Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 30: Teoremas de isomorfía superiores y correspondencia
30.0. Propósito y posición deductiva
El capítulo 29 estableció las propiedades universales de productos, cocientes y cuerpo de fracciones. En este capítulo, los primeros teoremas de isomorfía para grupos y anillos, junto con las propiedades universales de los cocientes, permiten organizar los resultados superiores de isomorfía.
El desarrollo sigue, para grupos y anillos, una misma secuencia: construcción de las combinaciones de subestructuras, segundo teorema de isomorfía, correspondencia y tercer teorema de isomorfía.
Los subanillos conservan la convención unital del tratado; los ideales se consideran bilaterales y mantienen su tipo propio. Las construcciones generales de descenso y transporte de estructura se desarrollan en el capítulo 31.
30.6. Producto de subconjuntos de un grupo
Definición 30.6.1 — Producto de subconjuntos de un grupo
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo y sean \(A,B\subseteq G\). Definimos el producto de los subconjuntos \(A\) y \(B\) por
\[ \boxed{ AB := \{x\in G:\exists a\in A\,\exists b\in B,\ x=a\star b\}. } \tag{1} \]
Equivalentemente, en notación descriptiva,
\[ AB=\{a\star b:a\in A,\ b\in B\}. \tag{2} \]
La definición (1) es la conjuntista canónica: \(AB\) existe por Separación aplicada a \(G\). El cierre de la operación del grupo garantiza que todo producto \(a\star b\) con \(a,b\in G\) pertenece nuevamente a \(G\).
En particular, para todo \(x\in G\),
\[ \boxed{ x\in AB \iff \exists a\in A\,\exists b\in B,\ x=a\star b. } \tag{3} \]
No se exige que \(A\) ni \(B\) sean no vacíos. Si alguno de los dos es vacío, entonces \(AB=\varnothing\) por (3).
Alcance de la definición. La escritura \(AB\) denota un subconjunto de \(G\). No afirma que \(AB\) determine un subgrupo, no implica \(AB=BA\) y no identifica \(AB\) con el producto cartesiano \(A\times B\). Esas propiedades, cuando correspondan bajo hipótesis adicionales, deberán demostrarse en resultados posteriores.
Uso del producto de subconjuntos. Para subgrupos \(H,N\le G\), la expresión \(HN\) queda desde ahora bien formada como producto de subconjuntos. La normalidad de \(N\) y el hecho de que \(HN\) sea un subgrupo no forman parte de esta definición.
30.8. El producto de un subgrupo por un subgrupo normal es un subgrupo
Proposición 30.8.1 — El producto de un subgrupo por un subgrupo normal es un subgrupo
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo. Sean \(H,N\subseteq G\) tales que \(H\) determina un subgrupo de \(\mathcal G\) y \(N\) determina un subgrupo normal de \(\mathcal G\).
Entonces el producto de subconjuntos
\[ HN = \{h\star n:h\in H,\ n\in N\} \]
determina un subgrupo de \(\mathcal G\).
Demostración
Aplicaremos el criterio constructivo de subgrupo Lema 6.4.4.
1. Habitabilidad de \(HN\). Como \(H\) y \(N\) son subgrupos, ambos contienen el neutro ambiente \(e_{\mathcal G}\). Por tanto
\[ e_{\mathcal G} = e_{\mathcal G}\star e_{\mathcal G} \in HN. \]
Así, \(HN\) está habitado con un testigo explícito.
2. Preparación del inverso de un producto. Sean
\[ x,y\in HN. \]
Por la Definición 30.6.1 existen, localmente,
\[ h_1,h_2\in H, \qquad n_1,n_2\in N \]
tales que
\[ x=h_1\star n_1, \qquad y=h_2\star n_2. \tag{1} \]
Afirmamos que
\[ y^{-1}=n_2^{-1}\star h_2^{-1}. \tag{2} \]
En efecto,
\[ \begin{aligned} (h_2\star n_2)\star(n_2^{-1}\star h_2^{-1}) &= h_2\star(n_2\star n_2^{-1})\star h_2^{-1}\\ &= h_2\star e_{\mathcal G}\star h_2^{-1}\\ &= e_{\mathcal G}, \end{aligned} \]
y, en el orden inverso,
\[ \begin{aligned} (n_2^{-1}\star h_2^{-1})\star(h_2\star n_2) &= n_2^{-1}\star(h_2^{-1}\star h_2)\star n_2\\ &= n_2^{-1}\star e_{\mathcal G}\star n_2\\ &= e_{\mathcal G}. \end{aligned} \]
Luego \(n_2^{-1}\star h_2^{-1}\) es un inverso bilateral de \(y\); por la unicidad de Proposición 4.1.2, se obtiene (2).
3. Cierre bajo \(x\star y^{-1}\). Como \(N\) es subgrupo,
\[ m:=n_1\star n_2^{-1}\in N. \tag{3} \]
La normalidad de \(N\) en \(G\) implica, aplicada a \(h_2\in G\) y \(m\in N\),
\[ c:=h_2\star m\star h_2^{-1}\in N. \tag{4} \]
Además, como \(H\) es subgrupo,
\[ h:=h_1\star h_2^{-1}\in H. \tag{5} \]
Usando (1)–(5) y asociatividad,
\[ \begin{aligned} x\star y^{-1} &= (h_1\star n_1)\star(n_2^{-1}\star h_2^{-1})\\ &= h_1\star(n_1\star n_2^{-1})\star h_2^{-1}\\ &= h_1\star m\star h_2^{-1}\\ &= (h_1\star h_2^{-1}) \star (h_2\star m\star h_2^{-1})\\ &= h\star c. \end{aligned} \]
Por (4), \(c\in N\), y por (5), \(h\in H\). La definición de producto de subconjuntos da entonces
\[ x\star y^{-1}\in HN. \]
Hemos demostrado que \(HN\) está habitado y que
\[ \forall x,y\in HN, \qquad x\star y^{-1}\in HN. \]
Por Lema 6.4.4, \(HN\) determina un subgrupo de \(\mathcal G\). \(\square\)
Punto estructural. La normalidad de \(N\) interviene exactamente al reordenar el factor \(m\in N\) a través de \(h_2^{-1}\). Sin esa hipótesis, el producto conjuntista de dos subgrupos no tiene por qué ser un subgrupo.
Lectura fundacional. Los representantes \(h_i,n_i\) se eliminan sólo localmente desde las pertenencias \(x,y\in HN\); no se elige una familia global de descomposiciones. La prueba no usa el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva.
30.10. Normalidad de \(N\) en \(HN\) y de \(H\cap N\) en \(H\)
Proposición 30.10.1 — Normalidad de \(N\) en \(HN\) y de \(H\cap N\) en \(H\)
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo. Sean \(H,N\subseteq G\) tales que \(H\) determina un subgrupo de \(\mathcal G\) y \(N\trianglelefteq G\). Entonces:
- \(N\) determina un subgrupo normal del grupo inducido sobre \(HN\); en particular, \[ \boxed{N\trianglelefteq HN.} \]
- \(H\cap N\) determina un subgrupo normal del grupo inducido sobre \(H\); en particular, \[ \boxed{H\cap N\trianglelefteq H.} \]
Demostración
Por Proposición 30.8.1, el subconjunto \(HN\) determina un subgrupo de \(\mathcal G\); por tanto dispone de la estructura de grupo inducida por restricción.
1. \(N\trianglelefteq HN\)
Primero verificamos que \(N\subseteq HN\). Sea \(n\in N\). Como \(H\) es subgrupo,
\[ e_{\mathcal G}\in H, \]
y
\[ n=e_{\mathcal G}\star n. \]
Por la Definición 30.6.1,
\[ n\in HN. \]
Así,
\[ N\subseteq HN. \tag{1} \]
Debemos comprobar que \(N\) determina un subgrupo del grupo inducido sobre \(HN\). El conjunto \(N\) está habitado por \(e_{\mathcal G}\). Si \(a,b\in N\), como \(N\) es subgrupo de \(G\),
\[ a\star b^{-1}\in N. \]
Por (1), este elemento pertenece también a \(HN\). Aplicando Lema 6.4.4 al grupo inducido sobre \(HN\), concluimos que \(N\) determina un subgrupo de \(HN\).
Resta la estabilidad por conjugación. Sean
\[ x\in HN, \qquad n\in N. \]
Como \(HN\subseteq G\), tenemos \(x\in G\). La hipótesis \(N\trianglelefteq G\) y Definición 10.1.1 dan
\[ (x\star n)\star x^{-1}\in N. \]
Las operaciones e inversos del grupo inducido sobre \(HN\) son las restricciones de los del grupo ambiente, de modo que ésta es exactamente la condición de normalidad dentro de \(HN\). Por Definición 10.1.1,
\[ N\trianglelefteq HN. \]
2. \(H\cap N\trianglelefteq H\)
El conjunto
\[ H\cap N = \{x\in H:x\in N\} \]
existe por Separación aplicada a \(H\).
Como \(H\) y \(N\) son subgrupos,
\[ e_{\mathcal G}\in H\cap N, \]
por lo que la intersección está habitada. Sean ahora \(a,b\in H\cap N\). Entonces \(a,b\in H\) y \(a,b\in N\). Del cierre de ambos subgrupos se sigue simultáneamente
\[ a\star b^{-1}\in H \]
y
\[ a\star b^{-1}\in N. \]
Por tanto,
\[ a\star b^{-1}\in H\cap N. \]
Aplicando Lema 6.4.4 al grupo inducido sobre \(H\), concluimos que \(H\cap N\) determina un subgrupo de \(H\).
Finalmente, sean
\[ h\in H, \qquad x\in H\cap N. \]
Como \(x\in N\), \(h\in H\subseteq G\) y \(N\trianglelefteq G\),
\[ (h\star x)\star h^{-1}\in N. \tag{2} \]
Por otra parte, \(h,x\in H\) y \(H\) es subgrupo, así que \(h^{-1}\in H\) y el cierre bajo \(\star\) da
\[ (h\star x)\star h^{-1}\in H. \tag{3} \]
De (2) y (3),
\[ (h\star x)\star h^{-1}\in H\cap N. \]
Por Definición 10.1.1,
\[ H\cap N\trianglelefteq H. \]
Quedan demostradas ambas afirmaciones. \(\square\)
Punto estructural. Las dos normalidades se heredan de la misma hipótesis \(N\trianglelefteq G\), pero por mecanismos distintos: \(N\trianglelefteq HN\) usa la inclusión \(HN\subseteq G\), mientras que \(H\cap N\trianglelefteq H\) combina normalidad en \(G\) con cierre de \(H\).
Lectura fundacional. La intersección se construye por Separación y los testigos usados son explícitos. No se emplea el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva.
30.13. Segundo teorema de isomorfía para grupos
Teorema 30.13.1 — Segundo teorema de isomorfía para grupos
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo, sea \(H\subseteq G\) un subconjunto que determina un subgrupo y sea \(N\trianglelefteq G\). Entonces existe un isomorfismo de grupos
\[ \boxed{ H/(H\cap N)\cong HN/N. } \tag{1} \]
Más precisamente, existe un isomorfismo
\[ \widehat\varphi:H/(H\cap N)\longrightarrow HN/N \]
caracterizado por
\[ \boxed{ \widehat\varphi\bigl(h(H\cap N)\bigr)=hN } \qquad(h\in H). \tag{2} \]
Demostración
Por Proposición 30.8.1, el subconjunto \(HN\) determina un subgrupo de \(\mathcal G\). Por Proposición 30.10.1,
\[ N\trianglelefteq HN \qquad\text{y}\qquad H\cap N\trianglelefteq H. \tag{3} \]
Por tanto los dos cocientes de (1) están bien tipados como grupos. Además, Proposición 12.5.2, aplicado al grupo inducido sobre \(HN\) y al subgrupo normal \(N\), proporciona la proyección canónica
\[ q_N:HN\to HN/N, \]
que es un homomorfismo sobreyectivo y satisface
\[ \ker q_N=N. \tag{4} \]
1. Construcción del morfismo \(\varphi:H\to HN/N\). Primero observamos que
\[ H\subseteq HN. \tag{5} \]
En efecto, si \(h\in H\), entonces \(e_{\mathcal G}\in N\) porque \(N\) es subgrupo, y
\[ h=h\star e_{\mathcal G}\in HN \]
por Definición 30.6.1.
Definamos
\[ \Gamma_\varphi := \{\langle h,C\rangle\in H\times(HN/N):C=q_N(h)\}. \tag{6} \]
Por Separación, \(\Gamma_\varphi\) es un conjunto. Para cada \(h\in H\), (5) permite evaluar \(q_N(h)\), y el valor es único porque \(q_N\) es función. Así (6) es el grafo de una función
\[ \varphi:H\to HN/N, \qquad \varphi(h)=q_N(h)=hN. \tag{7} \]
Sean \(h_1,h_2\in H\). Como la operación del grupo inducido sobre \(H\) es la restricción de la operación de \(G\) y \(q_N\) es un homomorfismo,
\[ \varphi(h_1\star h_2) =q_N(h_1\star h_2) \]
es el producto, en \(HN/N\), de \(q_N(h_1)\) y \(q_N(h_2)\), es decir, de \(\varphi(h_1)\) y \(\varphi(h_2)\). Por Definición 7.4.1, \(\varphi\) es un homomorfismo de grupos.
2. Cálculo del núcleo. Sea \(h\in H\). Usando (4),
\[ \begin{aligned} h\in\ker\varphi &\iff \varphi(h)=e_{HN/N}\\ &\iff q_N(h)=e_{HN/N}\\ &\iff h\in\ker q_N\\ &\iff h\in N. \end{aligned} \tag{8} \]
Como el dominio de \(\varphi\) es \(H\), (8) equivale a
\[ h\in\ker\varphi \iff h\in H\cap N. \]
Por Extensionalidad,
\[ \boxed{\ker\varphi=H\cap N.} \tag{9} \]
3. Sobreyectividad. Sea \(C\in HN/N\). Como \(q_N\) es sobreyectiva, existe \(x\in HN\) tal que
\[ C=q_N(x). \tag{10} \]
Por Definición 30.6.1, de \(x\in HN\) obtenemos localmente \(h\in H\) y \(n\in N\) tales que
\[ x=h\star n. \tag{11} \]
Como \(n\in N=\ker q_N\), tenemos
\[ q_N(n)=e_{HN/N}. \tag{12} \]
Usando la homomorfía de \(q_N\) y (10)–(12),
\[ \begin{aligned} C &=q_N(h\star n)\\ &=q_N(h)\,q_N(n)\\ &=q_N(h)\\ &=\varphi(h). \end{aligned} \]
Por tanto \(\varphi\) es sobreyectiva.
4. Aplicación del primer teorema de isomorfía. La forma sobreyectiva del primer teorema de isomorfía, Corolario 13.2.1, aplicada a \(\varphi\), produce un isomorfismo
\[ \widehat\varphi:H/\ker\varphi\longrightarrow HN/N \]
caracterizado por
\[ \widehat\varphi(h\ker\varphi)=\varphi(h). \tag{13} \]
Sustituyendo (9) en (13) y usando (7), obtenemos
\[ \widehat\varphi\bigl(h(H\cap N)\bigr)=hN, \]
que es exactamente (2). En particular,
\[ H/(H\cap N)\cong HN/N. \]
\(\square\)
Punto estructural. El segundo teorema no exige un nuevo principio general de descenso: el morfismo \(\varphi\) es la restricción concreta de la proyección \(q_N\) al subgrupo \(H\), y el isomorfismo final procede de la forma sobreyectiva del primer teorema.
Lectura fundacional. La función \(\varphi\) se construye por su grafo. Los testigos \(h,n\) usados en la sobreyectividad se eliminan localmente desde la pertenencia \(x\in HN\); no se elige una descomposición para cada elemento de \(HN\). No intervienen el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva nueva.
30.16. Teorema de correspondencia para subgrupos sobre un cociente
Teorema 30.16.1 — Teorema de correspondencia para subgrupos sobre un cociente
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo y sea \(N\trianglelefteq G\). Definamos las familias
\[ \mathscr S_N(G) := \{L\in\mathcal P(G):L\text{ determina un subgrupo de }G\text{ y }N\subseteq L\}, \tag{25} \]
y
\[ \mathscr S(G/N) := \{K\in\mathcal P(G/N):K\text{ determina un subgrupo de }G/N\}. \tag{26} \]
Para \(L\in\mathscr S_N(G)\) escribamos
\[ L/N := \{C\in G/N:\exists \ell\in L,\ C=q_N(\ell)\}, \tag{27} \]
y para \(K\in\mathscr S(G/N)\) definamos
\[ P_K := \{g\in G:q_N(g)\in K\}. \tag{28} \]
Entonces las asignaciones
\[ \Phi_N:\mathscr S_N(G)\to\mathscr S(G/N), \qquad \Phi_N(L)=L/N, \tag{29} \]
y
\[ \Psi_N:\mathscr S(G/N)\to\mathscr S_N(G), \qquad \Psi_N(K)=P_K, \tag{30} \]
son funciones mutuamente inversas. En particular, establecen una biyección entre los subgrupos de \(G\) que contienen \(N\) y los subgrupos de \(G/N\).
Además, para \(L_1,L_2\in\mathscr S_N(G)\),
\[ \boxed{ L_1\subseteq L_2 \iff L_1/N\subseteq L_2/N, } \tag{31} \]
y, para todo \(L\in\mathscr S_N(G)\),
\[ \boxed{ L\trianglelefteq G \iff L/N\trianglelefteq G/N. } \tag{32} \]
La notación \(L/N\) de (27) coincide con el conjunto cociente del grupo inducido sobre \(L\) por \(N\). En efecto, como \(N\subseteq L\), el conjunto \(N\) determina un subgrupo del grupo inducido sobre \(L\); y, si \(\ell\in L\) y \(n\in N\), la normalidad \(N\trianglelefteq G\) da \((\ell\star n)\star\ell^{-1}\in N\), de modo que \(N\trianglelefteq L\). Cada clase del cociente de \(L\) por \(N\) es entonces literalmente la clase lateral \(\ell N=q_N(\ell)\).
Demostración
Por Proposición 12.5.2, la proyección canónica
\[ q_N:G\to G/N, \qquad q_N(g)=gN, \tag{33} \]
es un homomorfismo sobreyectivo y
\[ \ker q_N=N. \tag{34} \]
Las familias (25)–(26) existen por Conjunto Potencia y Separación. Verificaremos primero que (27)–(28) toman valores en las familias declaradas.
1. Si \(L\in\mathscr S_N(G)\), entonces \(L/N\) es subgrupo de \(G/N\). Como \(L\) es subgrupo, \(e_{\mathcal G}\in L\); por tanto
\[ q_N(e_{\mathcal G})\in L/N. \]
Por Proposición 7.4.2, \(q_N(e_{\mathcal G})=e_{G/N}\), de modo que \(L/N\) está habitado.
Sean \(C,D\in L/N\). Por (27) existen localmente \(a,b\in L\) tales que
\[ C=q_N(a), \qquad D=q_N(b). \]
Como \(L\) es subgrupo,
\[ a\star b^{-1}\in L. \]
La homomorfía de \(q_N\) y Proposición 7.4.3 dan
\[ \begin{aligned} CD^{-1} &=q_N(a)q_N(b)^{-1}\\ &=q_N(a)q_N(b^{-1})\\ &=q_N(a\star b^{-1}) \in L/N. \end{aligned} \]
Por Lema 6.4.4, \(L/N\) determina un subgrupo de \(G/N\).
2. Si \(K\in\mathscr S(G/N)\), entonces \(P_K\) es un subgrupo de \(G\) que contiene \(N\). Como \(K\) es subgrupo,
\[ e_{G/N}\in K. \]
La preservación del neutro da
\[ q_N(e_{\mathcal G})=e_{G/N}\in K, \]
por lo que \(e_{\mathcal G}\in P_K\).
Sean \(a,b\in P_K\). Entonces \(q_N(a),q_N(b)\in K\). Como \(K\) es subgrupo,
\[ q_N(a)q_N(b)^{-1}\in K. \]
Por homomorfía y preservación de inversos,
\[ q_N(a\star b^{-1}) = q_N(a)q_N(b)^{-1} \in K. \]
Así \(a\star b^{-1}\in P_K\), y Lema 6.4.4 muestra que \(P_K\) determina un subgrupo de \(G\).
Finalmente, sea \(n\in N\). Por (34), \(n\in\ker q_N\), así que
\[ q_N(n)=e_{G/N}\in K. \]
Por tanto \(n\in P_K\) y
\[ N\subseteq P_K. \tag{35} \]
Esto prueba que las asignaciones (29)–(30) están bien tipadas. Sus grafos existen por Separación aplicada a los productos cartesianos de (25)–(26), y cada entrada posee una única salida porque (27) y (28) determinan subconjuntos únicos. Por consiguiente, \(\Phi_N\) y \(\Psi_N\) son funciones.
3. Primera identidad de saturación. Sea \(L\in\mathscr S_N(G)\). Demostraremos
\[ \boxed{ \Psi_N(\Phi_N(L))=L. } \tag{36} \]
Si \(\ell\in L\), entonces \(q_N(\ell)\in L/N=\Phi_N(L)\), de modo que
\[ \ell\in\Psi_N(\Phi_N(L)). \]
Por tanto
\[ L\subseteq\Psi_N(\Phi_N(L)). \tag{37} \]
Recíprocamente, sea \(g\in\Psi_N(\Phi_N(L))\). Entonces
\[ q_N(g)\in L/N. \]
Por (27), existe localmente \(\ell\in L\) con
\[ q_N(g)=q_N(\ell). \tag{38} \]
Usando la homomorfía y la preservación de inversos,
\[ \begin{aligned} q_N(\ell^{-1}\star g) &=q_N(\ell^{-1})q_N(g)\\ &=q_N(\ell)^{-1}q_N(\ell)\\ &=e_{G/N}. \end{aligned} \]
Por (34),
\[ \ell^{-1}\star g\in N\subseteq L. \tag{39} \]
Como \(\ell\in L\) y \(L\) es subgrupo, el cierre de \(L\) y (39) dan
\[ g = \ell\star(\ell^{-1}\star g) \in L. \]
Así
\[ \Psi_N(\Phi_N(L))\subseteq L. \tag{40} \]
Por Extensionalidad, (37) y (40) producen (36).
4. Segunda identidad de saturación. Sea \(K\in\mathscr S(G/N)\). Demostraremos
\[ \boxed{ \Phi_N(\Psi_N(K))=K. } \tag{41} \]
Si \(C\in\Phi_N(\Psi_N(K))\), existe \(g\in\Psi_N(K)\) con \(C=q_N(g)\). Por la definición de \(\Psi_N(K)\), \(q_N(g)\in K\), luego \(C\in K\). Por tanto
\[ \Phi_N(\Psi_N(K))\subseteq K. \tag{42} \]
Para la inclusión opuesta, sea \(C\in K\). Como \(q_N\) es sobreyectiva, existe localmente \(g\in G\) con
\[ C=q_N(g). \]
Entonces \(q_N(g)\in K\), de modo que \(g\in\Psi_N(K)\) y, por (27),
\[ C\in\Phi_N(\Psi_N(K)). \]
Así
\[ K\subseteq\Phi_N(\Psi_N(K)). \tag{43} \]
y Extensionalidad da (41).
Las identidades (36) y (41) muestran que \(\Phi_N\) y \(\Psi_N\) son mutuamente inversas. Por interfaz funcional de biyectividad e inversas, ambas son biyectivas.
5. Inclusiones. Si \(L_1\subseteq L_2\), la definición (27) implica inmediatamente
\[ L_1/N\subseteq L_2/N. \]
Recíprocamente, si \(L_1/N\subseteq L_2/N\), entonces la definición (28) da
\[ \Psi_N(L_1/N)\subseteq\Psi_N(L_2/N). \]
Aplicando (36) a \(L_1\) y \(L_2\) obtenemos
\[ L_1\subseteq L_2. \]
Queda demostrada (31).
6. Preservación de la normalidad. Supongamos \(L\trianglelefteq G\). Sean
\[ C\in G/N, \qquad D\in L/N. \]
Por la sobreyectividad de \(q_N\) existe localmente \(g\in G\) con \(C=q_N(g)\); por (27) existe localmente \(\ell\in L\) con \(D=q_N(\ell)\). Entonces
\[ \begin{aligned} CDC^{-1} &= q_N(g)q_N(\ell)q_N(g)^{-1}\\ &= q_N\bigl((g\star\ell)\star g^{-1}\bigr). \end{aligned} \]
Como \(L\trianglelefteq G\),
\[ (g\star\ell)\star g^{-1}\in L, \]
y por (27) la última clase pertenece a \(L/N\). Así \(L/N\) es estable bajo conjugación por elementos de \(G/N\). Como ya es subgrupo, Definición 10.1.1 da
\[ L/N\trianglelefteq G/N. \tag{44} \]
7. Reflexión de la normalidad. Supongamos ahora
\[ L/N\trianglelefteq G/N. \]
Sean \(g\in G\) y \(\ell\in L\). Por normalidad en el cociente,
\[ q_N(g)q_N(\ell)q_N(g)^{-1} \in L/N. \]
La homomorfía y la preservación de inversos transforman esta pertenencia en
\[ q_N\bigl((g\star\ell)\star g^{-1}\bigr) \in L/N. \]
Por (36), la preimagen de \(L/N\) bajo \(q_N\) es exactamente \(L\). Por tanto
\[ (g\star\ell)\star g^{-1}\in L. \]
Como \(g\) y \(\ell\) eran arbitrarios, Definición 10.1.1 concluye
\[ L\trianglelefteq G. \tag{45} \]
Las implicaciones (44)–(45) prueban (32). \(\square\)
Punto estructural. La correspondencia no es sólo una biyección de colecciones: identifica exactamente los subgrupos saturados respecto de \(q_N\) con los subgrupos del cociente, conserva y refleja inclusión, y conserva y refleja normalidad.
Lectura fundacional. Las familias de subgrupos son conjuntos por Potencia y Separación. Las imágenes y preimágenes utilizadas son subconjuntos definidos por Separación, y los representantes de clases se usan sólo mediante eliminación existencial local. No se elige una familia global de representantes y no interviene el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva nueva.
30.18. Tercer teorema de isomorfía para grupos
Teorema 30.18.1 — Tercer teorema de isomorfía para grupos
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo y sean \(N,H\subseteq G\) tales que
\[ N\subseteq H, \qquad N\trianglelefteq G, \qquad H\trianglelefteq G. \tag{46} \]
Entonces
\[ H/N\trianglelefteq G/N \tag{47} \]
y existe un isomorfismo de grupos
\[ \boxed{ (G/N)/(H/N)\cong G/H. } \tag{48} \]
Más precisamente, existe un isomorfismo
\[ \widehat\rho:(G/N)/(H/N)\longrightarrow G/H \]
caracterizado por
\[ \boxed{ \widehat\rho\bigl((gN)(H/N)\bigr)=gH } \qquad(g\in G). \tag{49} \]
Demostración
Por Teorema 30.16.1, la correspondencia de subgrupos sobre el cociente por \(N\) preserva y refleja normalidad. Como \(N\subseteq H\) y \(H\trianglelefteq G\), obtenemos inmediatamente
\[ H/N\trianglelefteq G/N, \]
que es (47).
Consideremos ahora las proyecciones canónicas
\[ q_N:G\to G/N, \qquad q_H:G\to G/H. \]
Por Proposición 12.5.2, ambas son homomorfismos sobreyectivos y
\[ \ker q_N=N, \qquad \ker q_H=H. \tag{50} \]
Como \(N\subseteq H=\ker q_H\), la propiedad universal del cociente de grupos Teorema 29.29.1, aplicada al homomorfismo \(q_H\), proporciona un único homomorfismo
\[ \rho:G/N\to G/H \tag{51} \]
tal que
\[ \rho\circ q_N=q_H. \tag{52} \]
Además, para todo \(g\in G\),
\[ \boxed{ \rho(gN)=gH. } \tag{53} \]
1. Sobreyectividad de \(\rho\). Sea \(D\in G/H\). Como \(q_H\) es sobreyectiva, existe localmente \(g\in G\) tal que
\[ D=q_H(g). \]
Usando (52),
\[ D=q_H(g)=\rho(q_N(g)). \]
Por tanto \(\rho\) es sobreyectiva.
2. Cálculo del núcleo. Sea \(C\in G/N\). Por la sobreyectividad de \(q_N\), existe localmente \(g\in G\) tal que
\[ C=q_N(g)=gN. \tag{54} \]
Entonces, usando (52) y (50),
\[ \begin{aligned} C\in\ker\rho &\iff \rho(C)=e_{G/H}\\ &\iff \rho(q_N(g))=e_{G/H}\\ &\iff q_H(g)=e_{G/H}\\ &\iff g\in\ker q_H\\ &\iff g\in H. \end{aligned} \tag{55} \]
Por la identidad de saturación demostrada en Teorema 30.16.1, bajo la hipótesis \(N\subseteq H\),
\[ g\in H \iff q_N(g)\in H/N. \tag{56} \]
Combinando (54)–(56),
\[ C\in\ker\rho \iff C\in H/N. \]
Como \(C\in G/N\) era arbitrario, por Extensionalidad,
\[ \boxed{ \ker\rho=H/N. } \tag{57} \]
3. Aplicación del primer teorema de isomorfía. El homomorfismo \(\rho\) es sobreyectivo y, por (57), su núcleo es \(H/N\). La forma sobreyectiva del primer teorema de isomorfía, Corolario 13.2.1, produce un isomorfismo
\[ \widehat\rho:(G/N)/\ker\rho\longrightarrow G/H \]
caracterizado por
\[ \widehat\rho\bigl(C\ker\rho\bigr)=\rho(C). \tag{58} \]
Sustituyendo \(\ker\rho=H/N\) y tomando \(C=gN\), (53) y (58) dan
\[ \widehat\rho\bigl((gN)(H/N)\bigr)=gH. \]
Ésta es exactamente la fórmula (49), y en particular obtenemos (48). \(\square\)
Punto estructural. El tercer teorema combina dos mecanismos ya establecidos: la correspondencia identifica \(H/N\) como subgrupo normal del primer cociente y la propiedad universal de \(q_N\) hace descender la proyección \(q_H\). El primer teorema de isomorfía se aplica sólo al homomorfismo concreto resultante.
Lectura fundacional. La representación \(C=q_N(g)\) se usa únicamente de forma local a partir de la sobreyectividad de \(q_N\); no se elige un representante para cada clase de \(G/N\). No intervienen el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva nueva.
30.21. Suma de un subanillo y un ideal
Definición 30.21.1 — Suma de un subanillo y un ideal
Sea
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
un anillo, sea \(S\subseteq R\) un subconjunto que determina un subanillo de \(\mathcal R\) y sea \(I\subseteq R\) un ideal bilateral de \(R\). Definimos la suma del subanillo \(S\) y el ideal \(I\) por
\[ \boxed{ S+I := \{x\in R:\exists s\in S\,\exists i\in I,\ x=s+i\}. } \tag{64} \]
Equivalentemente, en notación descriptiva,
\[ S+I=\{s+i:s\in S,\ i\in I\}. \tag{65} \]
La forma (64) es la definición conjuntista canónica. El conjunto \(S+I\) existe por Separación aplicada al conjunto ambiente \(R\). Si \(s\in S\) e \(i\in I\), entonces \(s,i\in R\) y la clausura de la suma del anillo garantiza
\[ s+i\in R, \]
de modo que la descripción (65) está bien tipada.
En particular, para todo \(x\in R\),
\[ \boxed{ x\in S+I \iff \exists s\in S\,\exists i\in I,\ x=s+i. } \tag{66} \]
La definición no selecciona una descomposición privilegiada de cada elemento de \(S+I\). Cuando posteriormente se use \(x\in S+I\), los testigos \(s\in S\) e \(i\in I\) de (66) se introducirán únicamente de manera local.
Alcance de la definición. La escritura \(S+I\) denota por ahora sólo un subconjunto de \(R\). No afirma todavía que \(S+I\) determine un subanillo, que \(I\) sea ideal del anillo inducido sobre \(S+I\) ni que \(S\cap I\) sea ideal del anillo inducido sobre \(S\). Esas propiedades se demuestran en la Proposición 30.23.1.
Convención unital preservada. El ideal \(I\) no se reinterpreta como subanillo. La hipótesis de subanillo unital recae exclusivamente sobre \(S\); la bilateralidad de \(I\) se mantiene en el sentido de Definición 18.1.1.
30.23. Estructura de \(S+I\) e idealidad de \(I\) y \(S\cap I\)
Proposición 30.23.1 — Estructura de \(S+I\) e idealidad de \(I\) y \(S\cap I\)
Sea
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
un anillo, sea \(S\subseteq R\) un subconjunto que determina un subanillo de \(\mathcal R\) y sea \(I\subseteq R\) un ideal bilateral de \(R\). Entonces:
- \(S+I\) determina un subanillo unital de \(\mathcal R\);
- \(I\) determina un ideal bilateral del anillo inducido sobre \(S+I\);
- \(S\cap I\) determina un ideal bilateral del anillo inducido sobre \(S\).
Demostración
1. \(S+I\) es un subanillo unital de \(R\)
Aplicaremos el criterio de subanillo unital Teorema 17.1.3.
Como \(S\) es subanillo, \(1_R\in S\). Como \(I\) es un ideal, su estructura aditiva es un subgrupo y, por tanto, \(0_R\in I\). Luego
\[ 1_R=1_R+0_R\in S+I. \tag{67} \]
Sean ahora \(x,y\in S+I\). Por Definición 30.21.1 existen localmente
\[ s,t\in S, \qquad i,j\in I \]
tales que
\[ x=s+i, \qquad y=t+j. \tag{68} \]
Como el grupo aditivo de un anillo es abeliano, las leyes de grupo permiten reagrupar y reordenar términos, y obtenemos
\[ x-y=(s-t)+(i-j). \tag{69} \]
El subconjunto \(S\) determina un subgrupo aditivo, de modo que \(s-t\in S\). El ideal \(I\) determina también un subgrupo aditivo, de modo que \(i-j\in I\). Por la definición de \(S+I\),
\[ x-y\in S+I. \tag{70} \]
Para el producto, la distributividad del anillo da
\[ \begin{aligned} xy &=(s+i)(t+j)\\ &=st+sj+it+ij. \end{aligned} \tag{71} \]
Como \(S\) es subanillo, \(st\in S\). Además, \(s,t,i,j\in R\) y \(I\) es bilateral, luego
\[ sj\in I, \qquad it\in I, \qquad ij\in I. \]
El cierre aditivo de \(I\) implica
\[ k:=sj+it+ij\in I. \]
Por (71),
\[ xy=st+k\in S+I. \tag{72} \]
Las ecuaciones (67), (70) y (72) verifican las tres condiciones de Teorema 17.1.3. Por tanto, \(S+I\) determina un subanillo unital de \(R\).
2. \(I\) es un ideal bilateral del anillo inducido sobre \(S+I\)
Primero,
\[ I\subseteq S+I. \tag{73} \]
En efecto, si \(i\in I\), entonces \(0_R\in S\) porque \(S\) es subanillo, y
\[ i=0_R+i\in S+I. \]
El conjunto \(I\) está habitado por \(0_R\). Si \(a,b\in I\), entonces \(a-b\in I\) porque \(I\) es un subgrupo del grupo aditivo de \(R\); por (73), \(a-b\in S+I\). Aplicando Lema 6.4.4 al grupo aditivo inducido sobre \(S+I\), concluimos que \(I\) determina un subgrupo aditivo de \(S+I\).
Sean ahora \(x\in S+I\) e \(i\in I\). Como \(S+I\subseteq R\), tenemos \(x\in R\). La bilateralidad de \(I\) en \(R\) da
\[ xi\in I, \qquad ix\in I. \tag{74} \]
Así se cumplen las dos absorciones respecto del anillo inducido sobre \(S+I\). Por Definición 18.1.1, \(I\) es un ideal bilateral de \(S+I\).
3. \(S\cap I\) es un ideal bilateral del anillo inducido sobre \(S\)
La intersección
\[ S\cap I=\{x\in S:x\in I\} \]
existe por Separación aplicada a \(S\).
Como \(0_R\in S\) y \(0_R\in I\),
\[ 0_R\in S\cap I. \]
Sean \(a,b\in S\cap I\). Entonces \(a,b\in S\) y \(a,b\in I\). Por la estructura aditiva de subgrupo de ambos conjuntos,
\[ a-b\in S \qquad\text{y}\qquad a-b\in I, \]
de modo que
\[ a-b\in S\cap I. \]
Por Lema 6.4.4, \(S\cap I\) determina un subgrupo del grupo aditivo inducido sobre \(S\).
Finalmente, sean \(s\in S\) y \(x\in S\cap I\). Como \(S\) es subanillo,
\[ sx\in S, \qquad xs\in S. \]
Como \(x\in I\), \(s\in S\subseteq R\) e \(I\) es ideal bilateral de \(R\),
\[ sx\in I, \qquad xs\in I. \]
Por tanto,
\[ sx\in S\cap I, \qquad xs\in S\cap I. \]
La Definición 18.1.1 concluye que \(S\cap I\) es un ideal bilateral del anillo inducido sobre \(S\).
Quedan demostradas las tres afirmaciones. \(\square\)
Punto estructural. La condición unital sólo interviene en la primera afirmación: \(1_R\in S\) permite exhibir \(1_R=1_R+0_R\in S+I\). Los ideales \(I\) y \(S\cap I\) no se convierten en subanillos unitarios; se mantienen en su tipo propio de ideal bilateral.
Lectura fundacional. Las descomposiciones \(x=s+i\) se eliminan únicamente de manera local desde la pertenencia a \(S+I\). La intersección \(S\cap I\) se obtiene por Separación. No se usa el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva nueva.
30.25. Segundo teorema de isomorfía para anillos
Teorema 30.25.1 — Segundo teorema de isomorfía para anillos
Sea
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
un anillo, sea \(S\subseteq R\) un subconjunto que determina un subanillo unital y sea \(I\subseteq R\) un ideal bilateral. Entonces existe un isomorfismo de anillos
\[ \boxed{ S/(S\cap I)\cong (S+I)/I. } \tag{76} \]
Más precisamente, existe un isomorfismo
\[ \widehat\varphi:S/(S\cap I)\longrightarrow (S+I)/I \]
caracterizado por
\[ \boxed{ \widehat\varphi([s]_{S\cap I})=[s]_I } \qquad(s\in S). \tag{77} \]
Demostración
Por Proposición 30.23.1, el subconjunto \(S+I\) determina un subanillo unital de \(\mathcal R\), \(I\) determina un ideal bilateral del anillo inducido sobre \(S+I\) y \(S\cap I\) determina un ideal bilateral del anillo inducido sobre \(S\). Por tanto ambos cocientes de (76) están bien tipados como anillos.
Además, Proposición 19.4.2, aplicado al anillo inducido sobre \(S+I\) y al ideal \(I\), proporciona la proyección canónica
\[ q_I:S+I\longrightarrow (S+I)/I, \qquad q_I(x)=[x]_I, \tag{78} \]
que es un homomorfismo sobreyectivo de anillos y satisface
\[ \ker q_I=I. \tag{79} \]
1. Construcción del morfismo \(\varphi:S\to (S+I)/I\). Primero observamos que
\[ S\subseteq S+I. \tag{80} \]
En efecto, si \(s\in S\), como \(0_R\in I\),
\[ s=s+0_R\in S+I \]
por Definición 30.21.1.
Definamos
\[ \Gamma_\varphi := \{\langle s,C\rangle\in S\times((S+I)/I):C=q_I(s)\}. \tag{81} \]
Por Separación, \(\Gamma_\varphi\) es un conjunto. Para cada \(s\in S\), (80) permite evaluar \(q_I(s)\), y el valor es único porque \(q_I\) es función. Así (81) es el grafo de una función
\[ \varphi:S\longrightarrow (S+I)/I, \qquad \varphi(s)=q_I(s)=[s]_I. \tag{82} \]
Sean \(s,t\in S\). Como las operaciones del anillo inducido sobre \(S\) son las restricciones de las operaciones de \(R\), y \(q_I\) es un homomorfismo de anillos,
\[ \varphi(s+t) = q_I(s+t) = q_I(s)+q_I(t) = \varphi(s)+\varphi(t), \]
y
\[ \varphi(st) = q_I(st) = q_I(s)q_I(t) = \varphi(s)\varphi(t). \]
Además, el subanillo inducido sobre \(S\) tiene unidad \(1_R\), y
\[ \varphi(1_R)=q_I(1_R)=1_{(S+I)/I}. \]
Por Definición 17.2.1, \(\varphi\) es un homomorfismo de anillos.
2. Cálculo del núcleo. Sea \(s\in S\). Usando (79),
\[ \begin{aligned} s\in\ker\varphi &\iff \varphi(s)=0_{(S+I)/I}\\ &\iff q_I(s)=0_{(S+I)/I}\\ &\iff s\in\ker q_I\\ &\iff s\in I. \end{aligned} \tag{83} \]
Como el dominio de \(\varphi\) es \(S\), (83) equivale a
\[ s\in\ker\varphi \iff s\in S\cap I. \]
Por Extensionalidad,
\[ \boxed{\ker\varphi=S\cap I.} \tag{84} \]
3. Sobreyectividad. Sea \(C\in (S+I)/I\). Como \(q_I\) es sobreyectiva, existe \(x\in S+I\) tal que
\[ C=q_I(x). \tag{85} \]
Por Definición 30.21.1, de \(x\in S+I\) obtenemos localmente \(s\in S\) e \(i\in I\) tales que
\[ x=s+i. \tag{86} \]
Como \(i\in I=\ker q_I\),
\[ q_I(i)=0_{(S+I)/I}. \tag{87} \]
Usando la aditividad de \(q_I\) y (85)–(87),
\[ \begin{aligned} C &=q_I(s+i)\\ &=q_I(s)+q_I(i)\\ &=q_I(s)\\ &=\varphi(s). \end{aligned} \]
Por tanto \(\varphi\) es sobreyectiva.
4. Aplicación del primer teorema de isomorfía. La forma sobreyectiva del primer teorema de isomorfía para anillos, Corolario 20.3.1, aplicada a \(\varphi\), produce un isomorfismo
\[ \widehat\varphi:S/\ker\varphi\longrightarrow (S+I)/I \]
caracterizado por
\[ \widehat\varphi([s]_{\ker\varphi})=\varphi(s). \tag{88} \]
Sustituyendo (84) en (88) y usando (82), obtenemos
\[ \widehat\varphi([s]_{S\cap I})=[s]_I, \]
que es exactamente (77). En particular,
\[ S/(S\cap I)\cong (S+I)/I. \]
\(\square\)
Punto estructural. El segundo teorema de isomorfía para anillos no requiere una teoría general de restricción de morfismos: \(\varphi\) es la restricción concreta de la proyección \(q_I\) al subanillo \(S\), y el isomorfismo final procede de la forma sobreyectiva del primer teorema.
Lectura fundacional. La función \(\varphi\) se construye por su grafo. Los testigos \(s,i\) usados para escribir localmente \(x=s+i\) se eliminan dentro de la prueba de sobreyectividad; no se elige una descomposición para cada elemento de \(S+I\). No intervienen el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva nueva.
30.28. Teorema de correspondencia para ideales sobre un cociente
Teorema 30.28.1 — Teorema de correspondencia para ideales sobre un cociente
Sea
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
un anillo y sea \(I\subseteq R\) un ideal bilateral. Definamos
\[ \mathscr I_I(R) = \{J\in\mathcal P(R):J\text{ es ideal bilateral de }R\text{ e }I\subseteq J\}, \tag{109} \]
y
\[ \mathscr I(R/I) = \{K\in\mathcal P(R/I):K\text{ es ideal bilateral de }R/I\}. \tag{110} \]
Para \(J\in\mathscr I_I(R)\) escribamos
\[ J/I := \{C\in R/I:\exists j\in J,\ C=q_I(j)\}, \tag{111} \]
y para \(K\in\mathscr I(R/I)\) definamos
\[ P_K:=\{r\in R:q_I(r)\in K\}. \tag{112} \]
Entonces
\[ \Phi_I:\mathscr I_I(R)\to\mathscr I(R/I), \qquad \Phi_I(J)=J/I, \tag{113} \]
y
\[ \Psi_I:\mathscr I(R/I)\to\mathscr I_I(R), \qquad \Psi_I(K)=P_K, \tag{114} \]
son funciones mutuamente inversas. En particular, establecen una biyección entre los ideales bilaterales de \(R\) que contienen \(I\) y los ideales bilaterales de \(R/I\).
Además, para \(J_1,J_2\in\mathscr I_I(R)\),
\[ \boxed{ J_1\subseteq J_2 \iff J_1/I\subseteq J_2/I. } \tag{115} \]
La escritura \(J/I\) de (111) significa aquí el ideal imagen de \(J\) dentro de \(R/I\). No se interpreta \(J\) como subanillo unital ni se forma un anillo cociente de \(J\) por \(I\).
Demostración
Por Proposición 19.4.2, la proyección canónica
\[ q_I:R\to R/I, \qquad q_I(r)=[r]_I, \tag{116} \]
es un homomorfismo sobreyectivo de anillos y
\[ \boxed{\ker q_I=I.} \tag{117} \]
Las familias (109)–(110) existen por Conjunto Potencia y Separación.
1. Imagen de un ideal que contiene \(I\). Sea \(J\in\mathscr I_I(R)\). Como \(0_R\in J\) y Proposición 17.2.2 da \(q_I(0_R)=0_{R/I}\), tenemos \(0_{R/I}\in J/I\).
Sean \(C,D\in J/I\). Existen localmente \(a,b\in J\) con \(C=q_I(a)\) y \(D=q_I(b)\). Como \(J\) es subgrupo aditivo, \(a-b\in J\), y
\[ \begin{aligned} C-D &=q_I(a)-q_I(b)\\ &=q_I(a)+q_I(-b)\\ &=q_I(a-b) \in J/I. \end{aligned} \tag{118} \]
Por Lema 6.4.4, \(J/I\) determina un subgrupo del grupo aditivo de \(R/I\).
Sean ahora \(A\in R/I\) y \(C\in J/I\). Por sobreyectividad de \(q_I\) existe localmente \(r\in R\) con \(A=q_I(r)\), y por (111) existe localmente \(j\in J\) con \(C=q_I(j)\). La bilateralidad de \(J\) da \(rj,jr\in J\), y la multiplicatividad de \(q_I\) produce
\[ AC=q_I(rj)\in J/I, \qquad CA=q_I(jr)\in J/I. \tag{119} \]
Por Definición 18.1.1, \(J/I\) es un ideal bilateral de \(R/I\).
2. Preimagen de un ideal del cociente. Sea \(K\in\mathscr I(R/I)\). Como \(0_{R/I}\in K\) y \(q_I(0_R)=0_{R/I}\), se tiene \(0_R\in P_K\).
Si \(a,b\in P_K\), entonces \(q_I(a),q_I(b)\in K\). El cierre aditivo de \(K\) y la preservación de opuestos dan
\[ q_I(a-b)=q_I(a)-q_I(b)\in K, \]
de modo que \(a-b\in P_K\). Por Lema 6.4.4, \(P_K\) es un subgrupo aditivo de \(R\).
Si \(r\in R\) y \(a\in P_K\), la bilateralidad de \(K\) implica
\[ q_I(r)q_I(a)\in K, \qquad q_I(a)q_I(r)\in K. \]
Por multiplicatividad,
\[ q_I(ra),q_I(ar)\in K, \]
y por tanto \(ra,ar\in P_K\). Así Definición 18.1.1 certifica que \(P_K\) es un ideal bilateral de \(R\).
Finalmente, para \(i\in I=\ker q_I\),
\[ q_I(i)=0_{R/I}\in K, \]
por lo que
\[ \boxed{I\subseteq P_K.} \tag{120} \]
Las asignaciones (113)–(114) están, pues, bien tipadas. Sus grafos existen por Separación sobre los productos cartesianos de las familias (109)–(110), y cada entrada posee una única salida porque (111) y (112) determinan subconjuntos únicos.
3. Primera identidad de saturación. Sea \(J\in\mathscr I_I(R)\). Afirmamos
\[ \boxed{\Psi_I(\Phi_I(J))=J.} \tag{121} \]
Si \(j\in J\), entonces \(q_I(j)\in J/I\), luego \(j\in\Psi_I(\Phi_I(J))\). Así
\[ J\subseteq\Psi_I(\Phi_I(J)). \]
Recíprocamente, sea \(r\in\Psi_I(\Phi_I(J))\). Entonces \(q_I(r)\in J/I\), por lo que existe localmente \(j\in J\) con
\[ q_I(r)=q_I(j). \tag{122} \]
La aditividad y la preservación de opuestos dan \(q_I(r-j)=0_{R/I}\). Por (117),
\[ r-j\in I\subseteq J. \]
Como \(j\in J\) y \(J\) es subgrupo aditivo,
\[ r=(r-j)+j\in J. \]
La inclusión recíproca queda probada y Extensionalidad da (121).
4. Segunda identidad de saturación. Sea \(K\in\mathscr I(R/I)\). Afirmamos
\[ \boxed{\Phi_I(\Psi_I(K))=K.} \tag{123} \]
Si \(C\in\Phi_I(\Psi_I(K))\), existe \(r\in\Psi_I(K)\) con \(C=q_I(r)\); por definición de \(\Psi_I\), \(q_I(r)\in K\), luego \(C\in K\).
A la inversa, si \(C\in K\), la sobreyectividad de \(q_I\) proporciona localmente \(r\in R\) con \(C=q_I(r)\). Entonces \(r\in\Psi_I(K)\) y, por (111), \(C\in\Phi_I(\Psi_I(K))\). Extensionalidad da (123).
Las identidades (121) y (123) muestran que \(\Phi_I\) y \(\Psi_I\) son mutuamente inversas. Por interfaz funcional de biyectividad e inversas, ambas son biyectivas.
5. Inclusiones. Si \(J_1\subseteq J_2\), (111) implica inmediatamente \(J_1/I\subseteq J_2/I\). Recíprocamente, si \(J_1/I\subseteq J_2/I\), entonces
\[ \Psi_I(J_1/I)\subseteq\Psi_I(J_2/I). \]
Aplicando (121) a \(J_1\) y \(J_2\) se obtiene \(J_1\subseteq J_2\). Esto prueba (115). \(\square\)
Punto estructural. La correspondencia identifica exactamente los ideales bilaterales de \(R\) saturados respecto de \(q_I\), es decir, los que contienen \(\ker q_I=I\), con los ideales bilaterales del cociente. La identidad (121) es el mecanismo que hace reversible la imagen por la proyección.
Lectura fundacional. Las familias de ideales son conjuntos por Potencia y Separación. Las imágenes y preimágenes se construyen como subconjuntos y los representantes se usan sólo mediante eliminación existencial local. No se selecciona una familia global de representantes y no interviene el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva nueva.
30.30. Tercer teorema de isomorfía para anillos
Teorema 30.30.1 — Tercer teorema de isomorfía para anillos
Sea
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
un anillo y sean \(I,J\subseteq R\) ideales bilaterales tales que
\[ I\subseteq J. \tag{124} \]
Entonces \(J/I\) es un ideal bilateral de \(R/I\) y existe un isomorfismo de anillos
\[ \boxed{ (R/I)/(J/I)\cong R/J. } \tag{125} \]
Más precisamente, existe un isomorfismo
\[ \widehat\rho:(R/I)/(J/I)\longrightarrow R/J \]
caracterizado por
\[ \boxed{ \widehat\rho\bigl([[r]_I]_{J/I}\bigr)=[r]_J } \qquad(r\in R). \tag{126} \]
Demostración
Por Teorema 30.28.1, como \(I\subseteq J\), el ideal imagen \(J/I\) determina un ideal bilateral del anillo cociente \(R/I\). Por tanto el cociente \((R/I)/(J/I)\) está bien tipado.
Consideremos las proyecciones canónicas
\[ q_I:R\longrightarrow R/I, \qquad q_J:R\longrightarrow R/J. \tag{127} \]
Por Proposición 19.4.2, ambas son homomorfismos sobreyectivos de anillos y
\[ \ker q_I=I, \qquad \ker q_J=J. \tag{128} \]
Como \(I\subseteq J=\ker q_J\), la propiedad universal del cociente de anillos, Teorema 29.32.1, aplicada a \(q_J\), proporciona un único homomorfismo de anillos
\[ \rho:R/I\longrightarrow R/J \tag{129} \]
tal que
\[ \rho\circ q_I=q_J. \tag{130} \]
En particular, para todo \(r\in R\),
\[ \boxed{ \rho([r]_I)=[r]_J. } \tag{131} \]
1. Sobreyectividad de \(\rho\). Sea \(D\in R/J\). Como \(q_J\) es sobreyectiva, existe localmente \(r\in R\) tal que
\[ D=q_J(r). \]
Usando (130),
\[ D=q_J(r)=\rho(q_I(r)). \]
Por tanto \(\rho\) es sobreyectiva.
2. Cálculo del núcleo. Sea \(C\in R/I\). Por la sobreyectividad de \(q_I\), existe localmente \(r\in R\) tal que
\[ C=q_I(r)=[r]_I. \tag{132} \]
Entonces, usando (130) y (128),
\[ \begin{aligned} C\in\ker\rho &\iff \rho(C)=0_{R/J}\\ &\iff \rho(q_I(r))=0_{R/J}\\ &\iff q_J(r)=0_{R/J}\\ &\iff r\in\ker q_J\\ &\iff r\in J. \end{aligned} \tag{133} \]
La identidad de saturación de Teorema 30.28.1 da, bajo la hipótesis \(I\subseteq J\),
\[ r\in J \iff q_I(r)\in J/I. \tag{134} \]
Combinando (132)–(134),
\[ C\in\ker\rho \iff C\in J/I. \]
Como \(C\in R/I\) era arbitrario, Extensionalidad produce
\[ \boxed{ \ker\rho=J/I. } \tag{135} \]
3. Aplicación del primer teorema de isomorfía. El homomorfismo \(\rho\) es sobreyectivo y su núcleo es \(J/I\). La forma sobreyectiva del primer teorema de isomorfía para anillos, Corolario 20.3.1, produce un isomorfismo
\[ \widehat\rho:(R/I)/\ker\rho\longrightarrow R/J \]
caracterizado por
\[ \widehat\rho([C]_{\ker\rho})=\rho(C). \tag{136} \]
Sustituyendo \(\ker\rho=J/I\) y tomando \(C=[r]_I\), las ecuaciones (131) y (136) dan
\[ \widehat\rho\bigl([[r]_I]_{J/I}\bigr)=[r]_J. \]
Ésta es exactamente (126), y en particular obtenemos (125). \(\square\)
Punto estructural. El tercer teorema combina tres mecanismos ya establecidos: la correspondencia certifica \(J/I\triangleleft R/I\), la propiedad universal hace descender \(q_J\) a \(R/I\), y el primer teorema de isomorfía se aplica al homomorfismo concreto resultante. La teoría general de descenso se desarrolla en el capítulo 31.
Lectura fundacional. La representación \(C=q_I(r)\) se utiliza sólo localmente a partir de la sobreyectividad de \(q_I\); no se selecciona un representante para cada clase de \(R/I\). No intervienen el axioma de elección ni lógica clásica sustantiva nueva.
30.32. Síntesis estructural
El capítulo completa la secuencia anunciada en §30.0 para grupos y anillos.
En grupos, para un subgrupo \(H\le G\) y un subgrupo normal \(N\trianglelefteq G\), el producto de subconjuntos \(HN\) es un subgrupo y se tienen las normalidades \(N\trianglelefteq HN\) y \(H\cap N\trianglelefteq H\). Esto permite construir el segundo isomorfismo:
\[ H/(H\cap N)\cong HN/N. \]
La correspondencia identifica los subgrupos de \(G\) que contienen \(N\) con los subgrupos de \(G/N\) y preserva y refleja inclusión y normalidad. Cuando además \(N\subseteq H\) y \(H\trianglelefteq G\), se obtiene el tercer isomorfismo:
\[ (G/N)/(H/N)\cong G/H. \]
Los resultados de esta cadena son Definición 30.6.1, Proposición 30.8.1, Proposición 30.10.1, Teorema 30.13.1, Teorema 30.16.1 y Teorema 30.18.1.
En anillos, para un subanillo unital \(S\) de \(R\) y un ideal bilateral \(I\), el conjunto \(S+I\) es un subanillo unital, \(I\) es un ideal bilateral de \(S+I\) y \(S\cap I\) es un ideal bilateral de \(S\). Esto permite construir el segundo isomorfismo:
\[ S/(S\cap I)\cong (S+I)/I. \]
La correspondencia identifica los ideales bilaterales de \(R\) que contienen \(I\) con los ideales bilaterales de \(R/I\) y preserva y refleja inclusión. Si \(I\subseteq J\) son ideales bilaterales de \(R\), se obtiene el tercer isomorfismo:
\[ (R/I)/(J/I)\cong R/J. \]
Los resultados de esta cadena son Definición 30.21.1, Proposición 30.23.1, Teorema 30.25.1, Teorema 30.28.1 y Teorema 30.30.1.
En ambos casos, los morfismos se construyen concretamente como restricciones de proyecciones canónicas o como factores únicos suministrados por las propiedades universales de los cocientes de grupos (Teorema 29.29.1) y anillos (Teorema 29.32.1). La identidad y composición generales de morfismos inducidos, el transporte sistemático de subestructuras y los criterios generales de isomorfía inducida se estudian en el capítulo 31.
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