Apéndice A. Modelos y contraejemplos
Un contraejemplo controla un paso preciso: muestra que ciertas hipótesis admiten un caso en el que una conclusión propuesta falla. Para usarlo hay que conservar el modelo, las hipótesis satisfechas y la propiedad que falta. No toda advertencia demuestra independencia axiomática, ni toda falta de construcción equivale a imposibilidad.
Este apéndice organiza los 22 nodos TF-CEX existentes por la pregunta que ayudan a resolver. No añade contraejemplos ni sustituye sus demostraciones. Cada ficha conserva ID y localizador, identifica el testigo y enlaza el manuscrito fuente. Los números A.1–A.22 son localizadores del catálogo; no nuevos IDs matemáticos.
Mapa de consulta por problema
| Grupo | Pregunta que se quiere controlar | Fichas |
|---|---|---|
| I. Observación y puntos | ¿Los puntos globales separan, se levantan o bastan como sondas? | A.1, A.13, A.21 |
| II. Clasificación y lógica | ¿Las estructuras disponibles proporcionan clasificador, complemento o etiqueta universal? | A.2, A.6, A.7 |
| III. Selección y extensión estructural | ¿La existencia o extensión respeta la estructura requerida? | A.3, A.4, A.17 |
| IV. Contratos efectivos | ¿Se conservan decisión, dominio, terminación y traducción computable? | A.5, A.8–A.12, A.19 |
| V. Identidad y coherencia de representaciones | ¿Códigos, interpretaciones, familias y colímites tienen la propiedad adicional reclamada? | A.14–A.16, A.18, A.20, A.22 |
Convenciones. “c.e.” significa computablemente enumerable. Un programa de parada exacta termina precisamente en el dominio; un realizador bajo promesa sólo debe satisfacer el contrato en los nombres admisibles. Set designa conjuntos y funciones; Pos, órdenes parciales y mapas monótonos; Grp, grupos y homomorfismos. La categoría de espacios topológicos se escribe con su nombre para no confundirla con Top, abreviatura del marco de topos en la matriz del capítulo 17.
Catálogo por localizador estable
A.1. Puntos globales insuficientes
TF-CEX-00001 · §2.3.1 · Grupo I. Fuente: capítulo 2, contraejemplo 2.3.1.
Modelo y testigo. En \(C_2\)-Set, el objeto de dos elementos intercambiados por la acción no tiene puntos fijos. Su identidad y la transposición son flechas equivariantes distintas, pero coinciden sobre todos los puntos globales, porque no hay ninguno.
Paso que falla. Tener terminal, productos y exponenciales no hace del terminal un generador. No se puede deducir igualdad de flechas a partir de puntos globales sin la hipótesis separadora.
Lectura relacionada. TF-THM-00007 y TF-THM-00009 distinguen separación por puntos y por elementos generalizados. El conjunto subyacente tiene dos elementos: ausencia de puntos globales no significa vacío.
A.2. Límites finitos y exponenciales sin clasificador de todos los monos
TF-CEX-00002 · §3.3.5 · Grupo II. Fuente: capítulo 3, contraejemplo 3.3.5.
Modelo y testigo. En \(\mathbf{Pos}\), la identidad subyacente del orden discreto de dos elementos hacia la cadena de dos elementos es mono y biyectiva, pero no iso. Si un clasificador de todos los monos clasificara ese mapa, su característica sería constantemente verdadera y el pullback lo haría isomorfo a la identidad de la cadena: contradicción.
Paso que falla. Límites finitos y exponenciales no proporcionan por sí solos un clasificador de todos los monomorfismos, TF-AX-00007.
Límite. Un mono en Pos no tiene por qué reflejar el orden; no debe sustituirse silenciosamente por una inclusión de subposet con orden inducido.
A.3. Regularidad sin elección regular
TF-CEX-00003 · §5.2.7 · Grupo III. Fuente: capítulo 5, contraejemplo 5.2.7.
Modelo y testigo. En \(\mathbf{Grp}\), el cociente \(\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z\) es epi regular. Una sección homomorfa enviaría la clase de \(1\) a un entero anulado por \(2\), necesariamente cero, y no podría ser sección.
Paso que falla. Regularidad, TF-AX-00008, no implica que todo epi regular tenga sección, principio opcional TF-AX-00009. La relación dada por el cociente y la identidad de \(\mathbb Z\) es total, pero no tiene selector homomorfo.
Lectura relacionada. TF-THM-00034 identifica selector y sección. Los representantes conjuntistas \(0\) y \(1\) no resuelven el problema en grupos.
A.4. Extensión conjuntista sin extensión continua
TF-CEX-00004 · §6.5.1 · Grupo III. Fuente: capítulo 6, contraejemplo 6.5.1.
Modelo y testigo. En espacios topológicos, la función \(\mathbb R\setminus\{0\}\to\{0,1\}\) que vale cero a la izquierda y uno a la derecha es continua, con codominio discreto. Una extensión continua a \(\mathbb R\) tendría, por los límites laterales en cero, dos valores incompatibles.
Paso que falla. Extender como conjuntos no garantiza extender como flechas continuas. Es posible asignar un valor en cero conjuntistamente, pero se pierde continuidad.
Lectura relacionada. TF-DEF-00026 y TF-THM-00047 sitúan la extensión como un problema de factorización. Aquí no falta un principio de elección. “Topología” no se abrevia como el marco Top de topoi del capítulo 17.
A.5. Parcial computable sin extensión total computable
TF-CEX-00005 · §6.5.2 · Grupo IV. Fuente: capítulo 6, contraejemplo 6.5.2.
Modelo y testigo. Para una numeración estándar de programas, \(d(e)=\varphi_e(e)+1\) cuando esa ejecución termina. Si una función total computable \(F=\varphi_k\) la extendiera, en \(k\) se obtendría \(F(k)=F(k)+1\).
Paso que falla. Computabilidad parcial no garantiza una prolongación total computable. La prolongación conjuntista por un valor por defecto existe, pero no es computable.
Lectura relacionada. TF-THM-00048 trata la prolongación conjuntista; TF-THM-00072 da una condición efectiva suficiente mediante dominio decidible. El ejemplo también fuerza que el dominio no sea decidible; no exige que toda parcial con dominio indecidible carezca de extensión computable: véase A.9.
A.6. Dominio no complementado en un topos
TF-CEX-00006 · §7.5.2 · Grupo II. Fuente: capítulo 7, contraejemplo 7.5.2.
Modelo y testigo. En la categoría de flechas de conjuntos \(\mathbf{Set}^{(0\to1)}\), el terminal es \(T=(1\to1)\). Sus subobjetos son \((\varnothing\to\varnothing)\), \(U=(\varnothing\to1)\) y \(T\), ordenados en cadena. El intermedio \(U\) no tiene complemento.
Paso que falla. La existencia de clasificador de subobjetos no implica lógica booleana ni complementación de todos los dominios.
Lectura relacionada. TF-DEF-00031 registra complementación. El capítulo utiliza como fundamento externo conocido que esta categoría de funtores es un topos; la verificación explícita del obstáculo es la cadena de tres subobjetos. El apéndice no añade una nueva prueba general de aquel fundamento.
A.7. Una etiqueta adicional no siempre clasifica la parcialidad
TF-CEX-00007 · §8.4.4 · Grupo II. Fuente: capítulo 8, contraejemplo 8.4.4.
Modelo y testigo. En el mismo topos de flechas, \(\operatorname{Hom}(T,L(T))\) tiene tres elementos, uno por subobjeto de \(T\), mientras \(\operatorname{Hom}(T,T\sqcup T)\) tiene dos. Por ello \(L(T)\) no es isomorfo a \(T\sqcup T\).
Paso que falla. Tener coproductos y clasificador no autoriza reemplazar \(L(B)\) por \(B\sqcup1\) para todo \(B\).
Lectura relacionada. TF-THM-00063 identifica \(L(1)\) con \(\Omega\) y TF-THM-00066 delimita la booleanidad. A.6 detecta el dominio sin complemento; esta ficha extrae su consecuencia para la representación de aplicaciones parciales. No son dos afirmaciones idénticas.
A.8. Semidecidibilidad sin decidibilidad
TF-CEX-00008 · §9.1.6 · Grupo IV. Fuente: capítulo 9, contraejemplo 9.1.6.
Modelo y testigo. \(K=\{e:\varphi_e(e)\downarrow\}\) es enumerable por simulación. Un supuesto decisor total permitiría construir un programa que termina precisamente cuando su propio índice no pertenece a \(K\), contradicción. Su complemento tampoco es computablemente enumerable.
Paso que falla. Reconocer los casos positivos por terminación no equivale a decidir ambos casos.
Lectura relacionada. TF-THM-00069 establece semidecidibilidad del dominio con parada exacta. El argumento depende de la numeración y simulación de programas declaradas; no se reduce a una dificultad práctica por tiempo de cálculo.
A.9. Prolongación total sin dominio decidible
TF-CEX-00009 · §9.2.3 · Grupo IV. Fuente: capítulo 9, contraejemplo 9.2.3.
Modelo y testigo. La parcial \(f_K\) vale cero exactamente en \(K\). Es parcial computable y tiene dominio indecidible; la función total constante cero es una extensión computable.
Paso que falla. De la existencia de extensión computable no se deduce decidibilidad del dominio. La prolongación olvida la frontera original.
Lectura relacionada. TF-THM-00072 da una implicación suficiente, no su recíproca. TF-THM-00073 se refiere a totalización con etiqueta distinguible, que sí permite recuperar el dominio. A.5 niega la extensión para otra parcial; juntas las fichas impiden identificar esos dos problemas.
A.10. Realización bajo promesa sin dominio semidecidible
TF-CEX-00010 · §9.4.6 · Grupo IV. Fuente: capítulo 9, contraejemplo 9.4.6.
Modelo y testigo. Sea \(D=\mathbb N\setminus K\) y \(f(n)=0\) sólo en \(D\). Bajo la representación del capítulo, el operador total que emite el nombre constante de cero realiza \(f\): fuera del dominio prometido su comportamiento no está restringido.
Paso que falla. Tener un realizador computable bajo promesa no hace que el dominio sea computablemente enumerable. Aquí \(D\) no lo es, así que no hay programa de parada exacta para esa parcial.
Lectura relacionada. TF-DEF-00038 y TF-THM-00077 precisan el contrato de representación. No se transfiere TF-THM-00069 sin conservar su hipótesis de parada exacta.
A.11. El teorema de Rice no cubre propiedades puramente sintácticas
TF-CEX-00011 · §10.3.4 · Grupo IV. Fuente: capítulo 10, contraejemplo 10.3.4.
Modelo y testigo. En textos de programas, comprobar si el código empieza por cierta instrucción redundante es decidible. Insertarla o eliminarla puede cambiar la respuesta sin cambiar la función computada.
Paso que falla. No puede aplicarse TF-THM-00083 a cualquier propiedad del texto. Falta extensionalidad: la propiedad no es constante sobre códigos del mismo comportamiento.
Límite. El ejemplo no refuta Rice. Delimita su aplicación a propiedades extensionales no triviales en la clase de funciones parciales computables considerada; tampoco elimina decisiones posibles en clases restringidas o con certificados.
A.12. Aproximaciones decidibles con igualdad del límite indecidible
TF-CEX-00012 · §10.5.3 · Grupo IV. Fuente: capítulo 10, contraejemplo 10.5.3.
Modelo y testigo. Los nombres rápidos de reales usados en TF-THM-00085 suministran racionales computables que permanecen cero antes de la eventual parada del programa codificado. Cada racional se compara con cero; observar un prefijo de ceros no decide si el programa terminará después ni si el límite es cero.
Paso que falla. Decidibilidad de igualdad para cada aproximación no implica decidibilidad uniforme de igualdad de los reales representados.
Límite. Se trata de la representación y familia construidas en §10.5, no de una prohibición de decidir casos particulares con información adicional. El nombre rápido, su control de error y la reducción permanecen en la prueba fuente.
A.13. Epimorfismo sin levantamiento de puntos
TF-CEX-00013 · §11.2.3 · Grupo I. Fuente: capítulo 11, contraejemplo 11.2.3.
Modelo y testigo. En \(C_2\)-Set, el mapa desde la órbita libre de dos elementos al terminal es epi regular, pero no tiene sección: una sección sería un punto fijo inexistente.
Paso que falla. Ser epi, incluso regular, no basta para levantar todos los puntos globales. No puede reemplazarse por esa condición la hipótesis de sobreyectividad débil por puntos del resultado de §11.2.
Lectura relacionada. TF-DEF-00046 fija la noción pertinente. A.1 usa la falta de puntos para igualdad; aquí la usa para mostrar que un cociente no aporta el levantamiento exigido por la diagonalización.
A.14. Diagonalización reindexada sin cubrir toda la familia
TF-CEX-00014 · §12.2.3 · Grupo V. Fuente: capítulo 12, contraejemplo 12.2.3.
Modelo y testigo. Tome \(A=\{*\}\), \(P=B=\{0,1\}\), \(q(*)=0\), \(s(b)=1-b\) y \(U(p,*)=p\). La diagonal reindexada vale uno: difiere de \(U_0\), pero es \(U_1\). Las dos secciones de \(U\) agotan \(B^A\).
Paso que falla. Si \(q\) no es sobreyectiva, excluir las secciones cuyos índices pertenecen a su imagen no excluye toda la familia.
Lectura relacionada. TF-THM-00098 exige controlar exactamente esa cobertura. La diagonal está bien definida y el cálculo es correcto; lo inválido sería ampliar su conclusión más allá de los índices alcanzados.
A.15. Códigos distintos con la misma función
TF-CEX-00015 · §12.3.3 · Grupo V. Fuente: capítulo 12, contraejemplo 12.3.3.
Modelo y testigo. \(P=\{0,1\}\), \(A=B=\{*\}\) y \(U(0,*)=U(1,*)=*\). Los dos índices son diferentes, pero determinan la misma sección.
Paso que falla. La denominación semántica no tiene por qué ser inyectiva. Igualdad extensional no exige identidad literal del código.
Lectura relacionada. TF-DEF-00051 y TF-THM-00099 organizan el paso al cociente extensional. Un punto fijo de comportamiento no es necesariamente una ecuación entre cadenas de código. Este modelo finito muestra no inyectividad; por sí solo no demuestra indecidibilidad.
A.16. Interpretación no fiel de constantes
TF-CEX-00016 · §13.2.4 · Grupo V. Fuente: capítulo 13, contraejemplo 13.2.4.
Modelo y testigo. Un lenguaje con constantes \(c,d\) sin ecuación entre ellas se interpreta en un conjunto unitario y ambas reciben el mismo valor. Una segunda interpretación en \(\{0,1\}\) las separa y respeta las leyes \(\beta\eta\), impidiendo derivar \(c=d\) sólo de esas leyes.
Paso que falla. Igualdad en una interpretación elegida no implica igualdad sintáctica derivable. La interpretación no es necesariamente fiel.
Lectura relacionada. TF-DEF-00055 y TF-THM-00103/TF-THM-00104 proporcionan la semántica usada. No se ha establecido una equivalencia entre sistemas fundacionales completos por construir esa interpretación.
A.17. Existencia interna sin selector equivariante
TF-CEX-00017 · §13.4.5 · Grupo III. Fuente: capítulo 13, contraejemplo 13.4.5.
Modelo y testigo. La órbita libre \(G\) de dos elementos en \(C_2\)-Set cubre el terminal por un epi regular, pero no tiene punto fijo. La relación total sobre el terminal tiene existencia interna interpretada por imagen regular y carece de sección equivariante.
Paso que falla. Esa existencia no suministra automáticamente los datos de testigos dependientes que habrían de interpretarse como una sección.
Lectura relacionada. TF-DEF-00057, TF-DEF-00058 y TF-THM-00107 distinguen proposiciones y datos suministrados. El conjunto subyacente habitado no resuelve el problema interno. Comparte modelo con A.13, pero controla una traducción lógica, no el alcance de una diagonalización.
A.18. Plenitud y fidelidad sin equivalencia
TF-CEX-00018 · §14.1.4 · Grupo V. Fuente: capítulo 14, contraejemplo 14.1.4.
Modelo y testigo. La inclusión de la subcategoría plena de conjuntos no vacíos en Set es plena y fiel: conserva exactamente sus conjuntos de flechas. Ningún objeto de su imagen es isomorfo al vacío.
Paso que falla. Plenitud y fidelidad no garantizan equivalencia; falta sobreyectividad esencial sobre los objetos del destino.
Lectura relacionada. TF-THM-00109 incluye el requisito de representantes e isomorfismos suministrados para construir un cuasiinverso. El ejemplo separa el control de flechas entre objetos presentes del control de todos los objetos del destino.
A.19. Biyección semántica sin traductor computable
TF-CEX-00019 · §14.3.4 · Grupo IV. Fuente: capítulo 14, contraejemplo 14.3.4.
Modelo y testigo. La permutación \(p\) de naturales intercambia \(2n\) y \(2n+1\) exactamente cuando \(n\in K\). Es involutiva, pero calcularla decidiría \(K\). Las representaciones identidad y \(p\) del mismo conjunto son biyectivas; el traductor en cualquier dirección tendría que calcular \(p\).
Paso que falla. Isomorfismo conjuntista entre presentaciones no implica equivalencia computable de nombres.
Lectura relacionada. TF-DEF-00062, TF-DEF-00063 y TF-THM-00111 exigen traductores computables para transportar realizadores. La identidad del conjunto puede dejar de ser computable bajo el contrato mixto de representaciones. No se afirma que sea imposible traducir entre cualesquiera representaciones.
A.20. Biyecciones por componentes sin naturalidad
TF-CEX-00020 · §15.1.5 · Grupo V. Fuente: capítulo 15, contraejemplo 15.1.5.
Modelo y testigo. Sobre la categoría \(0\to1\), dos funtores constantes en \(\{a,b\}\) tienen como familia de componentes la identidad en \(0\) y la transposición en \(1\). Ambas son biyecciones, pero el cuadrado para la flecha \(0\to1\) no conmuta.
Paso que falla. Una familia de biyecciones no es por sí misma una transformación natural. Por tanto no se puede aplicar el criterio de isomorfismo por componentes a una familia que todavía no es natural.
Lectura relacionada. TF-DEF-00067 y TF-THM-00116 separan naturalidad e invertibilidad. El obstáculo está en la coherencia, no en la existencia de inversas componente a componente.
A.21. Una sonda suficiente que no es el terminal
TF-CEX-00021 · §15.3.3 · Grupo I. Fuente: capítulo 15, contraejemplo 15.3.3.
Modelo y testigo. En \(C_2\)-Set, el terminal no distingue la identidad y la transposición de la órbita libre \(P=C_2\). En cambio, cada elemento dado \(a\) de un objeto \(A\) determina la sonda equivariante \(x_a:P\to A\), \(x_a(g)=g\cdot a\). La igualdad tras todas esas sondas implica igualdad punto a punto.
Paso que falla. No debe identificarse “ser sonda generadora” con “ser el terminal”. La órbita libre sí genera esta categoría.
Lectura relacionada. TF-DEF-00069 y TF-THM-00121. Esta ficha añade a A.1 una recuperación positiva: exhibe un observador suficiente. No exige seleccionar simultáneamente representantes de todas las órbitas.
A.22. Densidad sin representabilidad individual
TF-CEX-00022 · §16.5.1 · Grupo V. Fuente: capítulo 16, contraejemplo 16.5.1.
Modelo y testigo. Sobre la categoría terminal, un prehaz es un conjunto y el único representable es unitario. El prehaz de dos elementos no es representable, pero es el coproducto de dos representables unitarios. Su categoría de elementos es discreta con dos objetos y carece de terminal.
Paso que falla. Ser colímite de representables no implica ser representable.
Lectura relacionada. TF-THM-00127 afirma densidad, mientras TF-THM-00132 da el criterio de representabilidad correspondiente. El ejemplo satisface la densidad: refuta únicamente la conclusión más fuerte. La cobertura Lean finita documentada para este nodo no formaliza la densidad categórica general.
Recorridos comparativos
Un modelo, varias preguntas
La órbita libre de \(C_2\) aparece en A.1, A.13, A.17 y A.21. En A.1 prueba que los puntos globales pueden no detectar flechas distintas; en A.13, que un epi regular puede no levantar el punto del terminal; en A.17, que la existencia interna no suministra un selector equivariante. A.21 añade que la propia órbita libre es una sonda generadora. No se atribuye a una sola de estas fichas la totalidad de las cuatro conclusiones.
Las fichas A.6 y A.7 usan el mismo topos de flechas. La primera identifica un subobjeto sin complemento; la segunda cuenta mapas para demostrar que el clasificador parcial no se reduce a una etiqueta binaria. La condición de booleanidad es el puente pertinente entre ambas.
Extender, etiquetar y realizar
A.4 impide una extensión continua; A.5 impide una extensión total computable. Ambas admiten extensiones conjuntistas. A.9, en cambio, presenta una parcial con dominio indecidible que sí tiene extensión computable: la extensión no registra dónde estaba definida. A.10 cambia el contrato a realización bajo promesa y permite incluso un dominio no c.e. Estos ejemplos no se contradicen: exigen propiedades distintas a los mapas y programas.
A.8 aporta el conjunto de parada usado en varias separaciones efectivas; A.19 lo incorpora a una permutación de nombres. Definir esa permutación como conjunto no construye un algoritmo para calcularla.
Igualdad, interpretación y coherencia
A.15 separa códigos y comportamientos; A.16 separa igualdad en una interpretación e igualdad derivable; A.20 separa biyecciones por componentes y naturalidad. A.18 añade que controlar todas las flechas entre objetos presentes no incorpora objetos ausentes. A.22 distingue reconstrucción por colímite y representabilidad. Antes de invocar una “equivalencia” conviene precisar cuál de estas propiedades se necesita.
Cómo aplicar una ficha a una afirmación nueva
- Escribir la implicación propuesta con sus extremos y su marco.
- Comprobar que el modelo satisface las hipótesis que se quieren conservar.
- Señalar el testigo concreto donde falla la conclusión.
- Identificar la condición que podría reparar el paso, sin declararla necesaria en todo marco si no hay prueba.
- Volver al capítulo fuente para usar la demostración completa y su alcance fundacional.
Un ejemplo finito de códigos duplicados no demuestra indecidibilidad. Un selector conjuntista no es necesariamente homomorfo. Un modelo no booleano no impide construir el clasificador parcial apropiado. Estas tres precauciones resumen errores de uso distintos, no una prohibición general de traducir entre marcos.