separa dos informaciones: \(a\) tiene signo fijo y \(x-r\) tiene signo determinado por la posición de \(x\) respecto de \(r\).
| Posición de \(x\) | Signo de \(x-r\) | Signo de \(L(x)=a(x-r)\) |
|---|---|---|
| \(x<r\) | negativo | contrario al signo de \(a\) |
| \(x=r\) | cero | cero |
| \(x>r\) | positivo | igual al signo de \(a\) |
Demostración. Si \(x>r\), entonces \(x-r>0\). Por la regla de los signos, \(a(x-r)\) tiene el signo de \(a\). Si \(x<r\), entonces \(x-r<0\) y el signo del producto se invierte. En \(x=r\) tenemos \(x-r=0\), luego \(L(r)=0\).
El profesor propone una verificación sencilla: sustituir \(x=r+1\). Entonces
\[ L(r+1)=a(r+1)+b=(ar+b)+a=a. \]
La misma evaluación con \(r-t\) y \(t>0\) da \(L(r-t)=-at\), que tiene el signo contrario al de \(a\).
Inecuaciones factorizadas y su dominio
En la cátedra (12:38–14:23). Se estudian expresiones racionales de la forma
\[ R(x)=\frac{\prod_{i=1}^{n}(a_i x+b_i)}{\prod_{j=1}^{m}(c_j x+d_j)},\qquad a_i\ne0,\quad c_j\ne0, \]
comparadas con cero mediante una de las relaciones \(<,\le,>,\ge\). Su dominio es
\[ D=\left\{x\in\mathbb R:\prod_{j=1}^{m}(c_jx+d_j)\ne0\right\}. \]
El dominio permanece fijo durante todas las transformaciones equivalentes. En particular, cuando una fracción se simplifica algebraicamente, se conserva la condición del denominador original. Cada factor lineal aporta un punto crítico \(-b_i/a_i\) o \(-d_j/c_j\). Un punto crítico del numerador puede producir el valor cero; uno del denominador es un punto donde la expresión queda indefinida.
Precisión editorial. La forma factorizada es el punto de partida del algoritmo de signos. Un polinomio de grado superior puede requerir trabajo adicional de factorización, y factores cuadráticos sin raíces reales pueden tratarse directamente mediante su signo constante. La cátedra introduce precisamente esta ampliación en su segunda mitad.
Preparación algebraica del ejemplo de la cátedra
En la cátedra (14:24–20:58). El profesor considera la inecuación
\[ \boxed{\frac{x+1}{x}\le\frac{x+1}{x-1}-\frac3x,\qquad x\ne0,\quad x\ne1.} \tag{E} \]
Llevar todas las expresiones al miembro izquierdo da
\[ \frac{x+1}{x}-\frac{x+1}{x-1}+\frac3x\le0. \]
Al reducir a denominador común \(x(x-1)\) se obtiene
\[ \begin{aligned} \frac{x+1}{x}-\frac{x+1}{x-1}+\frac3x &=\frac{(x+1)(x-1)-x(x+1)+3(x-1)}{x(x-1)}\\ &=\frac{(x^2-1)-(x^2+x)+(3x-3)}{x(x-1)}\\ &=\frac{2x-4}{x(x-1)}. \end{aligned} \]
Por consiguiente, la inecuación original es equivalente, en el dominio \(D=\mathbb R\setminus\{0,1\}\), a
\[ \boxed{\frac{2x-4}{x(x-1)}\le0.}\tag{F} \]
El numerador se factoriza como \(2(x-2)\); el factor constante \(2\) es positivo. Los puntos críticos son \(0\), \(1\) y \(2\).
La reducción tiene dos fases conceptualmente distintas: escribir el comparador contra cero y factorizar el numerador y el denominador para reconocer las zonas de signo constante. Las operaciones con fracciones son identidades en el dominio común.
Algoritmo de los puntos críticos y tabla de signos
Las cinco etapas
En la cátedra (20:58–33:45). Para resolver \(R(x)\,\square\,0\), donde \(\square\in\{<,\le,>,\ge\}\):
- Calcular los puntos críticos de cada factor del numerador y del denominador.
- Ordenarlos, conservando una vez cada valor distinto. Si hay \(n+m\) factores lineales y \(s\) puntos críticos distintos, entonces \(s\le n+m\).
- Formar los \(s+1\) intervalos abiertos delimitados por esos valores ordenados.
- Determinar el signo de \(R\) en cada intervalo a partir de los signos de sus factores y seleccionar los intervalos que satisfacen la desigualdad.
- Examinar los puntos críticos individualmente: en una desigualdad amplia, incorporar cada cero del numerador que pertenezca al dominio; excluir siempre los ceros del denominador.
El profesor subraya que el signo del cociente de factores lineales es constante dentro de cada intervalo abierto. Si \(k\) es el número total de factores negativos, contados con multiplicidad en numerador y denominador, el signo del cociente es \((-1)^k\), multiplicado por el signo de los coeficientes constantes que se hayan separado. Un \(k\) par da signo positivo; un \(k\) impar, negativo.
Justificación. Cada factor \(a_ix+b_i\) es continuo y tiene un único cero. Entre dos puntos críticos consecutivos, permanece a un lado de su cero y, por la tabla anterior, conserva el signo. El producto y el cociente de signos fijos también conservan signo. Esta explicación puede formularse usando únicamente las propiedades de orden de la clase precedente; la mención a continuidad es una lectura posterior y se incluye aquí como ampliación conceptual.
Ejemplo de dominio: una cancelación aparente
En la cátedra (33:45–36:58). Consideremos
\[ \frac{x-1}{x-1}\ge0. \]
El dominio es \(D=\mathbb R\setminus\{1\}\). En todo punto de \(D\), la fracción vale \(1\), y por ello satisface la desigualdad. El conjunto solución es
\[ \boxed{(-\infty,1)\cup(1,\infty)=\mathbb R\setminus\{1\}.} \]
Es legítimo reducir la fracción a \(1\) junto con la restricción \(x\ne1\). La condición original mantiene su relevancia aun cuando el factor común desaparezca del cociente simplificado. Esta distinción anticipa una regla general: una igualdad algebraica entre expresiones racionales se enuncia sobre su dominio común.
Tabla de signos del ejemplo principal
En la cátedra (37:00–50:15). Para
\[ R(x)=\frac{2(x-2)}{x(x-1)},\qquad x\in\mathbb R\setminus\{0,1\}, \]
los puntos ordenados son \(0<1<2\), de modo que aparecen cuatro intervalos abiertos. La tabla de signos es:
| Factor o cociente | \((-\infty,0)\) | \((0,1)\) | \((1,2)\) | \((2,\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(2(x-2)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(R(x)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
La condición \(R(x)\le0\) escoge los intervalos primero y tercero. El valor \(x=2\) satisface \(R(2)=0\) y pertenece al dominio; \(0\) y \(1\) hacen cero el denominador. Así,
\[ \boxed{S=(-\infty,0)\cup(1,2].} \]
Con la misma función, las otras tres comparaciones producen
\[ \begin{array}{rcl} R(x)<0 &\Longleftrightarrow& x\in(-\infty,0)\cup(1,2),\\ R(x)>0 &\Longleftrightarrow& x\in(0,1)\cup(2,\infty),\\ R(x)\ge0 &\Longleftrightarrow& x\in(0,1)\cup[2,\infty). \end{array} \]
Verificación rápida. En \(x=-1\), \(R(-1)=-3<0\); en \(x=\tfrac12\), \(R(1/2)=12>0\); en \(x=\tfrac32\), \(R(3/2)=-\tfrac43<0\); en \(x=3\), \(R(3)=\tfrac13>0\). Los valores elegidos comprueban cada intervalo, aunque la demostración de signo constante es la que justifica el resultado para todos sus puntos.
Factores con coeficiente negativo y valores repetidos
En la cátedra (52:39–59:11). Una expresión como \(-x\) tiene punto crítico \(0\), signo positivo a la izquierda y negativo a la derecha. Es posible conservar ese factor en la tabla o extraer un signo menos global, recordando que multiplicar una desigualdad por \(-1\) invierte su sentido.
Si un mismo valor anula simultáneamente factores del numerador y denominador, la restricción del denominador prevalece. El profesor ilustra esta precaución añadiendo factores \(x-5\), \(x-4\) y \(x-1\) al numerador: los valores \(5\) y \(4\) pueden incluirse en una comparación amplia cuando pertenecen al dominio; el valor \(1\) queda excluido porque también anula un factor del denominador.
Ampliación: factores de multiplicidad par e impar. En \((x-r)^k\), el signo cambia al cruzar \(r\) si \(k\) es impar y se conserva si \(k\) es par. La regla se deduce de que \((x-r)^2\) es positivo para \(x\ne r\) y de que multiplicar por \(x-r\) altera el signo al cruzar el punto. Esta observación permite construir tablas más rápidamente sin perder las restricciones de dominio.
Completar cuadrados perfectos
El patrón fundamental
En la cátedra (60:14–69:37). La identidad de partida es
\[ (x+h)^2=x^2+2hx+h^2. \]
La técnica de completar el cuadrado consiste en identificar el término que transforma una suma de dos términos en un trinomio cuadrado perfecto, agregándolo y compensándolo de manera exacta. El recurso que el profesor llama «ni quita ni pone» aparece aquí como sumar y restar la misma cantidad:
\[ \begin{aligned} x^2+2hx &=x^2+2hx+h^2-h^2\\ &=\boxed{(x+h)^2-h^2}. \end{aligned} \]
Para \(x^2+mx\), se reescribe \(mx=2(\tfrac m2)x\). Por tanto,
\[ \boxed{x^2+mx=\left(x+\frac m2\right)^2-\frac{m^2}{4}.} \]
En esta expresión se reconocen las dos decisiones metodológicas que enfatiza la clase: identificar la mitad del coeficiente lineal y añadir su cuadrado, conservando el valor inicial mediante una resta de igual magnitud.
Una cuadrática general
En la cátedra (75:14–80:59). Sea
\[ q(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0. \]
Primero se factoriza por \(a\):
\[ q(x)=a\left(x^2+\frac ba x+\frac ca\right). \]
Dentro del paréntesis, la mitad del coeficiente lineal es \(b/(2a)\). Se añade y se resta su cuadrado:
\[ \begin{aligned} q(x) &=a\left[x^2+2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac ca\right]\\ &=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\right]\\ &=\boxed{a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]}. \end{aligned} \]
Se define el discriminante
\[ \boxed{\Delta=b^2-4ac.} \]
La identidad central de esta parte del curso es, por consiguiente,
\[ \boxed{q(x)=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right].}\tag{C} \]
El denominador \(4a^2\) es estrictamente positivo. La comparación de \(\Delta\) con cero determina el comportamiento del término entre corchetes. El factor \(a\) determina la orientación final del signo de \(q\).
Tres casos del discriminante
Discriminante negativo: signo constante
En la cátedra (82:22–88:15). Si \(\Delta<0\), entonces \(-\Delta/(4a^2)>0\). El cuadrado de la identidad (C) es mayor o igual que cero; al sumarle una constante estrictamente positiva resulta
\[ \left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}>0 \qquad\text{para todo }x\in\mathbb R. \]
Se concluye que \(q(x)\) tiene el signo de \(a\) para todo \(x\in\mathbb R\), y además \(q(x)\ne0\) para todo \(x\). Una cuadrática de este tipo puede tratarse como un factor de signo constante en la tabla de una inecuación. Si \(a>0\), puede dividirse por ella conservando el sentido; si \(a<0\), dividir por ella invierte el sentido. En ambas operaciones se conserva el dominio original.
Ejemplo de la clase. \(x^2+1>0\) en todo \(\mathbb R\). El factor \(-(x^2+1)<0\) en todo \(\mathbb R\). Por ello,
\[ -\frac{2x-4}{x(x-1)}(x^2+1)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2x-4}{x(x-1)}\le0, \]
para \(x\ne0,1\). El conjunto solución vuelve a ser \((-\infty,0)\cup(1,2]\).
Discriminante cero: un punto de anulación
En la cátedra (88:17–90:30). Si \(\Delta=0\), la identidad (C) queda
\[ \boxed{q(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2.} \]
El punto \(r=-b/(2a)\) satisface \(q(r)=0\). En cada \(x\ne r\), la cuadrática tiene el signo de \(a\); al cruzar \(r\) ese signo se conserva. Se trata de un cero de multiplicidad dos.
En una tabla de signos, el punto \(r\) debe señalarse expresamente. Si el factor aparece en el numerador de una expresión racional y la desigualdad permite igualdad, puede incorporarse como solución cuando pertenece al dominio; si aparece en el denominador, queda excluido.
Discriminante positivo: raíces y factorización
En la cátedra (90:31–101:10, inicio del caso). El profesor observa que, si \(\Delta>0\), la identidad (C) enfrenta un cuadrado con una constante positiva que se resta. Para estudiar los puntos donde ambos se igualan necesita considerar la ecuación \(u^2=\Delta\) y la raíz cuadrada. Explica por qué la cuestión de existencia de \(\sqrt\Delta\) se pospone hasta la completitud de los reales en una semana posterior; en la presente clase estudia la cuestión de unicidad de la solución no negativa.
Ampliación (culminación algebraica para el estudio). Asumiendo la existencia de la raíz positiva \(\sqrt\Delta\) —hecho conocido para los reales, cuya justificación axiomática queda pendiente en el itinerario del curso— se tiene
\[ \begin{aligned} q(x) &=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2 -\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2\right]\\ &=a\left(x+\frac b{2a}-\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x+\frac b{2a}+\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\\ &=\boxed{a(x-r_1)(x-r_2)}, \end{aligned} \]
con
\[ r_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a},\qquad r_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}. \]
Definimos \(r_-:=\min\{r_1,r_2\}\) y \(r_+:=\max\{r_1,r_2\}\). Puesto que las raíces son distintas, se cumple \(r_-<r_+\). Entonces:
| Intervalo | Signo de \((x-r_-)(x-r_+)\) | Signo de \(q(x)\) |
|---|---|---|
| \(x<r_-\) | \(+\) | signo de \(a\) |
| \(r_-<x<r_+\) | \(-\) | contrario al signo de \(a\) |
| \(x>r_+\) | \(+\) | signo de \(a\) |
En \(r_-\) y \(r_+\) la cuadrática vale cero. Esto completa el panorama operativo que el profesor deja remitido al apunte: con \(\Delta>0\) aparecen dos puntos críticos; con \(\Delta=0\), uno doble; con \(\Delta<0\), la cuadrática tiene signo constante.
Existencia y unicidad de la raíz cuadrada
En la cátedra (94:41–101:10). Consideremos \(d>0\) y la ecuación \(u^2=d\). Si \(u\) es solución, \(-u\) también satisface la ecuación. Además, dos soluciones cualesquiera \(u,v\) cumplen
\[ u^2=v^2\quad\Longrightarrow\quad(u-v)(u+v)=0 \quad\Longrightarrow\quad u=v\ \text{o}\ u=-v. \]
Toda solución resulta, por tanto, igual a una solución dada o a su opuesta. Cuando se exige \(u\ge0\), la solución, si existe, es única: si \(u,v\ge0\) y \(u^2=v^2=d>0\), la posibilidad \(u=-v\) llevaría a \(u=v=0\), incompatible con \(d>0\), por lo que necesariamente \(u=v\). La raíz cuadrada \(\sqrt d\) nombra esa solución no negativa.
Es esencial distinguir los dos enunciados:
\[ u^2=d\quad\Longleftrightarrow\quad u=\sqrt d\ \text{o}\ u=-\sqrt d, \qquad\text{mientras que}\qquad \sqrt d\ge0. \]
Por ejemplo, \(u^2=4\) tiene las soluciones \(2\) y \(-2\), mientras que \(\sqrt4=2\). El profesor pospone la prueba axiomática de la existencia general de raíces cuadradas positivas hasta el tratamiento posterior de la completitud.
Valor absoluto: una ampliación anunciada
Ampliación editorial. Al terminar la cátedra, el profesor remite también el módulo (valor absoluto) al apunte oficial, sin desarrollarlo en la pizarra. Para disponer de una referencia de estudio, introducimos aquí la función
\[ |x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases} \]
La función \(|x|\) expresa la distancia de \(x\) al cero. Para \(r>0\), la desigualdad \(|x|<r\) corresponde a los puntos del intervalo \((-r,r)\), mientras que \(|x|\le r\) corresponde a \([-r,r]\):
\[ |x|<r\ \Longleftrightarrow\ -r<x<r,\qquad |x|\le r\ \Longleftrightarrow\ -r\le x\le r. \]
Para comprobarlo, se consideran los casos \(x\ge0\) y \(x<0\) de la definición. Por ejemplo, \(|2x-3|\le5\) equivale a \(-5\le2x-3\le5\); sumando \(3\) y dividiendo por \(2>0\), se obtiene \(-1\le x\le4\). Este desarrollo es material complementario y prepara el uso de inecuaciones con módulo en clases posteriores.
Reversibilidad en las demostraciones
En el intercambio posterior a la cátedra (105:00–111:45). La conversación vuelve sobre la diferencia entre demostrar una igualdad y transformar formalmente expresiones. Para establecer \(F=G\) se puede:
- transformar \(F\) mediante igualdades justificadas hasta obtener \(G\);
- comenzar con una identidad conocida y obtener \(F=G\);
- demostrar que \(F-G=0\);
- demostrar por contradicción que la hipótesis \(F\ne G\) conduce a una contradicción.
El profesor advierte sobre un procedimiento inválido: comenzar suponiendo la igualdad buscada y deducir una identidad verdadera mediante operaciones que pierdan información. Por ejemplo,
\[ -1=0\quad\Longrightarrow\quad 0=0 \]
si se multiplican ambos lados por cero; la conclusión verdadera permite un antecedente falso. La solución es reconstruir una cadena de equivalencias reversibles, o bien redactar la demostración directamente desde premisas admitidas.
La misma cautela afecta a las inecuaciones: multiplicar por una expresión de signo variable, cancelar factores que pueden anularse o elevar al cuadrado exige analizar condiciones. El algoritmo de signos sistematiza estas verificaciones.
Síntesis de método
En los ejercicios de inecuaciones, la secuencia de trabajo es dominio, expresión comparada con cero, factorización, puntos críticos distintos, intervalos abiertos, signos y extremos. En las cuadráticas, la cadena correspondiente es factorizar por \(a\), completar el cuadrado, distinguir los tres casos de \(\Delta\) y describir signo y raíces según corresponda.
La clase ilustra además un criterio de rigor aplicable a todo el cálculo: las operaciones algebraicas pueden escribirse como equivalencias cuando preservan exactamente los valores admisibles de la incógnita. Las condiciones de denominador y las hipótesis de signo acompañan a esas equivalencias durante todo el procedimiento.
Referencias y notas de alcance
- Jorge San Martín, IC2021: Cátedra 2.2 (Viernes 26/3 12:00), grabación del 26 de marzo de 2021, duración aproximada de 1 h 53 min. Fuente principal efectivamente revisada mediante la transcripción automática visible en YouTube.
- Introducción al Cálculo (base 2021), lista de reproducción del curso.
- Alcance de esta edición. El profesor remite la culminación de la factorización con \(\Delta>0\) y los detalles del módulo al apunte oficial. Aquí la primera se incluye como ampliación matemática y se aporta además una colección original de ejercicios resueltos. Las afirmaciones sobre existencia de \(\sqrt d\) para todo \(d>0\) se presentan como hechos del sistema real cuyo fundamento se introduce más adelante con la completitud.
Taller de problemas y soluciones
Los ejercicios se presentan a continuación según la fuente de origen; las ampliaciones editoriales de cada apuntes permanecen expresamente identificadas.
Solucionario desarrollado: ejercicios de estudio — cátedra 2.1
Los ejercicios siguientes reúnen las tareas anunciadas en la cátedra y otros problemas de consolidación redactados para las notas. Las actividades directamente mencionadas por el profesor se identifican como [Tarea de la clase]; las restantes, como [Práctica adicional].
Ejercicio 1. Tricotomía en un cuerpo de característica dos — [Tarea de la clase]
Enunciado. Justificar por qué un cuerpo \(K\) con \(1+1=0\) puede ser un cuerpo algebraico y, a la vez, carecer de un conjunto positivo compatible con los axiomas 6 y 7.
Solución. En ese cuerpo, \(1\) es su propio opuesto: \(1+1=0\) implica \(-1=1\) por unicidad del opuesto. En una tricotomía compatible con un cuerpo ordenado, \(1\ne0\) obliga a que se cumpla \(1\in K_+^*\) o \(-1\in K_+^*\). Como \(1=-1\), ambas alternativas se convertirían en la misma pertenencia, contradiciendo la exclusividad del axioma 6. Por lo tanto, ningún conjunto positivo de esta clase puede dotar a \(K\) de ese orden. El ejemplo canónico es \(\mathbb F_2\), cuyas operaciones módulo dos satisfacen los axiomas de cuerpo. \(\square\)
Ejercicio 2. \(0<1\) a partir de los axiomas — [Tarea de la clase]
Enunciado. Probar que \(1>0\) partiendo de la tricotomía, la clausura y \(1\ne0\).
Solución. Dado \(1\ne0\), la tricotomía afirma que \(1>0\) o \(-1>0\). Si \(-1>0\), el producto de los positivos \((-1)(-1)\) también es positivo por el axioma 7. Pero \((-1)(-1)=1\), así que igualmente \(1>0\). La única conclusión compatible con los axiomas es \(1>0\). Esta segunda prueba permite llegar a la misma tesis aun antes de sistematizar todas las propiedades de los cuadrados. \(\square\)
Ejercicio 3. Transitividad de \(\le\) — [Tarea de la clase]
Enunciado. Sean \(x\le y\) e \(y\le z\). Demostrar \(x\le z\).
Solución. Cada desigualdad permite dos posibilidades: \(x<y\) o \(x=y\), y \(y<z\) o \(y=z\). Si aparece una igualdad, se sustituye el término correspondiente y queda inmediatamente una desigualdad del mismo sentido. Cuando ambas son estrictas, la transitividad probada en la sección 3.1 proporciona \(x<z\). En todos los casos \(x\le z\). \(\square\)
Ejercicio 4. Antisimetría — [Tarea de la clase]
Enunciado. Probar que \(x\le y\) e \(y\le x\) implican \(x=y\).
Solución. Por tricotomía, \(x<y\), \(x=y\) o \(x>y\), de manera exclusiva. El caso \(x<y\) contradice \(y\le x\), y el caso \(x>y\) contradice \(x\le y\). La alternativa que permanece es \(x=y\). \(\square\)
Ejercicio 5. Multiplicar por un positivo — [Tarea de la clase]
Enunciado. Si \(x<y\) y \(a>0\), demostrar \(ax<ay\).
Solución. De \(x<y\) se tiene \(y-x\in\mathbb R_+^*\); asimismo \(a\in\mathbb R_+^*\). El axioma 7 implica \(a(y-x)\in\mathbb R_+^*\). Por distributividad, \(a(y-x)=ay-ax\), y por definición \(ax<ay\). \(\square\)
Ejercicio 6. Producto de desigualdades — [Tarea de la clase]
Enunciado. Demostrar que \(0<x<y\) y \(0<u<v\) implican \(xu<yv\).
Solución. Se calcula la diferencia
\[ \begin{aligned} yv-xu&=yv-xv+xv-xu\\ &=(y-x)v+x(v-u). \end{aligned} \]
Por las hipótesis, \(y-x\), \(v\), \(x\) y \(v-u\) son estrictamente positivos. Cada producto del último miembro es positivo, y la suma de ambos también, por el axioma 7. Así \(yv-xu>0\) y \(xu<yv\). La inserción de \(-xv+xv=0\) es exactamente la técnica «ni quita ni pone» de la cátedra. \(\square\)
Ejercicio 7. Producto de un positivo por un negativo — [Tarea de la clase]
Enunciado. Si \(x>0\) y \(y<0\), demostrar \(xy<0\).
Solución. \(x\in\mathbb R_+^*\) y \(-y\in\mathbb R_+^*\). Por clausura, \(x(-y)\in\mathbb R_+^*\). Como \(x(-y)=-(xy)\), el opuesto del producto es positivo y, por la tricotomía y la definición, \(xy<0\). \(\square\)
Ejercicio 8. Producto de dos negativos — [Tarea de la clase]
Enunciado. Si \(x<0\) e \(y<0\), demostrar \(xy>0\).
Solución. Los opuestos \(-x\) y \(-y\) son positivos. Su producto pertenece a \(\mathbb R_+^*\); por las reglas de signos, \((-x)(-y)=xy\). Por tanto \(xy>0\). \(\square\)
Ejercicio 9. Recíprocos y signo — [Tarea de la clase]
Enunciado. Si \(x\ne0\), demostrar que \(x^{-1}\) tiene el mismo signo que \(x\).
Solución. Primero, \(x^{-1}\ne0\) porque \(xx^{-1}=1\). Por el teorema de los cuadrados, \((x^{-1})^2>0\). La identidad
\[ x^{-1}=(x^{-1})^2x \]
expresa el recíproco como producto de un número positivo por \(x\). La regla de signos demuestra ambos casos: \(x>0\Rightarrow x^{-1}>0\) y \(x<0\Rightarrow x^{-1}<0\). \(\square\)
Ejercicio 10. Inecuación con coeficiente negativo — [Tarea de la clase]
Enunciado. Resolver \(-3x+6<0\).
Solución. Restamos \(6\) a ambos lados: \(-3x<-6\). Multiplicamos por \(-\frac13\), que es negativo, e invertimos el sentido:
\[ -3x<-6\iff x>2. \]
El conjunto solución es \((2,+\infty)\). Verificación: \(x=3\) da \(-3<0\), mientras que \(x=1\) da \(3>0\). El punto de corte \(c=2\) queda excluido por la desigualdad estricta. \(\square\)
Ejercicio 11. Las cuatro variantes de una expresión — [Práctica adicional]
Enunciado. Resolver \(2x-8<0\), \(2x-8\le0\), \(2x-8>0\) y \(2x-8\ge0\).
Solución. En cada caso \(2>0\) y el punto de corte es \(c=4\). La resta de \(-8\) equivale a sumar \(8\); dividir por \(2\) conserva el orden. Se obtiene:
\[ \begin{aligned} 2x-8<0&\iff x<4 &&\Rightarrow\quad (-\infty,4),\\ 2x-8\le0&\iff x\le4&&\Rightarrow\quad (-\infty,4],\\ 2x-8>0&\iff x>4 &&\Rightarrow\quad (4,+\infty),\\ 2x-8\ge0&\iff x\ge4&&\Rightarrow\quad [4,+\infty). \end{aligned} \]
La inclusión de \(4\) corresponde exactamente a los casos con igualdad permitida. \(\square\)
Ejercicio 12. Todas las variantes con pendiente negativa — [Tarea de la clase, ampliada]
Enunciado. Resolver \(-2x-4\mathrel{\square}0\) para cada uno de los signos \(<,\le,>,\ge\).
Solución. El punto de corte es \(c=-\frac{-4}{-2}=-2\). Restar la constante equivale a sumar \(4\) y dividir por \(-2\) invierte la dirección. Se obtiene:
\[ \begin{aligned} -2x-4<0&\iff x>-2&&\Rightarrow\quad (-2,+\infty),\\ -2x-4\le0&\iff x\ge-2&&\Rightarrow\quad [-2,+\infty),\\ -2x-4>0&\iff x<-2&&\Rightarrow\quad (-\infty,-2),\\ -2x-4\ge0&\iff x\le-2&&\Rightarrow\quad (-\infty,-2]. \end{aligned} \]
En \(x=-2\) la expresión se anula: \(-2(-2)-4=0\). \(\square\)
Ejercicio 13. Suma de desigualdades y transitividad — [Práctica adicional]
Enunciado. Si \(-1<x<3\) y \(2<u<5\), determinar un intervalo abierto que contenga a \(x+u\).
Solución. De \(-1<x\) y \(2<u\), la suma de desigualdades estrictas da \(1<x+u\). Por otra parte, \(x<3\) y \(u<5\) dan \(x+u<8\). Juntas,
\[ 1<x+u<8\quad\Longleftrightarrow\quad x+u\in(1,8). \]
El intervalo expresa una cota universal bajo las hipótesis; de hecho los extremos se pueden aproximar mediante elecciones de \(x\) y \(u\) próximas a los límites permitidos. \(\square\)
Ejercicio 14. Orden y recíprocos — [Práctica adicional]
Enunciado. Sean \(0<x<y\). Demostrar \(0<y^{-1}<x^{-1}\).
Solución. Los recíprocos \(x^{-1},y^{-1}\) son positivos. Como \(y-x>0\), el producto \((y-x)x^{-1}y^{-1}\) también lo es. Por distributividad y las identidades inversas,
\[ (y-x)x^{-1}y^{-1}=x^{-1}-y^{-1}>0. \]
Esto equivale a \(y^{-1}<x^{-1}\). La positividad de \(y^{-1}\) se obtuvo anteriormente. De esta forma, la operación de tomar recíprocos invierte el orden entre reales estrictamente positivos. \(\square\)
Ejercicio 15. Una inecuación con variable en ambos lados — [Práctica adicional]
Enunciado. Resolver \(4x-7\le x+5\).
Solución. Sumamos \(-x\) y \(7\) en ambos lados, preservando la desigualdad:
\[ 4x-7\le x+5\iff 3x\le12\iff x\le4. \]
En el último paso se multiplicó por \(1/3>0\). El conjunto solución es \((-\infty,4]\). Verificación en el extremo: \(4(4)-7=9\) y \(4+5=9\). \(\square\)
Ejercicio 16. Una inecuación con paréntesis — [Práctica adicional]
Enunciado. Resolver \(-2(3x-1)+4>10\).
Solución. Se distribuye y se reúnen las constantes:
\[ -6x+2+4>10\iff -6x>4\iff x<-\frac23. \]
En el último paso se dividió por \(-6\), por lo cual el sentido se invirtió. El conjunto solución es \((-\infty,-2/3)\). Sustituyendo \(x=-1\) resulta \(-2(-4)+4=12>10\), mientras que el punto \(x=-2/3\) produce igualdad y queda excluido. \(\square\)
Ejercicio 17. Condición con igualdad de frontera — [Práctica adicional]
Enunciado. Resolver simultáneamente \(2x+1\ge0\) y \(3x-6<0\).
Solución. La primera desigualdad da \(x\ge-1/2\) y la segunda \(x<2\). Las dos condiciones deben cumplirse a la vez, de modo que el conjunto solución es la intersección
\[ [-1/2,+\infty)\cap(-\infty,2)=\boxed{[-1/2,2)}. \]
El extremo izquierdo pertenece al conjunto porque admite igualdad; el derecho queda excluido por la desigualdad estricta. \(\square\)
Ejercicio 18. Inecuación degenerada — [Práctica adicional]
Enunciado. Determinar el conjunto solución de \(0x-5<0\) y de \(0x+5<0\).
Solución. El axioma de cuerpo implica \(0x=0\). La primera condición se reduce a \(-5<0\), verdadera para todo real \(x\), de modo que su conjunto solución es \(\mathbb R\). La segunda se reduce a \(5<0\), falsa para todo real \(x\), por lo cual su conjunto solución es \(\varnothing\). El coeficiente principal igual a cero transforma el problema en evaluar una constante. \(\square\)
Solucionario: tareas de la cátedra y ejercicios de consolidación — cátedra 2.2
Los ejercicios P corresponden a propuestas o desarrollos dejados pendientes, relacionados directamente con la clase. Los ejercicios A son ampliaciones de práctica añadidas para consolidar el procedimiento. Cada solución se presenta con su dominio, su método y su conjunto solución.
P1. Resolver todas las variantes del ejemplo principal
Problema. Para \(R(x)=(2x-4)/[x(x-1)]\), resolver \(R(x)<0\), \(R(x)\le0\), \(R(x)>0\) y \(R(x)\ge0\).
Solución. El dominio es \(D=\mathbb R\setminus\{0,1\}\). Las filas de signos obtenidas para los cuatro intervalos son \(-,+,-,+\). El único cero del numerador que está en \(D\) es \(x=2\). Por tanto:
\[ \begin{array}{rcl} R<0 &:& (-\infty,0)\cup(1,2),\\ R\le0 &:& (-\infty,0)\cup(1,2],\\ R>0 &:& (0,1)\cup(2,\infty),\\ R\ge0 &:& (0,1)\cup[2,\infty). \end{array} \]
En particular, \(x=0\) y \(x=1\) quedan excluidos en todos los casos por ser ceros del denominador.
P2. Mantener el dominio al cancelar un factor
Problema. Resolver \(\frac{x-1}{x-1}\ge0\).
Solución. Primero se registra \(D=\mathbb R\setminus\{1\}\). En este dominio, la fracción es igual a \(1\). Puesto que \(1\ge0\), cada \(x\in D\) satisface la condición, y
\[ S=\boxed{(-\infty,1)\cup(1,\infty)}. \]
La reducción de una fracción a \(1\) conserva el dominio bajo el cual tiene sentido.
P3. Resolver una inecuación con factor \(-x\)
Problema. Resolver \(\frac{2x-4}{(-x)(x-1)}\le0\).
Solución. Para \(x\ne0,1\) la expresión es \(-R(x)\), donde \(R\) es la función de P1. Por tanto,
\[ -R(x)\le0\quad\Longleftrightarrow\quad R(x)\ge0. \]
Aplicando P1 obtenemos \(S=(0,1)\cup[2,\infty)\). El mismo resultado sale de la tabla de signos de \(-x\), positiva en \(x<0\) y negativa en \(x>0\).
P4. Una raíz común del numerador y del denominador
Problema. Resolver \(\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+3)}\ge0\).
Solución. El dominio original es \(D=\mathbb R\setminus\{-3,1\}\). Para \(x\in D\),
\[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}. \]
Los puntos críticos relevantes son \(-3\) (denominador), \(1\) (restricción heredada) y \(2\) (cero del numerador reducido). La fracción reducida es positiva para \(x<-3\) y \(x>2\), negativa para \(-3<x<2\). Se incluye \(x=2\) porque produce cero y pertenece al dominio. Así,
\[ S=\boxed{(-\infty,-3)\cup[2,\infty)}. \]
El punto \(x=1\) permanece excluido, aunque se ubica en una zona que de todos modos queda fuera de la solución. Registrar el dominio antes de cancelar sigue siendo indispensable.
P5. Completar cuadrados para una expresión monómica-lineal
Problema. Expresar \(x^2+mx\) como cuadrado perfecto más una constante.
Solución. El término \(mx\) se escribe como \(2(m/2)x\). Se agrega el cuadrado de \(m/2\) y simultáneamente se lo resta:
\[ \begin{aligned} x^2+mx &=x^2+2\frac m2x+\left(\frac m2\right)^2-\left(\frac m2\right)^2\\ &=\boxed{\left(x+\frac m2\right)^2-\frac{m^2}{4}}. \end{aligned} \]
Esta identidad es válida para todo par de reales \(x,m\).
P6. Obtener las raíces y los signos de una cuadrática con \(\Delta>0\)
Problema. Completar el análisis del caso \(\Delta>0\) de \(ax^2+bx+c\), con \(a\ne0\).
Solución (ampliación). De la identidad (C), la condición \(q(x)=0\) equivale a
\[ \left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac\Delta{4a^2}. \]
Admitiendo la raíz positiva de \(\Delta\) se obtienen las dos soluciones
\[ r_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a},\qquad r_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}. \]
Por diferencia de cuadrados, \(q(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\). Ordenando las raíces como \(r_-<r_+\), el producto de los factores es positivo en los intervalos exteriores y negativo entre las raíces. La cuadrática tiene, por consiguiente, el signo de \(a\) en el exterior y el contrario entre sus dos ceros.
P7. Diferenciar las dos preguntas sobre \(u^2=d\)
Problema. Sea \(d>0\). Demostrar que, si hay soluciones reales de \(u^2=d\), son exactamente dos, opuestas entre sí, y que hay a lo sumo una solución no negativa.
Solución. Si \(v^2=d\), entonces \((-v)^2=d\). Puesto que \(d>0\), se tiene \(v\ne0\), por lo que \(v\ne-v\). Ahora, si \(u^2=d=v^2\), la diferencia de cuadrados proporciona
\[ (u-v)(u+v)=0. \]
La ley del producto nulo da \(u=v\) o \(u=-v\). Por tanto, todas las soluciones pertenecen al conjunto \(\{v,-v\}\), y ambos miembros son distintos y soluciones. De ellos, exactamente uno es positivo. La existencia de al menos una solución para cada \(d>0\) corresponde a la completitud de los reales, que el profesor pospone.
P8. Signo de una cuadrática de discriminante negativo
Problema. Justificar el signo de \(3x^2-6x+8\).
Solución. Aquí \(a=3\), \(b=-6\) y \(c=8\). Entonces
\[ \Delta=(-6)^2-4\cdot3\cdot8=36-96=-60<0. \]
Completando cuadrados,
\[ 3x^2-6x+8=3(x-1)^2+5>0 \]
para todo \(x\in\mathbb R\). La última desigualdad se sigue de que \(3(x-1)^2\ge0\) y \(5>0\).
P9. Signo y punto de anulación cuando \(\Delta=0\)
Problema. Analizar \(-2x^2+8x-8\).
Solución. Se factoriza
\[ -2x^2+8x-8=-2(x-2)^2. \]
El único cero es \(x=2\). Para \(x\ne2\), el cuadrado es positivo y su producto con \(-2\) es negativo. Así, la expresión es menor o igual que cero en todo \(\mathbb R\), y estrictamente negativa en \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
P10. Regla de equivalencias y operaciones reversibles
Problema. Explicar por qué la inferencia \(F=G\Rightarrow 0=0\), obtenida multiplicando por cero, constituye una demostración insuficiente de \(F=G\); indicar un procedimiento válido.
Solución. La regla \(F=G\Rightarrow 0=0\) es válida para cualquier par de expresiones \(F,G\), aun cuando sus valores sean distintos. En consecuencia, la conclusión deja abierta la verdad del antecedente. Un procedimiento válido consiste en comenzar con una igualdad conocida y obtener \(F=G\), o en probar \(F-G=0\). También se puede partir de una cadena de equivalencias, siempre que cada transformación sea reversible en el dominio considerado.
A1. Una fracción con tres puntos críticos
Problema. Resolver \(\frac{(x+2)(x-3)}{x-1}<0\).
Solución. El dominio exige \(x\ne1\). Los puntos críticos ordenados son \(-2,1,3\). La tabla por factores es
| Intervalo | \(x+2\) | \(x-3\) | \(x-1\) | Cociente |
|---|---|---|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \((-2,1)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \((1,3)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \((3,\infty)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Al ser estricta la desigualdad, se seleccionan los intervalos negativos con extremos abiertos: \(S=(-\infty,-2)\cup(1,3)\).
A2. Multiplicidades pares e impares
Problema. Resolver \(\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-3)^3}\ge0\).
Solución. El dominio es \(x\ne3\). Los puntos críticos son \(-2,1,3\). La multiplicidad dos de \(x-1\) conserva el signo al cruzar \(1\) y el exponente tres de \(x-3\) lo invierte al cruzar \(3\). Para \(x<-2\), \((x+2)<0\) y \((x-3)^3<0\), luego el cociente es positivo; para \(-2<x<3\) es negativo salvo en \(x=1\), donde vale cero; para \(x>3\) es positivo. Los ceros admisibles \(-2\) y \(1\) se incorporan. Así,
\[ S=\boxed{(-\infty,-2]\cup\{1\}\cup(3,\infty)}. \]
A3. Un factor cuadrático siempre positivo
Problema. Resolver \(\frac{(x^2+4)(x-2)}{x+1}\le0\).
Solución. Para todo real, \(x^2+4>0\). Por lo tanto, el signo depende de \((x-2)/(x+1)\) y el dominio es \(x\ne-1\). Esta fracción es positiva en \((-\infty,-1)\), negativa en \((-1,2)\) y positiva en \((2,\infty)\). Puesto que se permite el cero en \(x=2\),
\[ S=\boxed{(-1,2]}. \]
A4. Una cuadrática con dos raíces reales
Problema. Resolver \(x^2-5x+6\le0\).
Solución. Se factoriza \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). El coeficiente principal es positivo y las raíces ordenadas son \(2<3\). Por la tabla del caso \(\Delta>0\), la cuadrática es negativa entre las raíces y vale cero en ellas. De ahí
\[ S=\boxed{[2,3]}. \]
A5. Una cuadrática con discriminante cero en denominador
Problema. Resolver \(\frac{x+1}{(x-2)^2}>0\).
Solución. El dominio es \(x\ne2\). En él, \((x-2)^2>0\), así que el cociente tiene el signo de \(x+1\). Se requiere \(x>-1\) y también \(x\ne2\). El punto \(-1\) queda excluido por ser desigualdad estricta. En conclusión,
\[ S=\boxed{(-1,2)\cup(2,\infty)}. \]
A6. Una racional con factor común conservado en el dominio
Problema. Resolver \(\frac{(x-1)^2}{x-1}\le0\).
Solución. El dominio es \(x\ne1\). En ese dominio, el cociente coincide con \(x-1\). Se requiere \(x-1\le0\), es decir, \(x\le1\), manteniendo \(x\ne1\). Por tanto,
\[ S=\boxed{(-\infty,1)}. \]
A7. Una cuadrática negativa en todo su dominio
Problema. Resolver \(-x^2-4x-7<0\).
Solución. Al completar cuadrados se obtiene
\[ -x^2-4x-7=-\bigl((x+2)^2+3\bigr)<0 \]
para todo real. El conjunto solución es \(S=\mathbb R\). También se obtiene con \(\Delta=(-4)^2-4(-1)(-7)=-12<0\) y coeficiente principal \(a=-1<0\).
A8. Una ecuación cuadrática y el sentido de la raíz
Problema. Resolver \(x^2=9\) y evaluar \(\sqrt9\).
Solución. La factorización \(x^2-9=(x-3)(x+3)=0\) da \(x=3\) o \(x=-3\). La raíz cuadrada principal es la solución no negativa: \(\sqrt9=3\). La notación \(\pm3\) designa el conjunto de ambas soluciones, mientras que \(\sqrt9\) designa un único real.
A9. Inecuación con valor absoluto
Problema. Resolver \(|3x+2|<7\).
Solución. La caracterización del valor absoluto para radio \(7>0\) transforma la condición en
\[ -7<3x+2<7. \]
Se resta \(2\) a los tres miembros y se divide por \(3>0\):
\[ -9<3x<5\quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<\frac53. \]
La solución es \(S=\boxed{(-3,5/3)}\). Los extremos son abiertos porque la desigualdad es estricta.
Este capítulo pertenece a la edición temática no oficial del curso IC2021. Índice del libro · Fuentes y concordancia.