Álgebra

Área dedicada a expresiones, ecuaciones, desigualdades, estructuras algebraicas y métodos simbólicos.

Libros

Tratado moderno de Álgebra (MA-BOK-0007) — Tratado formal que construye operaciones y estructuras algebraicas desde fundamentos explícitos; publicación progresiva.
Álgebra para matemáticos (MA-BOK-0006) — Obra abierta en seis tomos, desde los fundamentos del pensamiento algebraico hasta la teoría de Galois.
El álgebra como lenguaje de relaciones y estructuras (MA-BCH-0012) — Primer capítulo publicado del Tomo I: objetos, operaciones, relaciones, patrones, representaciones, invariantes y generalización.
Expresiones, variables, igualdad e identidad (MA-BCH-0013) — Segundo capítulo publicado del Tomo I: variables, parámetros, estructura de expresiones, igualdad, ecuaciones, identidades y dominio.
Leyes de las operaciones y transformaciones justificadas (MA-BCH-0014) — Tercer capítulo publicado del Tomo I: leyes de las operaciones, inversos, distributividad, cancelación, dominio y transformaciones reversibles.
Proposiciones y conectivos lógicos (MA-BCH-0015) — Cuarto capítulo publicado del Tomo I: proposiciones, conectivos, condiciones necesarias y suficientes, contraposición, bicondicional, sintaxis y tablas de verdad.
Álgebra de proposiciones y formas normales (MA-BCH-0016) — Quinto capítulo publicado del Tomo I: equivalencia lógica, leyes del álgebra proposicional, formas normales disyuntiva y conjuntiva, formas canónicas y estrategias de normalización.
Cuantificadores, predicados y lenguaje matemático (MA-BCH-0017) — Sexto capítulo publicado del Tomo I: predicados, dominios, variables libres y ligadas, cuantificadores, negación, alcance, dependencia y existencia única.
Conjuntos y álgebra de conjuntos (MA-BCH-0018) — Séptimo capítulo publicado del Tomo I: pertenencia, extensionalidad, inclusión, conjunto potencia, operaciones y leyes del álgebra de conjuntos, doble inclusión y producto cartesiano.

Tratado moderno de Álgebra — capítulos publicados

Capítulo 0 — Interfaz fundacional para Álgebra (MA-BCH-0021) — importa de forma explícita la infraestructura de pares ordenados, productos cartesianos y funciones, controla la circularidad entre tratados y prepara la noción de operación binaria.
Interfaz funcional II — Biyectividad e inversas (MA-BCH-0022) — incorpora las nociones funcionales necesarias para definir isomorfismos sin confundir biyectividad con compatibilidad algebraica.
Interfaz fundacional III — Relaciones de equivalencia y cocientes (MA-BCH-0023) — incorpora equivalencias, clases y conjuntos cociente y fija la obligación de demostrar la buena definición de las operaciones sobre clases.
Capítulo 1 — Operaciones binarias y estructuras elementales (MA-BCH-0024) — abre la Parte I con operación binaria interna, notación infija, magma y asociatividad.
Capítulo 2 — Semigrupos (MA-BCH-0025) — abre la Parte II con la primera estructura asociativa: un magma cuya operación satisface la ley asociativa; separa explícitamente lo ya disponible de las propiedades que llegarán con monoides y grupos.
Capítulo 3 — Elementos neutros y monoides (MA-BCH-0026) — distingue neutros laterales y bilateral, demuestra la unicidad del neutro sin usar asociatividad y define el monoide como semigrupo con neutro bilateral.
Capítulo 4 — Inversos y grupos (MA-BCH-0027) — distingue inversos laterales y bilateral, demuestra su coincidencia mediante asociatividad, obtiene la unicidad del inverso y define grupo como monoide con inversos para todos sus elementos.
Capítulo 5 — Conmutatividad y grupos abelianos (MA-BCH-0028) — separa conmutatividad de asociatividad, introduce la ley conmutativa en el nivel de operaciones binarias y define el grupo abeliano como grupo con operación conmutativa.
Capítulo 6 — Subestructuras y criterio de subgrupo (MA-BCH-0030) — construye la restricción canónica de una operación a subconjuntos cerrados, organiza la jerarquía de subestructuras y demuestra el criterio de subgrupo de una sola condición.
Capítulo 7 — Homomorfismos de magmas, monoides y grupos (MA-BCH-0032) — introduce homomorfismos desde el nivel de magmas, demuestra estabilidad por identidad y composición y prueba que los homomorfismos de grupos preservan automáticamente neutro e inversos.
Capítulo 8 — Isomorfismos (MA-BCH-0033) — combina homomorfismos con biyectividad, demuestra estabilidad bajo inversa, identidad y composición e introduce la relación de isomorfía sin confundirla con igualdad literal.
Capítulo 9 — Núcleo e imagen de homomorfismos de grupos (MA-BCH-0034) — construye núcleo e imagen como subgrupos canónicos y caracteriza la inyectividad mediante núcleo trivial y la sobreyectividad mediante imagen total.
Capítulo 10 — Subgrupos normales (MA-BCH-0035) — introduce la normalidad mediante conjugación y demuestra la normalidad de los núcleos y de los subgrupos de grupos abelianos.
Capítulo 11 — Clases laterales y caracterización de la normalidad (MA-BCH-0036) — construye clases laterales, establece sus criterios de igualdad y relaciona la normalidad con la coincidencia de clases izquierdas y derechas.
Capítulo 12 — Cocientes de grupos (MA-BCH-0037) — construye el conjunto cociente por un subgrupo normal, demuestra la buena definición del producto y obtiene el grupo cociente y su proyección canónica.
Capítulo 13 — Primer teorema de isomorfía para grupos (MA-BCH-0038) — demuestra que un homomorfismo induce un isomorfismo entre el cociente por su núcleo y la estructura de subgrupo sobre su imagen.
Capítulo 14 — Anillos (MA-BCH-0039) — introduce anillos asociativos unitarios, su notación aditiva y multiplicativa y las primeras consecuencias de la distributividad.
Capítulo 15 — Unidades de un anillo (MA-BCH-0040) — estudia los elementos multiplicativamente invertibles y construye el grupo de unidades de un anillo.
Capítulo 16 — No trivialidad y divisores de cero (MA-BCH-0041) — separa anillos triviales y no triviales, introduce divisores de cero laterales y analiza su relación con unidades y cancelación.
Capítulo 17 — Subanillos y homomorfismos de anillos (MA-BCH-0042) — fija la convención unital para subanillos y homomorfismos y estudia núcleo, imagen y preservación estructural.
Capítulo 18 — Ideales (MA-BCH-0043) — introduce ideales izquierdos, derechos y bilaterales y caracteriza los núcleos de homomorfismos mediante ideales.
Capítulo 19 — Cocientes de anillos (MA-BCH-0044) — construye congruencias módulo ideales, las operaciones sobre clases y la estructura de anillo cociente.
Capítulo 20 — Isomorfismos y primer teorema de isomorfía para anillos (MA-BCH-0045) — desarrolla isomorfismos de anillos y demuestra el primer teorema de isomorfía en la convención unital del tratado.
Capítulo 21 — Dominios íntegros (MA-BCH-0046) — define dominio íntegro y establece caracterizaciones mediante producto nulo y cancelación multiplicativa.
Capítulo 22 — Cuerpos y subcuerpos (MA-BCH-0047) — define cuerpos como anillos conmutativos no triviales con inversos para todo elemento no nulo y desarrolla la noción de subcuerpo.
Capítulo 23 — Homomorfismos de cuerpos (MA-BCH-0048) — especializa los homomorfismos unitarios de anillos al caso de cuerpos y demuestra su inyectividad automática.
Capítulo 24 — Cuerpo de fracciones de un dominio íntegro (MA-BCH-0049) — construye el cuerpo de fracciones mediante pares, una relación de equivalencia y operaciones bien definidas sobre clases, junto con la inmersión canónica del dominio.
Capítulo 25 — Grupos ordenados (MA-BCH-0050) — inaugura las estructuras ordenadas, define compatibilidad bilateral entre orden y operación de grupo y desarrolla su caracterización mediante conos.
Capítulo 26 — Anillos ordenados (MA-BCH-0062) — conecta el orden aditivo con la multiplicación y separa las hipótesis necesarias para comparaciones estrictas.

Teoría publicada

MA-CON-0020 abre explícitamente la línea de estructuras algebraicas: muestra qué reglas se adoptan como axiomas de cuerpo y cuáles se deducen de ellos.

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Libros

Tratado moderno de Álgebra — capítulos publicados

Teoría publicada

Problemas publicados