La fórmula de Euler: historia, derivación y geometría de e^{iθ}
La fórmula de Euler
Historia, derivación y geometría de \(e^{i\theta}\)
La expresión
\[ e^{i\theta} \]
parece extraña si sólo conocemos la exponencial sobre los números reales. Podemos interpretar sin dificultad \(e^2\), \(e^{-1}\) o \(e^{1/2}\), pero \(i\theta\) ya no pertenece a la recta real. ¿Qué puede significar elevar \(e\) a un exponente imaginario?
La respuesta es una de las relaciones centrales del análisis complejo:
\[ \boxed{e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.} \]
Esta es la fórmula de Euler. En todo el artículo los ángulos se miden en radianes, una elección esencial: es precisamente en radianes donde \(\sin\theta/\theta\to1\) cuando \(\theta\to0\), y esa propiedad interviene tanto en la derivación histórica como en las demostraciones modernas.
A primera vista, la fórmula reúne objetos nacidos en contextos muy distintos. La exponencial pertenece al mundo del crecimiento y los logaritmos; seno y coseno proceden históricamente del estudio de círculos y triángulos; \(i=\sqrt{-1}\) aparece cuando el álgebra se extiende más allá de los reales. La fórmula muestra que estos tres ámbitos describen una misma estructura.
Si interpretamos \(\cos\theta+i\sin\theta\) como el punto \((\cos\theta,\sin\theta)\) del plano complejo, entonces
\[ |\cos\theta+i\sin\theta|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1. \]
Por tanto, \(e^{i\theta}\) permanece sobre el círculo unitario. Su parte real es \(\cos\theta\) y su parte imaginaria es \(\sin\theta\); al variar \(\theta\), la exponencial imaginaria describe una rotación.
Conviene distinguir desde el comienzo la fórmula general de su caso más famoso. La identidad de Euler
\[ e^{i\pi}+1=0 \]
se obtiene simplemente tomando \(\theta=\pi\). La identidad es el caso más compacto de una relación mucho más general entre exponenciación imaginaria y rotación.
1. Antes de Euler: logaritmos, círculo y cantidades imaginarias
La fórmula no apareció de una sola vez. A comienzos del siglo XVIII ya existían resultados que acercaban logaritmos, cantidades imaginarias y geometría circular.
1.1. Bernoulli y los logaritmos imaginarios
Un ejemplo moderno muestra por qué estos temas podían encontrarse. Consideremos
\[ \int\frac{dx}{1+x^2}. \]
Geométricamente reconocemos una antiderivada como \(\arctan x\). Pero, usando \(i^2=-1\),
\[ 1+x^2=(1+ix)(1-ix), \]
y
\[ \frac1{1+x^2} =\frac12\left(\frac1{1+ix}+\frac1{1-ix}\right). \]
Al integrar se obtiene, con una elección adecuada de rama del logaritmo,
\[ \arctan x =\frac1{2i}\log\!\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right). \]
La notación es moderna, pero la idea histórica ya aparece en Johann Bernoulli: en 1702 estudió relaciones entre cantidades circulares y logaritmos de cantidades imaginarias. La dificultad era conceptual. Todavía no existía una teoría completa del logaritmo complejo, y por eso preguntas como «¿qué es \(\log(-1)\)?» podían producir controversias profundas.
La teoría moderna explica el problema. Si
\[ z=re^{i\theta}, \]
entonces el mismo número puede escribirse usando \(\theta+2\pi k\), con \(k\in\mathbb Z\). Por eso el logaritmo complejo posee valores
\[ \log z=\ln r+i(\theta+2\pi k). \]
Esta multivaluación todavía no estaba disponible para Bernoulli y Leibniz cuando discutieron, alrededor de 1712, los logaritmos de números negativos.
1.2. Cotes: el logaritmo del círculo
Roger Cotes publicó en 1714 su Logometria en las Philosophical Transactions de la Royal Society. Parte de sus resultados fue incorporada después, póstumamente, a la Harmonia mensurarum de 1722. En ese contexto aparece una relación que, traducida a notación moderna y entendida localmente con una rama del logaritmo, escribimos como
\[ \log(\cos\theta+i\sin\theta)=i\theta. \]
¿Dónde aparece entonces la dificultad? En la elección de la rama. Globalmente no puede elegirse una rama continua del logaritmo a lo largo de todo el círculo: \(\theta\) y \(\theta+2\pi\) representan el mismo punto, mientras que la continuación \(i\theta\) cambia en \(2\pi i\) después de una vuelta. Si adoptamos el valor principal del argumento, \(\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]\), aparece necesariamente un corte en el eje real negativo; al atravesarlo, el valor principal del argumento cambia en \(2\pi\).
La estructura puede verse de manera diferencial. Si
\[ z(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta, \]
entonces
\[ z'(\theta)=-\sin\theta+i\cos\theta=iz(\theta). \]
Por tanto, sobre cualquier arco en el que se haya fijado una rama del logaritmo,
\[ \frac{d}{d\theta}\log z(\theta)=\frac{z'(\theta)}{z(\theta)}=i, \]
y de ahí surge \(\log z(\theta)=i\theta+C\) dentro de ese arco. Cerca de \(\theta=0\) podemos tomar \(C=0\).
Desde nuestro punto de vista es tentador exponentiar ambos lados y escribir inmediatamente
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]
Históricamente, sin embargo, esto comprime un paso decisivo: todavía no se había construido la exponencial compleja como una función analítica general. Cotes había llegado muy cerca desde el lado de los logaritmos y de la geometría circular; Euler incorporaría después la relación a una teoría sistemática de funciones.
2. De Moivre: multiplicar es girar
El siguiente antecedente importante procede de Abraham de Moivre. En un trabajo de 1707 aparece ya una fórmula estrechamente relacionada con la que hoy lleva su nombre; la forma familiar
\[ (\cos\theta+i\sin\theta)^n =\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) \]
fue publicada en 1722.
La idea puede derivarse de las fórmulas de adición. Si
\[ z_1=\cos\alpha+i\sin\alpha, \qquad z_2=\cos\beta+i\sin\beta, \]
entonces
\[ \begin{aligned} z_1z_2 &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\ &\quad+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\\ &=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta). \end{aligned} \]
Así, sobre el círculo unitario, multiplicar números complejos equivale a sumar ángulos. Repetir \(n\) veces el mismo factor produce
\[ (\cos\theta+i\sin\theta)^n =\cos(n\theta)+i\sin(n\theta). \]
En lenguaje moderno, si definimos
\[ C(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta, \]
entonces
\[ C(\alpha+\beta)=C(\alpha)C(\beta). \]
La función \(C\) convierte suma en multiplicación, exactamente como la exponencial real:
\[ e^{x+y}=e^xe^y. \]
Esta semejanza estructural es una de las piezas que hacen natural la fórmula de Euler. Cotes había mostrado que el logaritmo del punto circular estaba relacionado con un ángulo imaginario; De Moivre mostró que la multiplicación circular obedecía a la suma de ángulos. Faltaba una teoría suficientemente general de la exponencial para unir ambas observaciones.
3. Euler prepara el encuentro entre exponencial y círculo
Euler no introduce \(e^{i\theta}\) como un gesto aislado. En el primer volumen de la Introductio in analysin infinitorum de 1748, los capítulos VI, VII y VIII siguen una secuencia reveladora: primero estudia cantidades exponenciales y logarítmicas, después sus expansiones en series y finalmente las cantidades trascendentes que nacen del círculo.
En el capítulo VII aparece la base natural
\[ e=2.718281828\ldots \]
y la expansión
\[ e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots. \]
Euler dispone también de una representación equivalente, expresada en su lenguaje de cantidades infinitamente grandes, que nosotros traducimos como
\[ e^z=\lim_{N\to\infty}\left(1+\frac zN\right)^N. \]
Aquí hay una precaución de notación importante. En ciertos pasajes Euler utiliza una letra para representar una cantidad infinitamente grande; la unidad imaginaria aparece todavía como \(\sqrt{-1}\). Para evitar confusiones, en nuestra reconstrucción escribiremos siempre \(N\to\infty\) para el parámetro grande y reservaremos \(i\) para \(\sqrt{-1}\).
En el capítulo VIII Euler combina seno y coseno con cantidades imaginarias. A partir de las fórmulas de adición obtiene expresiones equivalentes a
\[ (\cos z+i\sin z)^n=\cos(nz)+i\sin(nz). \]
La idea decisiva aparece al hacer el arco \(z\) extremadamente pequeño y el número de repeticiones extremadamente grande, de modo que su producto siga siendo un arco finito.
4. La derivación de Euler de 1748
Conviene distinguir la historia editorial de la estructura matemática. Euler ya había publicado en 1743, en su trabajo E61 escrito en 1742, fórmulas que expresan seno y coseno mediante exponentes imaginarios. La Introductio de 1748 ofrece una exposición sistemática y especialmente transparente de la relación.
La estrategia puede leerse como un puente entre una rotación y un límite exponencial. Tomemos un arco finito \(\theta\) y dividámoslo en \(N\) partes iguales. Si escribimos
\[ z=\frac{\theta}{N}, \]
entonces De Moivre reconstruye exactamente la rotación completa a partir de \(N\) rotaciones iguales:
\[ \left(\cos\frac\theta N+i\sin\frac\theta N\right)^N =\cos\theta+i\sin\theta. \]
El interés de hacer crecer \(N\) es que cada rotación elemental se vuelve muy pequeña. En lenguaje moderno,
\[ \sin\frac\theta N=\frac\theta N+O(N^{-3}), \qquad \cos\frac\theta N=1+O(N^{-2}), \]
de modo que el factor circular se aproxima por
\[ \cos\frac\theta N+i\sin\frac\theta N =1+\frac{i\theta}{N}+O(N^{-2}). \]
Al acumular \(N\) factores, la rotación completa queda así comparada con
\[ \left(1+\frac{i\theta}{N}\right)^N. \]
Euler ya había relacionado esta estructura con la exponencial. En notación moderna,
\[ \lim_{N\to\infty} \left(1+\frac{i\theta}{N}\right)^N=e^{i\theta}. \]
Las dos descripciones de la misma acumulación conducen entonces a
\[ \boxed{e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.} \]
La idea geométrica merece conservarse: una rotación finita puede verse como la acumulación de un número cada vez mayor de rotaciones cada vez más pequeñas, y ese proceso tiene estructura exponencial.
4.1. La reconstrucción rigurosa
La argumentación histórica sugiere el resultado, pero una reconstrucción rigurosa debe controlar un detalle: el error de una sola rotación pequeña se repite \(N\) veces. Definamos
\[ z_N=\cos\frac\theta N+i\sin\frac\theta N, \qquad w_N=1+\frac{i\theta}{N}. \]
La primera potencia es exacta, pues \(z_N^N=\cos\theta+i\sin\theta\); la segunda es la aproximación exponencial que queremos comparar con ella. Para medir la diferencia relativa observamos que
\[ \frac{z_N}{w_N}=1+O(N^{-2}). \]
Ese error es suficientemente pequeño: al acumularlo \(N\) veces sigue tendiendo a cero, ya que un error relativo de orden \(N^{-2}\) repetido \(N\) veces produce un efecto total de orden \(N^{-1}\). Por eso
\[ \left(\frac{z_N}{w_N}\right)^N\longrightarrow1. \]
Las potencias \(z_N^N\) y \(w_N^N\) tienen, por tanto, el mismo límite. Si la exponencial compleja ha sido definida previamente —por ejemplo mediante su serie de potencias— y se ha demostrado que
\[ e^z=\lim_{N\to\infty}\left(1+\frac zN\right)^N, \]
obtenemos finalmente
\[ \cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}. \]
Esta reconstrucción también señala dónde podría aparecer una circularidad: la definición de \(e^{i\theta}\) debe estar fijada antes de usar la identidad que queremos demostrar.
5. Primera demostración moderna: series de potencias
La demostración moderna más breve parte de una definición de la exponencial compleja por su serie de potencias:
\[ e^z:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}, \qquad z\in\mathbb C. \]
Antes de sustituir un argumento imaginario necesitamos saber que esta serie permite hacerlo sin alterar su comportamiento. La convergencia es absoluta para todo \(z\), pues
\[ \left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^n/n!}\right| =\frac{|z|}{n+1}\longrightarrow0. \]
Esa convergencia absoluta autoriza tanto la sustitución \(z=i\theta\) como la posterior separación de los términos pares e impares. Así,
\[ e^{i\theta} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}. \]
Como las potencias de \(i\) recorren el ciclo \(1,i,-1,-i,1,\ldots\), los términos pares forman la parte real y los impares la parte imaginaria. Al reagruparlos obtenemos
\[ \begin{aligned} e^{i\theta} &=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\theta^{2k}}{(2k)!} +i\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ &=\cos\theta+i\sin\theta. \end{aligned} \]
La prueba es algebraicamente transparente, pero presupone una decisión fundacional. Si seno y coseno se definen mediante sus series, la identificación es inmediata; si se definen primero de modo geométrico, debemos demostrar antes que poseen esas expansiones de Maclaurin. La frase escolar «sustituimos \(x\) por \(ix\)» resume, por tanto, varios resultados previos.
6. Segunda demostración moderna: la ecuación \(z'=iz\)
La prueba por series explica la identidad algebraicamente. La ecuación diferencial explica su geometría.
Sea
\[ f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta. \]
Entonces
\[ f'(\theta)=-\sin\theta+i\cos\theta=if(\theta), \]
y \(f(0)=1\). Por otra parte, si
\[ g(\theta)=e^{i\theta}, \]
entonces \(g'(\theta)=ig(\theta)\) y \(g(0)=1\). Ambas funciones resuelven el mismo problema de valor inicial
\[ z'=iz,\qquad z(0)=1. \]
Por la unicidad de las soluciones de este problema de valor inicial,
$ f()=g(), $
y recuperamos la fórmula de Euler.
La ecuación \(z'=iz\) contiene además la interpretación geométrica. Si \(z=x+iy\), entonces
\[ iz=-y+ix, \]
por lo que multiplicar por \(i\) transforma el vector \((x,y)\) en \((-y,x)\): una rotación de \(90^\circ\) en sentido antihorario. La ecuación dice que la velocidad se obtiene girando un cuarto de vuelta el vector posición.
De \(z'=iz\) se sigue que posición y velocidad son perpendiculares. También
\[ \frac{d}{d\theta}|z|^2=0, \]
de modo que el radio permanece constante; como \(|z(0)|=1\), la trayectoria está sobre el círculo unitario. Finalmente,
\[ |z'|=|i||z|=1, \]
así que el punto recorre ese círculo con velocidad unitaria. En un círculo de radio uno, longitud de arco y ángulo en radianes coinciden: después de un parámetro \(\theta\), el punto se encuentra precisamente en el ángulo \(\theta\).
Escribiendo \(z=x+iy\), el mismo sistema da
\[ x'=-y,\qquad y'=x, \]
y, por tanto,
\[ x''+x=0, \qquad y''+y=0. \]
La exponencial compleja, la rotación uniforme y el oscilador armónico son así tres descripciones de una misma dinámica.
La multiplicación por \(i\) corresponde a la matriz \(J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), que satisface \(J^2=-I\). Por eso \(e^{\theta J}=I\cos\theta+J\sin\theta\), es decir, la matriz de rotación. La fórmula de Euler es el modelo complejo de este fenómeno más general.
7. La geometría de la exponencial compleja
Hasta ahora la parte imaginaria del exponente nos ha hecho recorrer el círculo unitario. ¿Qué cambia cuando añadimos una parte real? Escribamos
$ z=x+iy. $
Usando \(e^{z+w}=e^ze^w\) y la fórmula de Euler,
\[ \boxed{e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).} \]
La parte real del exponente controla el radio y la parte imaginaria controla el ángulo:
\[ |e^{x+iy}|=e^x, \qquad \arg(e^{x+iy})\equiv y\pmod{2\pi}. \]
Esta fórmula permite leer geométricamente la aplicación exponencial. Si fijamos \(y\), el ángulo permanece constante mientras \(e^x\) recorre todos los radios positivos; una recta horizontal del plano del exponente se transforma en un rayo. Si fijamos \(x\), el radio permanece constante mientras \(y\) varía; una recta vertical se transforma en un círculo centrado en el origen.
Así, la cuadrícula cartesiana del plano \(z\) se transforma en una red polar en el plano \(w=e^z\). Además, como \(e^x>0\) para todo real \(x\), la exponencial compleja nunca vale cero y
\[ \exp(\mathbb C)=\mathbb C\setminus\{0\}. \]
La periodicidad angular produce
\[ e^{z+2\pi ik}=e^z, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esta igualdad explica la multivaluación del logaritmo. Resolver \(e^z=w\), con \(w\ne0\) y \(w=re^{i\theta}\), conduce a
\[ z=\ln r+i(\theta+2\pi k), \qquad k\in\mathbb Z. \]
Volvemos así al problema que aparecía en Bernoulli y Cotes: cada vuelta completa alrededor del origen cambia una determinación continua del logaritmo en \(2\pi i\).
Si \(z(t)=at+ibt\), entonces \(e^{z(t)}=e^{at}(\cos bt+i\sin bt)\). Cuando \(a\) y \(b\) son no nulos, la imagen es una espiral logarítmica. Esta observación es secundaria para la fórmula de Euler, pero muestra cómo crecimiento y rotación se combinan en una sola exponencial.
8. La identidad de Euler: media vuelta
Tomemos \(\theta=\pi\) en la fórmula general:
\[ e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1. \]
Por tanto,
\[ \boxed{e^{i\pi}+1=0.} \]
Geométricamente, la identidad resume el recorrido que ya conocemos: \(e^{i\theta}\) parte de \(1\) cuando \(\theta=0\) y recorre el círculo unitario; al llegar a \(\theta=\pi\) ha completado media vuelta y alcanza \(-1\).
La presencia de las constantes famosas tiene una razón estructural. \(e\) aparece porque estudiamos la exponencial natural; \(i\) convierte el crecimiento exponencial en rotación; \(\pi\) mide media vuelta en radianes; \(1\) es el punto inicial \(e^0\) y la identidad multiplicativa; \(0\) aparece al trasladar \(-1\) al otro miembro. La célebre elegancia de la identidad surge directamente de la fórmula general.
La vuelta completa da
\[ e^{2\pi i}=1, \]
y, más generalmente,
\[ e^{i(2k+1)\pi}=-1, \qquad e^{2\pi ik}=1. \]
9. Consecuencias: trigonometría, forma polar y raíces de la unidad
Las consecuencias siguientes pueden leerse como un diccionario entre el álgebra exponencial y la geometría del círculo. El primer paso consiste en recuperar seno y coseno a partir de la exponencial. Sustituir \(\theta\) por \(-\theta\) da
\[ e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta. \]
Sumando y restando las dos ecuaciones obtenemos
\[ \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2, \qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. \]
A partir de \(e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}\) recuperamos en una sola línea las fórmulas de adición del seno y del coseno. Elevando a una potencia entera recuperamos De Moivre:
\[ (\cos\theta+i\sin\theta)^n =\cos(n\theta)+i\sin(n\theta). \]
La fórmula proporciona además la forma polar de cualquier complejo no nulo. Si \(z\) tiene módulo \(r\) y argumento \(\theta\), entonces
\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}. \]
En esta notación, la geometría de la multiplicación queda incorporada al álgebra:
\[ r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2} =r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}. \]
Los módulos se multiplican y los argumentos se suman; al dividir, los módulos se dividen y los argumentos se restan.
La ecuación \(z^n=1\) se resuelve igualmente de forma natural. Sus soluciones son
\[ z_k=e^{2\pi ik/n} =\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}, \qquad k=0,\ldots,n-1. \]
Geométricamente son los vértices de un polígono regular inscrito en el círculo unitario. La ecuación algebraica «\(z^n=1\)» se convierte así en el problema geométrico de dividir el círculo en \(n\) partes iguales.
10. De Euler a Fourier
La fórmula de Euler también convierte la trigonometría en un lenguaje algebraico para las oscilaciones. Para cada entero \(n\),
\[ e^{in\theta}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta). \]
La frecuencia \(n\) se representa mediante una rotación que completa \(n\) vueltas cuando \(\theta\) recorre un período. Por eso una suma trigonométrica
\[ a_0+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr) \]
puede reescribirse como una suma de exponenciales complejas
\[ \sum_{n=-N}^{N}c_ne^{inx}. \]
Históricamente, el problema de descomponer movimientos en oscilaciones precede a Fourier. En el siglo XVIII, la controversia sobre la cuerda vibrante involucró a d’Alembert, Euler y Daniel Bernoulli y puso en primer plano la superposición de modos trigonométricos. Fourier trasladó después esta idea al estudio del calor: presentó en 1807 una memoria sobre la propagación térmica y publicó en 1822 la Théorie analytique de la chaleur.
Fourier trabajó con senos y cosenos. La notación compleja moderna permite escribir de forma esquemática
$ f(x)_{n=-}{}c_ne{inx}. $
El símbolo \(\sim\) indica aquí una expansión de Fourier: el sentido preciso en que la serie representa a \(f\) depende de las hipótesis y del tipo de convergencia considerado. Los coeficientes complejos \(c_n\) reúnen la información de amplitud y fase, mientras la oscilación queda concentrada en los factores \(e^{inx}\). Esta compresión algebraica es posible gracias a la fórmula de Euler, que reúne seno y coseno en una sola familia exponencial.
11. Conclusión: una misma estructura
La historia de la fórmula de Euler muestra una convergencia gradual. Bernoulli encontró que cantidades circulares podían conducir a logaritmos imaginarios; Cotes obtuvo una relación logarítmica que, con nuestra teoría actual, está muy cerca de la fórmula exponencial; De Moivre mostró que multiplicar números complejos de módulo uno suma ángulos; Euler integró estas piezas dentro de una teoría de funciones y estableció la relación entre exponentes imaginarios y seno y coseno.
Las demostraciones modernas permiten verla desde ángulos distintos. Las series de potencias muestran que las potencias pares e impares de \(i\) separan la exponencial en coseno y seno. La ecuación \(z'=iz\) muestra que multiplicar por \(i\) obliga a la velocidad a ser tangente al círculo. La fórmula general \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\) muestra que la parte real del exponente gobierna el radio y la imaginaria el ángulo. Fourier, finalmente, convierte esas rotaciones elementales en un lenguaje para analizar oscilaciones complejas.
Podemos resumir el recorrido en una sola cadena conceptual:
\[ \text{adición de ángulos} \longleftrightarrow \text{multiplicación compleja} \longleftrightarrow \text{exponenciación imaginaria} \longleftrightarrow \text{rotación} \longleftrightarrow \text{oscilación}. \]
La importancia de la fórmula de Euler reside en que revela una estructura común a álgebra, geometría y análisis.
Cronología esencial
| Fecha | Hito | Papel en la historia |
|---|---|---|
| 1702 | Johann Bernoulli relaciona cantidades circulares y logaritmos imaginarios | Antecedente del logaritmo complejo. |
| 1712 aprox. | Controversia Bernoulli–Leibniz sobre logaritmos de cantidades negativas | Hace visible la falta de una teoría satisfactoria de ramas del logaritmo. |
| 1714 | Roger Cotes publica Logometria | Desarrollo de relaciones entre logaritmos, cantidades imaginarias y geometría circular. |
| 1722 | Publicación de una forma de la fórmula de De Moivre | Multiplicación compleja y suma de ángulos quedan ligadas explícitamente. |
| 1743 | Euler publica E61, escrito en 1742 | Aparecen relaciones exponenciales para seno y coseno. |
| 1748 | Euler publica la Introductio in analysin infinitorum | La relación queda integrada en una teoría sistemática de funciones exponenciales y circulares. |
| 1807 | Fourier presenta su memoria sobre el calor | Las expansiones trigonométricas se convierten en herramienta para un problema físico general. |
| 1822 | Fourier publica Théorie analytique de la chaleur | Las series trigonométricas adquieren un papel central en el análisis. |
Fuentes primarias y secundarias
Fuentes primarias
- Bernoulli, Johann. Trabajos de 1702 sobre integración y cantidades circulares, relevantes para los primeros logaritmos imaginarios.
- Cotes, Roger. Logometria. Philosophical Transactions of the Royal Society, 29 (1714), 5–45; materiales relacionados fueron recogidos póstumamente en Harmonia mensurarum (1722).
- De Moivre, Abraham. Trabajos de 1707 y 1722 sobre potencias de expresiones trigonométricas complejas.
- Euler, Leonhard. E61, publicado en 1743, escrito en 1742.
- Euler, Leonhard. Introductio in analysin infinitorum, vol. I, 1748, especialmente capítulos VI–VIII y §138.
- Fourier, Joseph. Théorie analytique de la chaleur. Paris, 1822.
Fuentes secundarias de control
- Euler Archive / Eneström Index, para cronología y localización de trabajos de Euler.
- MacTutor History of Mathematics, entradas sobre Cotes, De Moivre, Euler y funciones trigonométricas.
- Stillwell, John. Mathematics and Its History, para el desarrollo histórico del logaritmo complejo.
- Katz, Victor J. “The Calculus of the Trigonometric Functions”, Historia Mathematica 14 (1987), 311–324.